陸祥雪

（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）

幾何最值問(wèn)題作為幾何計(jì)算的一種題型，在中考試題中屢見(jiàn)不鮮.其主要解題方法有兩種，一種是選用適當(dāng)?shù)淖兞?，?xiě)出幾何量的表達(dá)式，然后對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論（代數(shù)方法）；另一種是利用圖形的幾何特性，找到取得最值的位置，然后再求最值（幾何方法）.對(duì)于一些問(wèn)題，我們常常需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再用上述方法進(jìn)行解決.a+λb型結(jié)構(gòu)作為a+b型最小值問(wèn)題的變式，其解答的方法也不例外.

一、問(wèn)題與解析

問(wèn)題1：如圖1，在△ABC中，BA=BC=4，∠A=30°，D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

圖1

方法1：如圖2，將點(diǎn)B沿AC翻折得點(diǎn)B′，此時(shí)B′D=BD. 當(dāng)B′，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)（如圖3），的值最小，最小值為B′F的長(zhǎng)，B′F=B′Csin60°=.

圖2

圖3

方法2：如圖4，將BC沿直線AC翻折，得直線CE.這樣∠BCA=∠ACE，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CE于點(diǎn)E，則當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，BD+的值最小，最小值為BE的長(zhǎng)，即BE=BCsin 60°=.

圖4

問(wèn)題2：如圖5，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3，E是OA上一點(diǎn)，且OE=2，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0 °<α<90°)，連接E′A，E′B，求的最小值.

圖5

如圖6，在OB上取點(diǎn)F，連接E′F，由“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”可知，當(dāng)時(shí)，△OE′F∽ △OBE′，所以所以，這樣，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AE′+E′F的最小值，所以當(dāng)A，E′，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，E′A+E′B的值最小，即為線段AF的長(zhǎng)，AF的長(zhǎng)為.

圖6

以上兩個(gè)問(wèn)題均是通過(guò)幾何方法求解的，關(guān)鍵是將a+λb中的λb轉(zhuǎn)化為一條線段，其作法可以認(rèn)為是通過(guò)構(gòu)造相似三角形，利用相似的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.解題的依據(jù)一種是應(yīng)用“垂線段最短”；另一種是應(yīng)用“兩點(diǎn)間線段最短”.

二、問(wèn)題與溯源

上述兩個(gè)問(wèn)題均涉及兩個(gè)定點(diǎn)及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但問(wèn)題1的動(dòng)點(diǎn)是在一條過(guò)定點(diǎn)的直線上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題2的動(dòng)點(diǎn)實(shí)際上是在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng).追溯這兩個(gè)問(wèn)題的背景，涉及到兩個(gè)有趣的問(wèn)題.

1.“胡不歸”問(wèn)題

從前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路回家.由于思父心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑，而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭.鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”這個(gè)古老的傳說(shuō)，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸”問(wèn)題.

小伙子設(shè)想了一條回家路線，如圖7，A是出發(fā)點(diǎn)，B是目的地，直線l是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂土地帶，為了盡快回家，小伙子選擇了直線路程AB.但是，他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快這一因素.如果他能選擇一條合適的路線，是可以提前抵達(dá)家門(mén)的.那么，這合適的路線應(yīng)該是哪條路線呢？

圖7

顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上行走的速度，可以在直線l上選定一點(diǎn)C，小伙子先從點(diǎn)A走到點(diǎn)C，然后從點(diǎn)C折往點(diǎn)B，可以最早到達(dá)點(diǎn)B.假設(shè)小伙子在驛道上行走的速度為m米/時(shí)，在砂土上行走的速度為n米/時(shí)(n

圖8中，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AM，則，所以.由“垂線段最短”可知，當(dāng)B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)，t的值最小，最小值為.

這就是問(wèn)題1的背景，也給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法.射線AM為什么作在點(diǎn)B關(guān)于直線l的異側(cè)？其實(shí)，作在同側(cè)也可以，不過(guò)此時(shí)就要作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就是將△ABC沿直線l翻折下來(lái)，相比較多了一些解題的步驟.我們可把問(wèn)題1歸納為下列模型：“兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)”求a+λb最小值，動(dòng)點(diǎn)在過(guò)一定點(diǎn)的定直線上運(yùn)動(dòng)，我們不妨稱(chēng)之為“胡不歸”模型.在模型識(shí)別時(shí)需要注意在a+λb中，0<λ<1.

變式：如圖9，在△ABC中，，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=4，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

圖10

2.阿波羅尼斯圓

在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿(mǎn)足，當(dāng)k>0，且k≠1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓我們稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓.這個(gè)結(jié)論稱(chēng)之為阿波羅尼斯軌跡定理.設(shè)M，N分別為線段AB按定比k分割的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且這個(gè)定理的證明在高中階段是用建立坐標(biāo)系的方法解決的，這里用平面幾何的方法來(lái)解決.

完備性，即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P均在同一個(gè)圓上.

圖11

如圖11，過(guò)點(diǎn)A作AC∥PM，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD∥PA，交PN于點(diǎn)D.

由角平分線逆定理，可得PM平分∠APB，PN平分∠QPB.

所以∠MPN=90°.

所以點(diǎn)P在以MN為直徑的圓上.

設(shè)AB=a，

純粹性，即以MN為直徑的圓上的點(diǎn)均滿(mǎn)足以上條件.

圖12

如圖12，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥MN于點(diǎn)H，設(shè)BH=b，

我們還可以推得阿波羅尼斯圓的半徑與圓心到線段兩端的距離之間的關(guān)系.

如圖13，設(shè)直徑為MN的圓的圓心為點(diǎn)O，連接PO，

圖13

所以O(shè)P2=OB·OA.

所以這個(gè)關(guān)系可概括為，阿波羅尼斯圓的半徑是圓心到線段兩端的距離的比例中項(xiàng).

由此可知，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，已知直徑MN，即已知線段AB的內(nèi)、外分點(diǎn)，利用OP2=OB·OA，在A，B兩點(diǎn)中，如果已知一個(gè)點(diǎn)，那么就可以確定另一個(gè)點(diǎn)及的比值，因?yàn)榇藭r(shí).

在問(wèn)題2中，動(dòng)點(diǎn)E′在以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，⊙O為阿波羅尼斯圓，B是已知線段的一個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，我們可以在OB上找到線段的另一個(gè)端點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），所以有，這樣，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化.

我們可以把問(wèn)題2歸納為下列模型：已知兩個(gè)定點(diǎn)求a+λb最小值，動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)以上討論，實(shí)際上是，已知阿波羅尼斯圓及線段的一個(gè)端點(diǎn)，確定另一個(gè)端點(diǎn)的問(wèn)題，也就是阿波羅尼斯圓問(wèn)題的一個(gè)變式，λ的值即為半徑與圓心到線段已知端點(diǎn)距離的比或倒數(shù).利用此模型通過(guò)更換問(wèn)題背景可以編擬出如下新問(wèn)題.

題目如圖14，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，AM=1，N是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△BMN沿MN折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在正方形ABCD所在平面內(nèi)，Q是BC的中點(diǎn)，求PQ+3PA的最小值.

圖14

三、問(wèn)題與思考

數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).以數(shù)學(xué)史料為命題素材的問(wèn)題，在歷年中考中也時(shí)有出現(xiàn)，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的研究，感受數(shù)學(xué)歷史及相關(guān)內(nèi)容的有趣故事，對(duì)提升教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)研究的興趣大有益處.教材及學(xué)生平時(shí)遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，限于篇幅，沒(méi)有提供數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景、發(fā)現(xiàn)者的原始思考及來(lái)龍去脈，這使得火熱的發(fā)現(xiàn)變成冰冷的美麗.教師及學(xué)生了解數(shù)學(xué)史對(duì)全面而準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高教學(xué)質(zhì)量，都是十分有益的，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有文化的數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，獲得文化的熏陶.

教師在平時(shí)的教學(xué)工作中，會(huì)接觸到大量的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題的態(tài)度也影響到教師的成長(zhǎng).有些教師能以問(wèn)題為素材，不斷探尋問(wèn)題的內(nèi)涵與外延，力求理順問(wèn)題的來(lái)龍去脈，并對(duì)問(wèn)題的解答進(jìn)行整理、歸納，努力找到問(wèn)題的模型，得到普適的方法，追溯問(wèn)題產(chǎn)生的背景，了解命題者的考查意圖.如果在教學(xué)中，教師都努力這樣做，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力大有裨益，使學(xué)生能解一題、會(huì)一類(lèi)，這樣才能使更多的充滿(mǎn)數(shù)學(xué)味道的問(wèn)題為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù).