王秀振， 錢永久

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

結(jié)構(gòu)的地震需求是結(jié)構(gòu)抗震計(jì)算中非常重要的分析指標(biāo)，國(guó)內(nèi)外對(duì)地震需求也進(jìn)行了大量的分析研究。Ge等[1]研究了底部部分填充混凝土的鋼柱的地震需求，Peter等[2]提出了單自由度系統(tǒng)的地震需求簡(jiǎn)單的公式和長(zhǎng)周期范圍。陳亮等[3]對(duì)大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力分析，發(fā)現(xiàn)反應(yīng)譜對(duì)結(jié)構(gòu)地震需求影響顯著，且高頻區(qū)段反應(yīng)譜的影響大于低頻區(qū)段。劉驍驍?shù)萚4]基于概率地震需求分析，計(jì)算了框架結(jié)構(gòu)的多維地震易損性，描述了多維響應(yīng)參數(shù)敏感的結(jié)構(gòu)破壞行為。

地震需求受到多種因素的影響，概括起來(lái)可以分為兩部分，地震動(dòng)的隨機(jī)性以及結(jié)構(gòu)中參數(shù)的隨機(jī)性，具有隨機(jī)性的參數(shù)也稱為隨機(jī)變量?，F(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn)，地震動(dòng)隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)的地震需求的影響很大，與此同時(shí)，結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量對(duì)結(jié)構(gòu)的抗震能力和結(jié)構(gòu)的地震需求都有較大的影響[5]。因而在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行安全評(píng)估時(shí)，要考慮結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的影響。

在對(duì)結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量進(jìn)行敏感性分析時(shí)，有局部敏感性分析和全局敏感性分析2種方法，局部敏感性分析方法在考慮某個(gè)隨機(jī)變量的靈敏度時(shí)，只考慮了隨機(jī)變量取名義值時(shí)對(duì)輸出響應(yīng)量的影響大小，不能反映隨機(jī)變量在所有可能的取值處對(duì)輸出響應(yīng)量的影響[6-7]。全局靈敏性分析可以反映隨機(jī)變量在其完整的取值范圍內(nèi)變化時(shí)，對(duì)輸出響應(yīng)量的影響，并可以根據(jù)各隨機(jī)變量的影響大小對(duì)其進(jìn)行敏感性排序[8-9]。將2種方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震需求分析中，根據(jù)隨機(jī)變量的敏感性排序，可以在結(jié)構(gòu)的地震需求分析中重點(diǎn)分析敏感性排序靠前的隨機(jī)變量，忽略敏感性排序靠后的隨機(jī)變量，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，提高計(jì)算的效率[10-11]。

現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)地震需求敏感性分析的研究多是單因素分析方法，有其局限性，本文將矩獨(dú)立敏感性分析方法這一全局敏感性分析方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震需求敏感性分析中，研究各個(gè)隨機(jī)變量對(duì)結(jié)構(gòu)地震需求的影響，并用Tornado圖形法這一局部敏感性分析方法進(jìn)行對(duì)比，研究2種方法結(jié)果的異同。篩選出對(duì)框架結(jié)構(gòu)地震需求影響顯著的隨機(jī)變量和影響較小的隨機(jī)變量，這對(duì)于實(shí)際工程的抗震分析具有一定參考價(jià)值。

1 敏感性分析的方法

1.1 矩獨(dú)立敏感性分析方法

1.1.1 基本原理

(1)

當(dāng)Xi按照其密度函數(shù)fXi(Xi)取其所有實(shí)現(xiàn)值時(shí)， 對(duì)反應(yīng)量分布函數(shù)的累積影響的平均值可以表示為s(Xi)的數(shù)學(xué)期望值EXi[s(Xi)]， 其值如下

(2)

一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)變量對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)量分布函數(shù)的影響的敏感性測(cè)度指標(biāo)在0與1之間取值，所以可取下式衡量

(3)

1.1.2 求解方法

求解矩獨(dú)立敏感性測(cè)度指標(biāo)時(shí)，最核心的問(wèn)題是求解響應(yīng)量Y的條件概率密度函數(shù)fY|Xi(y)和無(wú)條件概率密度函數(shù)fY(y)，目前，常用的概率密度函數(shù)估計(jì)方法有非參數(shù)法和參數(shù)法，本文采用非參數(shù)法來(lái)求解。

在非參數(shù)估計(jì)法中，核密度估計(jì)法是一種準(zhǔn)確、有效的方法[13-14]， 假定N個(gè)樣本yi(i=1,2,…,N)， 那么fY(y)的核密度估計(jì)值為

(4)

式中：h為窗寬;K(y)為核密度函數(shù)，它是一個(gè)權(quán)函數(shù)， 估計(jì)f(y)在點(diǎn)y的值時(shí)，核密度函數(shù)的值域和形狀能夠控制數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及利用的程度， 核密度函數(shù)K(y)和帶寬h的選取決定核密度估計(jì)的優(yōu)劣。為保證估計(jì)結(jié)果的合理、有效，核密度函數(shù)需滿足條件

(5)

即K(y)必須是某個(gè)分布的概率密度函數(shù)，常用的核密度函數(shù)有

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

本文求解隨機(jī)變量的矩獨(dú)立敏感性測(cè)度指標(biāo)的具體流程如圖1所示。

圖1 求解流程圖Fig.1 Solution flow chart

1.2 Tornado圖形法

Tornado圖形法最早在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域得到應(yīng)用。近年來(lái)，一些研究者利用該方法對(duì)建筑物的地震損失進(jìn)行了敏感性分析[16]。Tornado圖形由一系列“幅擺”即水平橫杠組成，每一個(gè)水平橫杠對(duì)應(yīng)1個(gè)隨機(jī)變量，輸出結(jié)果的變異性通過(guò)水平橫杠的寬度加以體現(xiàn)。確定各個(gè)輸入的隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的水平橫杠的寬度后，對(duì)其敏感性按照由寬至窄的順序進(jìn)行排列。本文進(jìn)行敏感性分析的Tornado圖形法的步驟如下：

(1) 首先確定地震需求(EDP)的類型，如基底剪力需求、最大層間加速度需求、頂點(diǎn)位移需求等，考慮到隨機(jī)變量PGA的影響遠(yuǎn)大于其他隨機(jī)變量，所以將數(shù)據(jù)進(jìn)行特殊處理：將PGA對(duì)應(yīng)的地震需求設(shè)置為1，將其他隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的地震需求的最大值設(shè)置為0.8，其余隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的地震需求縮放同樣的倍數(shù)。

(2) 任選1個(gè)隨機(jī)變量Xi，根據(jù)此隨機(jī)變量概率分布的上、下界(分別取90%和10%)確定與其相對(duì)應(yīng)的下限值XLB和上限值XUB，將Xi以外的其他各個(gè)隨機(jī)變量的取值設(shè)置為平均值，利用XLB和XUB的取值利用有限元模型進(jìn)行非線性時(shí)程分析，得到地震需求的下限值EDPLB和上限值EDPUB。

(3) 取|EDPUB-EDPLB|為Xi對(duì)應(yīng)的水平橫杠的寬度，然后表示在圖形中，并按照水平橫杠的寬窄從上到下進(jìn)行排序。

2 工程實(shí)例

以工程中常見(jiàn)的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)(Reinforced Concrete Frame Structure，RCFS)和型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)(Steel Reinforced Concrete Frame Structure，SRCFS)為例，對(duì)影響結(jié)構(gòu)地震需求的地震動(dòng)強(qiáng)度以及結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量進(jìn)行敏感性分析。兩例均為7層3跨框架結(jié)構(gòu)，8度設(shè)防(0.3 g)，結(jié)構(gòu)中柱距均為6.0 m，混凝土等級(jí)為C30，鋼筋等級(jí)為HRB335，隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)信息如表1所示，結(jié)構(gòu)尺寸一致，具體信息見(jiàn)表2。所不同的是，型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)中配有型鋼，型鋼為焊接H型鋼，型鋼等級(jí)為Q345，600×600柱中型鋼為H400×400×11×18，500×500柱中型鋼為H300×300×10×15，梁中型鋼為H140×440×10×16，受篇幅所限，僅給出型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Structure diagram

表1 隨機(jī)變量的概率分布類型及統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表2 截面信息

本文選取的128條地震波均來(lái)自美國(guó)太平洋地震工程研究中心PEER中的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)，全部縮放至相同的峰值地面運(yùn)動(dòng)加速度PGA， 所有記錄的場(chǎng)地?cái)鄬泳嗑笥?0 km，260≤vs30≤500，作用于框架結(jié)構(gòu)的縱向，見(jiàn)表3。

表3 地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄

2.1 分析模型

采用OpenSees進(jìn)行非線性時(shí)程分析，柱在地震作用下更容易發(fā)生塑性破壞，所以采用“強(qiáng)柱弱梁”的設(shè)計(jì)理念，梁和柱都采用非線性纖維梁柱單元，鋼筋和型鋼采用Steel02單元材料模型，混凝土采用Concrete02單元材料模型。

OpenSees中Steel02單元材料模型采用Giuffr6-Menegoa0-Pinto修正模型[22]，Concrete02單元材料模型的受拉段考慮了材料的初次開(kāi)裂以后，循環(huán)加載剛度隨著最大拉應(yīng)變的增加的退化效應(yīng)以及受拉硬化效應(yīng)，卸載的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系按照修正的Karsan-Jirsa卸載規(guī)則[23]，受壓段則采用Kent-Scott-Park本構(gòu)模型[24]。

2.2 抽樣方法

得到樣本的方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、Sobol序列、拉丁方抽樣等抽樣技術(shù)，一般Sobol序列樣本比其他樣本的收斂速度更優(yōu)，所以本文采用Sobol序列樣本，通過(guò)OpenSees軟件進(jìn)行非線性時(shí)程分析，具體如下：首先根據(jù)各個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)抽取N組樣本，通過(guò)非線性時(shí)程分析得到N組無(wú)條件樣本值，然后取以上Xi的實(shí)現(xiàn)值后，根據(jù)其他隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)隨機(jī)抽取N組樣本，通過(guò)非線性時(shí)程分析得到對(duì)應(yīng)的條件樣本值。用核密度估計(jì)法求出各個(gè)隨機(jī)變量對(duì)框架結(jié)構(gòu)地震需求影響的敏感性測(cè)度指標(biāo)δ，選擇頂點(diǎn)位移、最大層間位移角、基底剪力和最大樓層加速度這4種地震需求進(jìn)行敏感性分析，以便能夠體現(xiàn)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的抗震性能。

2.3 矩獨(dú)立敏感性分析結(jié)果

在N組隨機(jī)變量樣本中隨機(jī)抽取一組，圖3給出了鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的4種結(jié)構(gòu)地震需求的時(shí)程曲線，限于篇幅，不再給出型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的時(shí)程曲線。

圖3 時(shí)程曲線Fig.3 Time history curves

本文得到了各個(gè)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的4種地震需求的矩獨(dú)立敏感性測(cè)度指標(biāo)，如表4所示。

由表4可知，地震動(dòng)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的矩獨(dú)立敏感性測(cè)度指標(biāo)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他各個(gè)隨機(jī)變量，本文只將結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)的敏感性測(cè)度指標(biāo)值畫(huà)在圖中，如圖4所示。

由圖4(a)可知，阻尼比和混凝土的抗壓強(qiáng)度對(duì)兩種框架結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移需求的影響顯著，混凝土的彈性模量的影響較小，型鋼的屈服強(qiáng)度和彈性模量都對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)的最大層間位移角需求影響較大。由圖4(b)可知，阻尼比、混凝土的抗壓強(qiáng)度、型鋼的屈服強(qiáng)度和彈性模量對(duì)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)最大層間位移角需求的影響顯著，混凝土的彈性模量的影響最小，阻尼比和混凝土的抗壓強(qiáng)度對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)最大層間位移角需求的影響顯著。

表4 矩獨(dú)立敏感性測(cè)度指標(biāo)

由圖4(c)可知，對(duì)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)基底剪力需求影響較大的隨機(jī)變量除地震動(dòng)強(qiáng)度外還有阻尼比、混凝土的抗壓強(qiáng)度和鋼筋的屈服強(qiáng)度，其他各個(gè)隨機(jī)變量的影響都較小；對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)基底剪力需求影響較大的隨機(jī)變量除地震動(dòng)強(qiáng)度外還有阻尼比、混凝土的抗壓強(qiáng)度、型鋼的彈性模量和鋼筋的屈服強(qiáng)度，其他各個(gè)隨機(jī)變量的影響相對(duì)較小。由圖4(d)可知，對(duì)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)最大樓層加速度需求影響由大到小排序?yàn)榈卣饎?dòng)強(qiáng)度、阻尼比、混凝土的抗壓強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)質(zhì)量、鋼筋的屈服強(qiáng)度和彈性模量、混凝土的彈性模量；對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)最大樓層加速度需求影響由大到小排序?yàn)榈卣饎?dòng)強(qiáng)度、阻尼比、混凝土的抗壓強(qiáng)度、鋼筋的彈性模量和屈服強(qiáng)度、型鋼的屈服強(qiáng)度和彈性模量、結(jié)構(gòu)質(zhì)量、混凝土的彈性模量。

由以上分析可知，采用矩獨(dú)立敏感性分析方法時(shí)，地震動(dòng)強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量對(duì)地震需求都有一定的影響，同一隨機(jī)變量對(duì)不同地震需求的影響程度存在一定的差異。

圖4 矩獨(dú)立敏感性測(cè)度指標(biāo)Fig.4 Moment independent sensitivity measure index

2.4 Tornado圖形法分析結(jié)果

表5列出了采用Tornado圖形法時(shí)，對(duì)不同的地震需求進(jìn)行局部敏感性分析的結(jié)果，從表中可以看出，PGA引起的地震需求的變化要遠(yuǎn)大于其他各個(gè)隨機(jī)變量，所以只將結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的結(jié)果畫(huà)在圖中，如圖5和圖6所示。

表5 Tornado圖形法結(jié)果

由表5和圖5可知，除地震動(dòng)強(qiáng)度外，阻尼比和混凝土的抗壓強(qiáng)度對(duì)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)4種地震需求的影響均靠前，混凝土的彈性模量和鋼筋的屈服強(qiáng)度對(duì)4種地震需求的影響均靠后。

由表5和圖6可知，除地震動(dòng)強(qiáng)度外，阻尼比和混凝土的抗壓強(qiáng)度對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)4種地震需求的影響均靠前，結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)頂點(diǎn)位移、最大層間位移角和基底剪力3種地震需求的影響較大；鋼筋的屈服強(qiáng)度和混凝土的彈性模量對(duì)4種地震需求的影響均靠后。

3 結(jié)果對(duì)比

本文采用矩獨(dú)立敏感性分析方法和Tornado圖形法進(jìn)行敏感性分析，其中矩獨(dú)立敏感性分析方法是一種全局敏感性分析方法，而Tornado圖形法是一種局部敏感性分析方法。

為便于對(duì)用2種分析方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，將2種方法得到的隨機(jī)變量敏感性分析排序結(jié)果列于表2。

由表6可知，采用2種方法得到的隨機(jī)變量敏感性排序結(jié)果不太一致，這是因?yàn)椴捎镁鬲?dú)立敏感性分析方法研究隨機(jī)變量對(duì)結(jié)構(gòu)地震需求的敏感性時(shí)，是從全局的角度來(lái)研究的，而Tornado圖形法是一種局部靈敏度分析方法，只考慮了單一因素的影響，無(wú)法同時(shí)考慮其他隨機(jī)變量的影響。2種分析方法均表明：地震動(dòng)強(qiáng)度和阻尼比對(duì)本文中的兩種框架結(jié)構(gòu)縱向的多數(shù)結(jié)構(gòu)地震需求的影響大于其他隨機(jī)變量，混凝土的彈性模量對(duì)兩種框架結(jié)構(gòu)的各種地震需求的影響都較小。

圖5 RCFS隨機(jī)變量的敏感性排序Fig.5 Sensitivity ordering of random variables of RCFS

圖6 SRCFS隨機(jī)變量的敏感性排序Fig.6 Sensitivity ordering of random variables of SRCFS

表6 隨機(jī)變量的敏感性排序

4 結(jié) 論

本文通過(guò)矩獨(dú)立敏感性分析方法這一全局敏感性分析方法，對(duì)2種框架結(jié)構(gòu)的地震需求進(jìn)行了敏感性分析，并與Tornado圖形法這一局部敏感性分析方法進(jìn)行了對(duì)比，得到以下結(jié)論：

(1) 采用矩獨(dú)立敏感性分析方法時(shí)，各個(gè)隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)的兩種框架結(jié)構(gòu)地震需求的敏感性測(cè)度指標(biāo)的值大小有差異，但同一隨機(jī)變量的敏感性排序基本一致。

(2) 對(duì)于同一種地震需求，采用2種不同的分析方法時(shí)，隨機(jī)變量的敏感性排序方面，影響較大和影響較小的因素一致，只是影響居中的幾個(gè)隨機(jī)變量的排序有所不同。

(3) 采用2種不同分析方法時(shí)，地震動(dòng)強(qiáng)度、阻尼比和混凝土的抗壓強(qiáng)度的敏感性排序均靠前；而混凝土的彈性模量的敏感性排序均靠后，所以在框架結(jié)構(gòu)地震需求分析時(shí)，要重點(diǎn)考慮以上3個(gè)因素，這對(duì)于實(shí)際工程具有一定的參考價(jià)值。

通過(guò)2種分析方法的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，矩獨(dú)立敏感性分析方法是一種比較準(zhǔn)確的敏感性分析方法，只是這種方法與Tornado圖形法分析時(shí)，影響居中的幾個(gè)隨機(jī)變量的敏感性排序中有所不同，具體原因需要在后續(xù)的工作中做進(jìn)一步的研究。