戈 峰

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值和最值來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解決此類問題主要是把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或求最值，而關鍵是如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)，再用導數(shù)證明不等式．現(xiàn)在歸納幾種常見的構造函數(shù)的方法，具體如下．

一、常用模型構造函數(shù)

例1設函數(shù)f（x）在R上的導函數(shù)為f′（x），且2f（x）＋xf′（x）＞0，求證：f（x）＞0在R上恒成立．

解答由已知，令x＝0得f（x）＞0．

令g（x）＝x2f（x），則g′（x）＝x［2f（x）＋xf′（x）］，

① 當x＞0時，有所以函數(shù)g（x）單調遞增，所以當x＞0時，g（x）＞g（0）＝0，從而f（x）＞0．

② 當x＜0時，有所以函數(shù)g（x）單調遞減，所以當x＜0時，g（x）＞g（0）＝0，從而f（x）＞0．

綜上，f（x）＞0在R上恒成立．

小結此題構造函數(shù)g（x）＝x2f（x），g′（x）＝x［2f（x）＋xf′（x）］，與條件2f（x）＋xf′（x）＞0密切相關，從條件特征入手，聯(lián)想到常用求導公式模型，是我們構造函數(shù)的常用方法之一．現(xiàn)歸納兩類常用模型：

1．關系式為“加”型

（1）若已知f′（x）＋f（x）≥0（≤0），構造［exf（x）］′＝ex［f′（x）＋f（x）］；

（2）若已知xf′（x）＋f（x）≥0（≤0），構造［xf（x）］′＝xf′（x）＋f（x）；

（3）若已知xf′（x）＋nf（x）≥0（≤0），構造［xnf（x）］′＝xnf′（x）＋nxn－1f（x）＝xn－1［xf′（x）＋nf（x）］．

2．關系式為“減”型

二、作差（商）構造函數(shù)

綜上可知，當x＞－1時，有l(wèi)n（x＋1）≤x．

小結證明f（x）≥g（x）對x∈D恒成立問題可以轉化為f（x）－g（x）≥0對x∈D恒成立問題，等價于，即構造函數(shù)F（x）＝f（x）－g（x），證明F（x）min≥0；同樣的，若g（x）＞0時，也可構造函數(shù)，證明G（x）min≥1．

三、用常見不等式構造函數(shù)

在學習過程中，同學們會發(fā)現(xiàn)不等式ex≥x＋1，x－1≥lnx在解題中會經(jīng)常遇到，此組不等式可用作差構造函數(shù)證明，從圖象中也很容易直觀理解（如圖1）．

圖1

若令t＝x＋1，不等式的右側變?yōu)閘nt≤t－1；

四、形似構造函數(shù)

例3已知函數(shù)a＞1．證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈ （0，＋ ∞），x1≠x2，有

小結此題經(jīng)過等價變換后得到f（x1）＋x1＞f（x2）＋x2，兩邊有相似的結構，構造函數(shù)g（x）＝f（x）＋x，研究g（x）的性質作為突破口．對于本身具有對稱性的雙變量不等式證明問題，通過等價變形，利用相似結構構造函數(shù)是比較常見的．

五、換元法構造函數(shù)

例4已知函數(shù)g（x）＝logax（a＞0，且a≠1），其中a為常數(shù)．如果h（x）＝f（x）＋g（x）是增函數(shù)，且h′（x）存在零點（h′（x）為h（x）的導函數(shù)）．

（1）求a的值；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)y＝g（x）圖象上的兩點，g′（x0）＝為g（x）的導函數(shù)），證明：x1＜x0＜x2．

小結多元變量證明問題首先可以進行等價變形，根據(jù)變量特征進行換元達到減元的目的．此題中要證明變形后，剩下的變量x1，x2又是分式齊次的，容易想到令來換元．

六、主元法構造函數(shù)

令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，那么r′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2］上單調遞增．當x1＜x2時，r（x1）＜r（x2）＝0，即x1lnx2－x1lnx1－x2＋x1＜0，從而x0＞x1得到證明．對于同理可證，所以x1＜x0＜x2．

小結當變量比較多時，往往選擇其中某個變量為主元，對其他變量“視而不見”，以達到減元目的．

在觀察不等式結構特征、選擇何種方法構造函數(shù)前，很多題目需要對不等式進行變形，同學們不僅要關注變形的一些技巧問題，還要特別注意在不等式變形過程中的等價性問題，比如去分母注意不等號是否需要變向；變換過程中自變量的范圍有沒有發(fā)生改變；換元后有沒有注意到新元的范圍等等．