朱建明

（江蘇省南京市教學研究室）

刻度尺是最常見的畫圖和度量工具，它可以畫直線、射線和線段，也可以度量線段的長度.只用刻度尺畫圖就是畫圖時使用的工具僅限于刻度尺，不能運用圓規(guī)等其他工具，它與尺規(guī)作圖有著本質(zhì)的區(qū)別.只用刻度尺畫圖的問題雖然看似只是在畫圖，但其蘊含了豐富的圖形與幾何知識和方法，思維價值高，能激發(fā)學生的探究興趣，培養(yǎng)學生的幾何直觀和邏輯推理能力.在數(shù)學教學中，設計系列化的只用刻度尺畫圖問題，既能創(chuàng)設新穎別致的問題情境，也能為高效課堂建設提供豐富的資源素材.下面談談筆者在設計課題學習“只用刻度尺畫圖”中的問題串時的思考.

一、構(gòu)造等腰三角形

用刻度尺可以畫出一定長度的線段，因此可以畫等腰三角形.根據(jù)這一特性，可以設計一些只用刻度尺畫圖的問題，而構(gòu)造等腰三角形是解決問題的主要途徑.

例1如圖1，只用刻度尺，畫出∠BAC的角平分線.

圖1

設計初思考：用單一工具畫圖，見到比較多的是只用圓規(guī)畫圖和只用無刻度直尺畫圖，鮮見只用刻度尺畫圖.而只用刻度尺畫圖，首先要考慮它能畫哪些基本圖形，能畫等腰三角形嗎？答案是肯定的.只用刻度尺，不僅能畫等腰三角形，還能畫等腰三角形底邊上的中線.由于等腰三角形底邊上的中線與頂角的角平分線重合，因此，將圖形分拆，隱去等腰三角形的底邊后，便是一個角和它的平分線，于是有了例1.

圖2

畫圖方法：如圖2，用刻度尺在∠BAC的邊AB，AC上分別取點D，E使AD=AE，連接DE，量出DE的長，取DE的中點F，再畫射線AF，則射線AF即為∠BAC的角平分線.

此例實際上是用刻度尺構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)畫出角平分線.此例可以在等腰三角形的性質(zhì)的相關教學中使用，也可以在三角形全等的判定的相關教學中使用.

二、構(gòu)造直角三角形

只用刻度尺可以畫直角三角形，根據(jù)這一特性，可以設計一些問題，解決這些問題的方法之一就是構(gòu)造直角三角形.

例2只用刻度尺，畫出一個直角∠BAC.

設計初思考：只用刻度尺，能畫直角三角形嗎？答案也是肯定的.只不過相對于畫等腰三角形，畫直角三角形要復雜一些，需要畫腰長相等、一腰重合的兩個等腰三角形.直角三角形最典型的特征是有一個直角，于是提出例2這個問題.

畫圖方法：如圖3，用刻度尺畫出一定長的線段BC，取BC的中點D，畫線段AD，使AD＝BD，連接AB，AC.則∠BAC即為直角.

圖3

此例就是構(gòu)造直角三角形，繼而畫出一個直角.當然這個問題還可以利用刻度尺畫兩條互相平分且相等的線段，那么線段的四個端點構(gòu)成一個矩形，也可以畫出直角或直角三角形，而這相當于畫出兩個斜邊重合的直角三角形.

此外，根據(jù)此題用刻度尺畫直角的方法，還可以判定直線與圓是否相切.如圖4，點A是⊙O上的點，點P在⊙O外，用刻度尺取OP的中點B，連接AB.如果PB＝AB，那么∠OAP就是直角.于是PA與⊙O相切；如果，那么PA與⊙O不相切.

圖4

例2可以在等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定的相關教學中使用.

三、構(gòu)造三角形中位線

只用刻度尺可以畫三角形中位線，基于這一點，可以設計一些構(gòu)造三角形中位線畫平行線的問題.

例3如圖5，只用刻度尺，過點P畫出直線AB的平行線.

圖5

設計初思考：只用刻度尺，容易畫出一個三角形的中位線，也就是畫出了這個三角形一邊的平行線，于是有了例3這個問題：只用刻度尺，能過一點畫已知直線的平行線嗎？這里涉及到了能否用三角形中位線建立模型.

畫圖方法：如圖6，在直線AB上取點C，D，連接CP，量出CP的長.延長CP至點E，使得CP=PE，連接DE，量出DE的長，取DE的中點Q，畫直線PQ.則直線PQ即為直線AB的平行線.

圖6

三角形中位線蘊含了平行線，構(gòu)造三角形中位線是畫平行線的一種行之有效的方法.此例可以在三角形中位線的相關教學中使用.

四、構(gòu)造平行四邊形

從圖形變換的角度看，平行四邊形是揭示平移實質(zhì)的重要圖形.依據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以設計用刻度尺畫平行線和等于已知角等問題.

例4如圖7，已知點P在∠ABC的邊BC上，請只用刻度尺，過點P畫出∠DPC，使得∠DPC=∠ABC.

圖7

設計初思考：只用刻度尺，能畫平行四邊形嗎？當然，答案也是肯定的.有平行四邊形，就有平行線，于是就有相等的角.就可以提出類似尺規(guī)作圖中的基本問題：只用刻度尺畫一個角等于已知角.

畫圖方法：如圖8，在BA上取點E，連接PE，量出PE的長，取PE的中點O，連接BO，量出BO的長，延長BO至點D，使得OD＝BO，連接PD.則∠DPC即為所要畫的角.

圖8

通過四邊形的對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，是畫一條直線的平行線的又一種方法，無論點P在∠ABC的內(nèi)部還是外部，均可以連接BP兩次構(gòu)造平行四邊形，使BP成為所構(gòu)造平行四邊形的一條邊來分別畫出BA，BC的平行線，于是都可以畫出等于∠ABC的一個角.

此例中，只用刻度尺畫一個角等于已知角，實際上是化歸為過點P畫出BA的平行線，于是通過構(gòu)造平行四邊形解決這一問題.此例可以在平行四邊形判定的相關教學中使用.

五、構(gòu)造全等三角形

兩個三角形全等，可得對應邊、對應角分別相等，對一些與軸對稱圖形、中心對稱圖形相關的問題，設計只用刻度尺畫圖問題，有時還可以從構(gòu)造全等三角形方面考慮.

例5如圖9，∠BAC是軸對稱圖形，只用刻度尺，畫出∠BAC的對稱軸.

圖9

設計初思考：用刻度尺畫∠BAC的角平分線與畫∠BAC的對稱軸實際上等價的，能否有其他不同于例1的解決方法？顯然，構(gòu)造全等三角形解決問題是另一種選擇.

畫圖方法：如圖10，在∠BAC的邊AB上分別取點D，E，量出AD，AE的長.然后在邊AC上分別取點F，G，使得AF=AD，AG=AE.連接DG，EF，DG與EF交于點H.畫出直線AH.則直線AH即為∠BAC的對稱軸.

圖10

此例中，構(gòu)造的全等三角形有：△AEF≌△AGD，△HDE≌△HFG，△AEH≌△AGH.此例可以在三角形全等的判定的相關教學中使用.

例6如圖11，只用刻度尺，判斷直線AB與CD是否平行.

圖11

設計初思考：此例實際上是例3的衍生，只用刻度尺，可以通過構(gòu)造三角形中位線、平行四邊形來畫平行線.而只用刻度尺判斷兩條直線是否平行，不妨通過構(gòu)造全等三角形來解決.

畫圖方法：如圖12，在AB與CD上分別取點E和點F，連接EF，量出EF的長，然后取其中點O.畫直線OH，交直線AB于點H.量出OH的長.在直線OH取點G，使得OG=OH.

圖12

判斷：根據(jù)三角形全等知識可得△OEH≌△OFG.可得∠OEH=∠OFG.于是GF∥AB.因此可得結(jié)論：如果點G是直線OH與CD的交點，那么AB與CD平行，否則AB與CD不平行.

除了構(gòu)造全等三角形，此例也可以通過構(gòu)造三角形中位線、平行四邊形來解決，在相關內(nèi)容的數(shù)學教學中均可以使用這一素材.

總之，設計只用刻度尺畫圖問題，其背后的操作依據(jù)都是圖形建模，需要依據(jù)三角形、四邊形等特殊圖形的相關知識，實際上也是這些知識的延伸、拓展應用.在教學中設計系列化的單一工具畫圖，不僅能幫助學生鞏固相應知識，而且能發(fā)展學生解決問題的策略，這無疑對提高數(shù)學教學的效能，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要意義.