毛雨萱

一、問(wèn)題與背景

在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與方程中的應(yīng)用時(shí)，老師給我們布置了這樣一道習(xí)題：

已知函數(shù)f（x）＝kx，，求方程f（x）＝g（x）在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)．

這道題求解的方法我們都很明確：利用導(dǎo)數(shù)工具畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用圖象數(shù)形結(jié)合求解．但是，在具體操作時(shí)，不同的處理方法，得出了大相徑庭的結(jié)果，一時(shí)間我們都感到有點(diǎn)奇怪和不解．

二、思路與解法

我的解題思路是參變分離：

由 方程f（x）＝g（x），得

于是，h（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且于是由圖1得：

圖1

同學(xué)的思路也是參變分離：

函數(shù)g（x）在上的近似圖象如圖2所示，

于是直線(xiàn)OA斜率直線(xiàn)OB斜率kOB＝－e2，

圖2

三、質(zhì)疑與探索

我和同學(xué)的解法都是將方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)來(lái)判斷，這是求解有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程解的個(gè)數(shù)）問(wèn)題的通法，看起來(lái)都有理有據(jù)，但結(jié)果卻迥然不同，孰對(duì)孰錯(cuò)？錯(cuò)在哪里呢？

我和同學(xué)們展開(kāi)探究和討論．我的解法是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝k與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷．水平直線(xiàn)y＝k與的圖象的交點(diǎn)，根據(jù)的單調(diào)性，容易結(jié)合圖象作出判斷，我的解法應(yīng)該是正確的．而同學(xué)的解法是斜線(xiàn)f（x）＝kx與的圖象的交點(diǎn)僅根據(jù)的單調(diào)性是不夠的，必須更精確地畫(huà)圖以表現(xiàn)出此函數(shù)的基本性態(tài)，我懷疑他的圖象不準(zhǔn)確，故而借助MathPac軟件模擬了圖象，如圖3．

圖3

果然是由于g（x）的圖象不準(zhǔn)確，解題時(shí)誤以為是k的最大值，忽視了在A點(diǎn)左側(cè)會(huì)因曲線(xiàn)向上彎曲（上凸），且曲率較大時(shí)，直線(xiàn)y＝kx過(guò)A點(diǎn)時(shí)會(huì)和曲線(xiàn)g（x）有另一個(gè)交點(diǎn)（在A點(diǎn)左側(cè)），此時(shí)k的最大值應(yīng)在與曲線(xiàn)相切時(shí)取得．

經(jīng)過(guò)查閱資料和對(duì)問(wèn)題的探究找到問(wèn)題的根源，由同學(xué)的解法知在上是增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)在上是上凸函數(shù)，于是我們可以作出g（x）的更精確的圖象如圖4，函數(shù)f（x）＝kx與的圖象在在內(nèi)有相切的情況．

圖4

通過(guò)分析，除了我和同學(xué)的解法之外，還獲得了一種得到全班都認(rèn)可的解法，同時(shí)也解釋了上述剖析的正確性和上述錯(cuò)解的根源．

令f（x）＝g（x），即即kx2＝lnx，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝kx2和函數(shù)的圖象，如圖5．函數(shù)y＝kx2隨著k增大，圖象從開(kāi)口方向向下，逐漸變化為一條直線(xiàn)（k＝0），再變化為開(kāi)口向上，在開(kāi)口向上時(shí)開(kāi)口逐漸減?。虼耍瑘D象在從開(kāi)口向下逐漸變化的過(guò)程中，首先經(jīng)過(guò)點(diǎn)此時(shí)k＝－e2，然后變化為一條直線(xiàn)y＝0，此時(shí)k＝0，當(dāng)k＞0時(shí)函數(shù)y＝kx2的圖象逐漸變化到經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e，1），此時(shí)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，然后變化到與函數(shù)y＝lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（相切），此時(shí)，求解過(guò)程如下：

圖5

當(dāng)k＜－e2時(shí)方程無(wú)解，當(dāng)－e2≤k＜時(shí)方程有一解，當(dāng)時(shí)方程有兩解，當(dāng)時(shí)方程有一解，當(dāng)時(shí)方程無(wú)解．

四、思考和感悟

從三種解法的探究和分析來(lái)看，盡管處理的方法類(lèi)似，由于方法一轉(zhuǎn)化成的兩個(gè)函數(shù)中有一個(gè)是平行于x軸的直線(xiàn)，所以更容易操作，后兩種方法對(duì)圖形的要求則更高；同學(xué)解法的錯(cuò)誤原因在于“圖形”的不準(zhǔn)確，因?yàn)樽鲌D太隨意，沒(méi)有把握住圖形的基本特征和關(guān)鍵點(diǎn)，所以作出的圖象不能準(zhǔn)確地反映出函數(shù)的基本形態(tài)，再加上簡(jiǎn)單處理，想當(dāng)然地得出答案，這樣錯(cuò)誤的發(fā)生就不足為奇了；“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微．”我們?cè)诶脭?shù)形結(jié)合思想解題時(shí)要先從數(shù)的角度研究出函數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)，再畫(huà)出函數(shù)準(zhǔn)確的圖象，這樣才能真正將數(shù)與形完美結(jié)合起來(lái)為我們所用．