王思儉

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，難度通常處于中檔偏上，但考生通常會(huì)問：

老師，我就是不理解函數(shù)迭代，對(duì)于f（f（x））類問題屢做屢錯(cuò)，怎么辦？

分界點(diǎn)不確定的分段函數(shù)題如何思考？這個(gè)條件怎么使用？這類函數(shù)圖象該怎么畫？

含絕對(duì)值的函數(shù)問題怎么這么難？

為此，我邀請(qǐng)幾位同學(xué)就“函數(shù)與性質(zhì)篇”進(jìn)行交流，旨在引導(dǎo)學(xué)生深刻理解函數(shù)概念，靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，啟迪他們的數(shù)學(xué)思維．

第（1）小題會(huì)做，利用分類討論思想，不等式f（x）＜0的解集是（1，4）．但第（2）小題兩個(gè)函數(shù)的分界點(diǎn)是可變的，我不知道怎樣去畫圖，該怎么做呢？

教師：對(duì)于分界點(diǎn)不確定的分段函數(shù)，你們可以先作出兩段函數(shù)的圖象，然后移動(dòng)分界點(diǎn)，找出適合本題的答案，要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)思考數(shù)學(xué)問題．

生甲：先作出函數(shù)y＝x－4與y＝x2－4x＋3的圖象，求出前者有一個(gè)零點(diǎn)4，后者有兩個(gè)零點(diǎn)1和3，再由數(shù)形結(jié)合得，當(dāng)λ＞4時(shí)，函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)．

圖1

生乙：答案不全，當(dāng)1＜λ≤3也符合要求．其實(shí)本題可以繼續(xù)探究：當(dāng)3＜λ≤4時(shí)，f（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)λ≤1時(shí)，f（x）恰有1個(gè)零點(diǎn)．

教師：很好！生乙研究其他零點(diǎn)的情況，探究性學(xué)習(xí)是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的一個(gè)重要環(huán)節(jié)．你們可以發(fā)現(xiàn)嗎？函數(shù)y＝x－4與y＝x2－4x＋3沒有交點(diǎn)，如果有交點(diǎn)，情況如何？請(qǐng)看變題：

生甲：利用數(shù)形結(jié)合思想求解，函數(shù)y＝x＋1有一個(gè)零點(diǎn)－1，y＝x2－4x＋3有兩個(gè)零點(diǎn)1和3，作圖可得，－1≤λ＜1．

教師：正確！本題容易遺漏左端點(diǎn)－1．如將問題改為：

若存在實(shí)數(shù)c使得函數(shù)g（x）＝f（x）－c有3個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________．

本題是存在實(shí)數(shù)c，你們?cè)趺慈ニ伎迹坑秩绾吻蠼猓?/p>

生甲：這題有c和λ兩個(gè)參數(shù)，不知道移動(dòng)哪一個(gè)參數(shù)？

教師：由于是存在實(shí)數(shù)c，作出兩段函數(shù)圖象，先移動(dòng)y＝c，看看在何處時(shí)，它與兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，然后再移動(dòng)分界點(diǎn)x＝λ，這樣思考是否可以求出來了？

生丙：因?yàn)閒（2）＝f（－2）＝－1，要使g（x）＝f（x）－c有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于y＝f（x）與y＝c必有3個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象知，－2＜λ＜1．

教師：很好！原題和變題中的分段函數(shù)的分界點(diǎn)是參變量，每段函數(shù)都是確定的，也可以改為，某一段函數(shù)解析式中含有參數(shù)，再研究相關(guān)問題．請(qǐng)看變題：

生?。侯愃粕鲜鲎冾}，一次函數(shù)在x＝0處的函數(shù)值為a，二次函數(shù)在x＝0處的函數(shù)值為3，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）與y＝2a－1必有3個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象知，－1＜2a－1＜a，即0＜a＜1．

教師：很好！還是從動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)出發(fā)尋找解題的突破口．當(dāng)然如果分段函數(shù)中兩個(gè)函數(shù)都含有參數(shù)，又可以改編為一道新的題目（參見實(shí)戰(zhàn)演練3）．

生乙：已知函數(shù)f（x）＝x2＋（2a＋1）x＋a2，若f（f（x））≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

如果把f（f（x））整理成四次函數(shù)，根本無法求解．

教師：這是函數(shù)迭代問題，它的含義是對(duì)應(yīng)法則f再一次對(duì)函數(shù)值f（x）作用后，輸出的結(jié)果是f（f（x）），這時(shí)我們可以將f（x）看成整體t，問題轉(zhuǎn)化為f（t）≥0在一定范圍內(nèi)恒成立．

生甲：令t＝f（x），不等式轉(zhuǎn)化為t2＋（2a＋1）t＋a2≥0恒成立，于是判別式Δ≤0，求得

生戊：不對(duì)！還應(yīng)該考慮t的取值范圍，t的范圍就是函數(shù)f（x）的值域，即因此問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為t2＋（2a＋1）t＋a2≥0在恒成立．首先考慮判別式Δ≤0；其次考慮Δ＞0時(shí)，對(duì)稱軸的位置必須在指定區(qū)間的左側(cè)，同時(shí)區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值非負(fù)，于是就有不等式組解之得

綜上所述，a的取值范圍為

教師：分析到位，答案正確！

股骨頭壞死的發(fā)病率逐年上升，且呈年輕化趨勢，給患者日常生活帶來影響。股骨頭壞死發(fā)生的因素有很多，主要原因是缺血，且具有很長的潛伏期。對(duì)于此類患者來說，其發(fā)生病理改變主要有2個(gè)階段，初階段，由于患者細(xì)胞缺血，骨髓細(xì)胞與骨細(xì)胞會(huì)大面積死亡，從而導(dǎo)致股死亡；修復(fù)階段，患者骨與血管會(huì)再生，骨小梁吸收[3-4]。因此，患者在發(fā)病初期，并不會(huì)出現(xiàn)明顯的癥狀，發(fā)生癥狀時(shí)，已經(jīng)確診為晚期，導(dǎo)致患者錯(cuò)過了最佳治療機(jī)會(huì)，影響其預(yù)后效果及生活質(zhì)量。臨床資料顯示，股骨頭壞死患者的治療效果，會(huì)受到患者病情嚴(yán)重程度、壞死范圍影響。所以，只有早日診斷疾病，才能盡早接受治療。

我拿到這道題一下子全蒙了，不知道如何下手，不知道從哪里考慮問題．

生丁：我就認(rèn)為a2－2a＝3a－1，求出，直覺告訴我，a還應(yīng)該有其他的值，但不知道怎樣考慮．

教師：你可以對(duì)n先試驗(yàn)幾個(gè)值，如n＝1，2，作出函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性等，然后再將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的方程或不等式．

生戊：當(dāng)n＝1，2時(shí)，通過對(duì)函數(shù)f（x）的研究，發(fā)現(xiàn)f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，于是可以證明對(duì)一般情況也成立，同時(shí)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝（n＋1）2為常函數(shù)，因此當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．由對(duì)稱性知a2－2a＋3a－1＝1，解之得，a＝－2或a＝1．所以a的值為a＝－2或a＝1或

教師：答案雖然是對(duì)的，但過程不嚴(yán)謹(jǐn)．你們想一想，如果a2－2a，3a－1都在［0，1］內(nèi)時(shí)，f（a2－2a）＝f（3a－1）是不是也成立呢？要不要考慮呢？

眾生：應(yīng)該考慮，但我們都疏忽了！但這種情況無解．

1．函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性等性質(zhì)）是什么？

2．能否作出函數(shù)圖象？怎樣作出函數(shù)圖象？是描點(diǎn)作圖還是平移變換（或伸縮變換）作圖？

3．題目中哪個(gè)是主元？哪個(gè)是參數(shù)？有幾個(gè)參變量？利用什么策略求解？

4．本題涉及哪些知識(shí)點(diǎn)？運(yùn)用哪幾種數(shù)學(xué)思想方法？能否繼續(xù)演變新的問題？

……

實(shí)戰(zhàn)演練

3．已 知a∈ R，函數(shù)若函數(shù)f（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．

參考答案

1．0≤a≤2．

2．（－1，0）∪ （1，＋∞）．

詳細(xì)解析：

1．因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝（x－a）2，又f（0）是f（x）的最小值，所以a≥0．

當(dāng)x＞0時(shí)，f，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．

要滿足f（0）是f（x）的最小值，需2＋a≥f（0）＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，

所以a的取值范圍是0≤a≤2．

2．當(dāng)x＜ 0 時(shí)所以f（x）為奇函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖所示，要使f（m）＞f（－m），即f（m）＞－f（m），f（m）＞0，由圖象可知，m∈ （－1，0）∪（1，＋ ∞）．

圖2