彭 潁，毛軍軍,1b，張鳳曉，鄒 斌

（1.安徽大學(xué)a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；b.計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；2.安徽廣播電視大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，合肥 230601）

0 引言

近年來(lái)，模糊理論受到研究者的廣泛關(guān)注。在模糊的研究中美國(guó)控制論專家Zadeh[1]首先提出模糊集合理論，此后研究者在該理論的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步的完善和推廣。首先模糊集是帶有精確定義的隸屬函數(shù)或隸屬度，然而在實(shí)際中，有時(shí)隸屬度仍表現(xiàn)出模糊性，使之很難用一個(gè)數(shù)值表示，由此提出區(qū)間二型模糊集。其次，當(dāng)人類在描述評(píng)價(jià)客觀事物時(shí)，更慣用語(yǔ)言方式。為了更加貼切人類的正常思維及生活方式，進(jìn)而不同語(yǔ)言評(píng)價(jià)值的處理方式日益受到研究者的青睞。

目前語(yǔ)言評(píng)價(jià)值的處理方法主要有以下3種:將語(yǔ)言信息轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)來(lái)計(jì)算、使用語(yǔ)言下標(biāo)處理語(yǔ)言信息、將語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為二元語(yǔ)義處理。隨著對(duì)模糊集理論的探索與研究，第一種方法更受到廣大研究者與決策者的關(guān)注[2-9]，因而衍生出區(qū)間梯形二型模糊集，它能夠有效客觀的將語(yǔ)言評(píng)估轉(zhuǎn)變成數(shù)字變量。以區(qū)間梯形二型模糊向量與其近似正負(fù)理想的幾何度量給出擬合指數(shù)，再結(jié)合區(qū)間二型LINMAP方法得到最佳的決策選擇，這樣既簡(jiǎn)化計(jì)算又合理精確。

1 基本概念

區(qū)間二型模糊集的基本概念會(huì)廣泛應(yīng)用于本文中，在這部分會(huì)做一個(gè)簡(jiǎn)短的回顧，從經(jīng)典模糊集到更具廣泛性的區(qū)間二型模糊集以及基于區(qū)間二型模糊環(huán)境下的區(qū)間二型梯形模糊數(shù)，它將會(huì)用于本文的決策規(guī)劃中，是本文探討的根本。

1.1 區(qū)間二型模糊集的基本概念

定義1[9]：設(shè)X為論域，則定義在X上的二型模糊集A表示[0， 1]}，fx()

u∈[0，1]}。其中Jx表示論域X中元素x對(duì)于A的主隸屬函數(shù)，u是Jx中的某一個(gè)主隸屬函數(shù)值；對(duì)全部的稱為x關(guān)于A的次隸屬函數(shù)。

定義2[9]：設(shè)A是論域X上的二型模糊集，若對(duì)?u∈Jx有，則A稱為論域X上的區(qū)間二型模糊集，表示為:。這里μA()x是x對(duì)A的主隸屬度。

1.2 決策環(huán)境下的區(qū)間梯形二型模糊集

區(qū)間梯形二型模糊集是區(qū)間二型模糊集的特例，考慮多準(zhǔn)則決策問(wèn)題時(shí)，本文用區(qū)間梯形二型模糊集來(lái)表示評(píng)估等級(jí)。其中定義為決策的m個(gè)選擇，讓x1，x2和xn表示c1，c2和cn的相應(yīng)的數(shù)值。集合C可以分成CI和CII兩個(gè)集合，CI表示利潤(rùn)標(biāo)準(zhǔn)，CII表示成本標(biāo)準(zhǔn)，CI∩CII=?，CI∪CII=C。

定義3[10]：對(duì)任意非負(fù)梯形模糊數(shù)Aij(Aij∈[0，1]) ，和μAiU()

x分別為Aij的下隸屬函數(shù)和上隸屬函數(shù)(xj∈X)，區(qū)間二型梯形模糊數(shù)Aij表示為：

令wj是每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)cj∈C的權(quán)重，其滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件，且。設(shè)未知的標(biāo)準(zhǔn)C的權(quán)重向量為，需要借助后面提出的區(qū)間二型模糊LINMAP方法解得。

2 區(qū)間梯形二型模糊環(huán)境下的不確定性幾何度量

2.1 區(qū)間二型梯形模糊向量

區(qū)間二型模糊集是區(qū)間一型模糊集模糊化的結(jié)果，即對(duì)一般集合描述事物的再一次模糊化，這是區(qū)間二型模糊的鮮明特征。現(xiàn)在考慮是否以向量形式將本文中的區(qū)間梯形二型模糊集表示出來(lái)，以下給出定義及說(shuō)明。

定義4：從非負(fù)區(qū)間梯形二型模糊數(shù)Aij中任取兩個(gè)模糊數(shù)，用Af、Ag表示：

將其化為模糊向量，記為：

因?yàn)閰^(qū)間二型模糊數(shù)是對(duì)一型模糊數(shù)的進(jìn)一步模糊化，為了保證區(qū)間梯形二型模糊數(shù)的有效性，區(qū)間梯形二型模糊數(shù)在轉(zhuǎn)化為模糊向量時(shí)不改變其數(shù)值，將其整體視為向量。模糊數(shù)中各項(xiàng)均為大于0小于1的數(shù)，此證明見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

圖1 模糊向量投影

2.2 區(qū)間二型梯形模糊向量的近似理想

區(qū)間二型梯形模糊向量近似理想的引用，一是為了說(shuō)明當(dāng)區(qū)間梯形二型模糊數(shù)轉(zhuǎn)化成向量時(shí)其幾何夾角問(wèn)題，二是為了引出本文對(duì)區(qū)間梯形二型模糊向量給出排序的關(guān)鍵。若將正負(fù)理想用于區(qū)間梯形二型模糊數(shù)中，則得到的正負(fù)理想并非是區(qū)間梯形二型模糊數(shù)，因此采用文獻(xiàn)[10]提出的近似正負(fù)理想并向量化。

在標(biāo)準(zhǔn)cj∈C下，由式（7）、式（8）得近似正負(fù)理想向量和具體表示下：

有了二型梯形模糊數(shù)的近似正負(fù)理想，可以得到在某標(biāo)準(zhǔn)下的近似正負(fù)理想的模糊數(shù)，由定義5將一組二型梯形模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為向量后，可以知道這一組模糊向量的近似正負(fù)理想必將這組模糊向量包含其中，因此可以通過(guò)近似正負(fù)理想的向量得出這組模糊向量的夾角范圍及其性質(zhì)。

當(dāng)一組模糊數(shù)的近似正負(fù)理想向量相等時(shí)，此時(shí)向量夾角最小為0同時(shí)余弦值最大，有

證明：由余弦本身的特征可知（1）、（2）顯然成立；欲證（3）將向量做幾何投影到平面oxy上，依據(jù)空間向量投影公式和反余弦函數(shù)，（3）顯然成立。

3 區(qū)間二型模糊LINMAP方法

3.1 擬合指數(shù)

在許多前人研究中，大多使用所選擇方案與其正負(fù)理想之間的距離，作為組成貼近度系數(shù)的成分。為了得到更為合理精確的貼近度系數(shù)，有時(shí)會(huì)通過(guò)計(jì)算對(duì)不同距離公式進(jìn)行比較，從而產(chǎn)生大量復(fù)雜的運(yùn)算，如文獻(xiàn)[10]中的閔可夫斯基距離公式。為了區(qū)分模糊數(shù)的貼近度，本文給出基于區(qū)間梯形二型模糊向量的擬合指數(shù)，設(shè)為非負(fù)區(qū)間梯形二型模糊向量--Aij，在標(biāo)準(zhǔn)cj下選擇zi的擬合指數(shù)公式為：

3.2 最優(yōu)模型

基于區(qū)間梯形二型模糊向量解決多準(zhǔn)則決策問(wèn)題的LINMAP方法，文獻(xiàn)[10]給出了區(qū)間二型模糊LINMAP方法，基于區(qū)間梯形二型模糊向量我們對(duì)其作出改進(jìn)。

定義7：假設(shè)Ω為一系列表示選擇方案偏好關(guān)系的有序?qū)?，在?biāo)準(zhǔn)cj∈C下的未知權(quán)重向量是w=(w1，則選擇方案zi∈Z的綜合擬合指數(shù)WIi表示為：

上文提到當(dāng)決策者所表達(dá)的偏好排序與計(jì)算的排序不一致時(shí)，需要盡可能減小這種不一致性。現(xiàn)假設(shè)zf偏好于zg，相應(yīng)的應(yīng)滿足FIf≥FIg。依照這種規(guī)則定義Ω中一致性系數(shù)和不一致性系數(shù)公式如下：

為Ω中所有有序?qū)σ恢滦韵禂?shù)之和;

為Ω中所有有序?qū)Σ灰恢滦灾?

G-B≥η為決策者最低接受限度，以此建立最優(yōu)模型，為了使不一致系數(shù)B最小，則最優(yōu)模型構(gòu)建為:

顯然Yfg≥0，即，此時(shí)有：

最后，通過(guò)區(qū)間二型LINMAP方法解出更為合理的最優(yōu)權(quán)重-wj，其綜合擬合指數(shù)為：

對(duì)?zi∈Z依據(jù)對(duì)m個(gè)選擇項(xiàng)進(jìn)行排序，從中選擇數(shù)值最大的，即為決策者的最佳選擇。

4 算例比較

參考文獻(xiàn)[10]的算例，一個(gè)化學(xué)藥品和光纖公式的高管，希望選擇合適的供應(yīng)商，以減小供應(yīng)鏈的風(fēng)險(xiǎn)和不確定性，最后從中選出5個(gè)供應(yīng)商。

第二步：供應(yīng)商候選人的語(yǔ)言評(píng)估等級(jí)（見(jiàn)表1）構(gòu)建區(qū)間梯形二型模糊數(shù)Aij，并轉(zhuǎn)化成區(qū)間梯形二型模糊向量。

表1 語(yǔ)言評(píng)估等級(jí)

第三步，假設(shè)決策者對(duì)這5個(gè)供應(yīng)商提供的成對(duì)比較信息為：

第四步，構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)cj∈C下的近似正負(fù)理想模糊向量；計(jì)算擬合指數(shù)FIij：

得到近似正負(fù)理想的區(qū)間梯形二型模糊向量。應(yīng)用式（11）將基于上面所求得的模糊向量做擬合指數(shù)的計(jì)算。如表2所示。

表2 擬合指數(shù)

第五步，假設(shè)決策者可接受最低限度η=0.3，w=(w1，w2，...，wn)為未知權(quán)重，滿足wj≥0，j=1，2，3，4 ，序?qū)?Ω=，應(yīng)用線性規(guī)劃模型，得：

第六步，應(yīng)用解得的wˉ，應(yīng)用式（15）計(jì)算綜合擬合指數(shù)如下：

5 結(jié)論

本文給出了區(qū)間梯形二型模糊向量的定義，及相關(guān)性質(zhì)的證明。在此基礎(chǔ)上引出模糊向量的近似正負(fù)理想，利用區(qū)間梯形二型模糊向量與其近似正負(fù)理想之間的夾角關(guān)系，提出擬合指數(shù)和綜合擬合指數(shù)。以往選擇距離公式計(jì)算擬合指數(shù)，有時(shí)需要比較哪種距離公式更為合理精確，增加了計(jì)算量和復(fù)雜程度。本文提出的擬合指數(shù)公式簡(jiǎn)化復(fù)雜的運(yùn)算，同時(shí)保證了其結(jié)果的合理精確性。最后使用區(qū)間二型LINMAP方法，對(duì)方案進(jìn)行排序得到最優(yōu)方案。