郭 芳, 方宗德, 張西金

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 西安 710072)

嚙合沖擊會加速齒輪的點(diǎn)蝕形成、齒根裂紋的萌生與擴(kuò)展，及輪齒的斷裂，同時(shí)又影響到齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性，是重要的振動與噪聲激勵(lì)源[1]。因此，國內(nèi)外學(xué)者在齒輪嚙合沖擊方面做了大量研究。文獻(xiàn)[2-4]根據(jù)齒輪公差合成傳動系統(tǒng)的等效誤差，將齒輪彈性變形及系統(tǒng)等效誤差反映到輪齒嚙合的幾何位置關(guān)系中；根據(jù)嚙合原理和幾何關(guān)系推導(dǎo)出線外嚙合點(diǎn)的位置，從而計(jì)算嚙合沖擊力。文獻(xiàn)[5-6]利用有限元軟件建立齒輪嚙合模型，通過有限元數(shù)值分析軟件LS-DYNA對齒輪嚙合沖擊過程進(jìn)行數(shù)值仿真，獲得了嚙合沖擊過程的沖擊速度、沖擊力、沖擊時(shí)間及齒輪彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力。文獻(xiàn)[7]分析了線外嚙合對齒輪傳動性能的影響。文獻(xiàn)[8]研究了齒輪嚙合沖擊與點(diǎn)蝕的關(guān)系。文獻(xiàn)[9]基于輪齒嚙入沖擊理論，分析了嚙入沖擊對行星齒輪系統(tǒng)輻射噪聲的影響，并研究了不同加載條件下，嚙入沖擊對齒輪箱體輻射噪聲的影響。

綜上所述，以往學(xué)者分析輪齒嚙合沖擊采用的方法基本上分為解析法和有限元法。計(jì)算線外嚙合沖擊力的關(guān)鍵在于線外嚙合位置的準(zhǔn)確求解及其剛度的計(jì)算。然而現(xiàn)有的解析法依據(jù)齒輪設(shè)計(jì)手冊中的公差對齒輪制造誤差進(jìn)行取值，且未考慮制造誤差的隨機(jī)性，因此無法準(zhǔn)確求解線外嚙合點(diǎn)的位置；有限元法對齒輪模型的精確度、網(wǎng)格劃分的精密度要求較高，需耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間及較高的硬件成本；且已有研究只計(jì)算了單對齒的線外嚙合沖擊力，按嚙合周期循環(huán)變化。本文以一對斜齒輪為例，利用克林貝格P100型齒檢儀對已加工齒輪進(jìn)行齒面檢測，基于測得的累計(jì)齒距誤差，進(jìn)行輪齒接觸分析(TCA)及輪齒承載接觸分析(LTCA)，獲得齒輪連續(xù)嚙合過程中每對輪齒嚙合的實(shí)際嚙入點(diǎn)位置；然后根據(jù)LTCA得到的輪齒承載變形及載荷分配系數(shù)，計(jì)算嚙入點(diǎn)處的剛度；最后計(jì)算出以n個(gè)嚙合周期為一個(gè)大周期的嚙入沖擊力(n為主、被動輪齒數(shù)的最小公倍數(shù))。本文提出的方法對修形齒面及誤差齒面均適用，反映了齒輪連續(xù)嚙合過程中不同齒的相對基節(jié)誤差對嚙入沖擊的影響。

1 考慮系統(tǒng)相對基節(jié)誤差的承載傳動誤差計(jì)算

1.1 系統(tǒng)相對基節(jié)誤差計(jì)算

本節(jié)主要考慮由于嚙合齒輪輪齒分布不均勻即齒距偏差而產(chǎn)生的相對基節(jié)偏差。齒距偏差是指在端平面分度圓上的實(shí)際齒距與公稱齒距之差。若將此偏差引入齒輪承載接觸分析，需將嚙合齒輪的齒距誤差轉(zhuǎn)換為法向基節(jié)偏差，并將兩者相減得到齒輪系統(tǒng)的相對基節(jié)偏差。

本文以一對標(biāo)準(zhǔn)安裝的修形斜齒輪副為例，其基本參數(shù)如表1所示。齒輪齒面采用硬齒面磨齒加工，加工精度為6級。小輪(主動輪)進(jìn)行三維修形，齒廓、齒向均采用4次拋物線修形，如圖1所示。大輪(從動輪)無修形。

表1 斜齒輪副參數(shù)

(a) 齒廓修形曲線

(b) 齒向修形曲線圖1 小輪三維修形曲線Fig.1 The modification curve of pinion

采用克林貝格P100型齒檢儀對大、小輪齒面進(jìn)行檢測，齒距測量報(bào)告如表2所示。系統(tǒng)的相對基節(jié)偏差可由下式求出。在此需要說明一點(diǎn)，本文算例中大、小輪齒數(shù)互質(zhì)，故在一個(gè)大周期內(nèi)小輪的任意一個(gè)齒與大輪的所有齒都有嚙合的機(jī)會，故系統(tǒng)的相對基節(jié)誤差不需要考慮大、小輪的初始相位問題，以任意相位相嚙合得到的以大周期循環(huán)的系統(tǒng)相對基節(jié)誤差曲線均相同。

Fpb=(Fpk2-Fpk1)·cosβ·cosα

(1)

式中：Fpk1,Fpk2分別是小輪、大輪的齒距累積偏差；β為螺旋角；αn為法向壓力角;Fpb為系統(tǒng)相對基節(jié)累積偏差，其值如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)相對基節(jié)誤差Fig.2 The relative pitch error of the system

表2 齒距測量報(bào)告

1.2 考慮系統(tǒng)相對基節(jié)誤差的承載傳動誤差計(jì)算

對于齒輪承載接觸分析，學(xué)者們做了許多有價(jià)值的研究[10-13]。但考慮嚙合齒對相對基節(jié)誤差的承載接觸分析尚缺少研究。本節(jié)主要考慮圖2所示的以(19×47)個(gè)嚙合周期為一個(gè)大周期的系統(tǒng)相對基節(jié)誤差對齒面承載接觸過程的影響。

考慮相對基節(jié)誤差的承載接觸分析主要思路為：對齒面進(jìn)行TCA，獲得單對齒從嚙入到嚙出過程中每個(gè)嚙合位置的初始齒面間隙；將同時(shí)嚙合齒對的相對基節(jié)誤差疊加于對應(yīng)嚙合位置的初始齒面間隙，以嚙合周期為計(jì)算周期，循環(huán)進(jìn)行LTCA，從而得出大周期內(nèi)考慮系統(tǒng)相對基節(jié)誤差的承載傳動誤差。

上述計(jì)算過程的關(guān)鍵為：如何將同時(shí)嚙合齒對的相對基節(jié)誤差與對應(yīng)嚙合位置的初始齒面間隙相疊加。參考文獻(xiàn)[14]中的輪齒接觸分析原理，對算例進(jìn)行TCA，得出單對齒從嚙入到嚙出的齒面接觸印跡及幾何傳動誤差，如圖3所示。由圖3(a)可以看出，一個(gè)齒從嚙入到嚙出的過程中共有12個(gè)嚙合點(diǎn)(一個(gè)嚙合周期分為5個(gè)計(jì)算步長)，對大周期中893對嚙合齒對進(jìn)行編號，以齒對1及其左右相鄰的兩對齒為例，列出嚙合點(diǎn)的接觸序列，如表3所示。表3中框內(nèi)為同時(shí)嚙合齒對在一個(gè)嚙合周期中嚙合點(diǎn)的接觸序列，因此，在嚙合周期1中由TCA得出的嚙合點(diǎn)1、6、11的初始齒面間隙需要分別疊加齒對1、893、892的相對基節(jié)誤差，依次類推。一個(gè)嚙合周期的初始齒面間隙與相應(yīng)齒對的相對基節(jié)誤差疊加之后進(jìn)行LTCA。如此循環(huán)計(jì)算得出考慮系統(tǒng)相對基節(jié)誤差的承載傳動誤差，如圖4所示。

(a) 齒面接觸印跡(嚙合位置標(biāo)記)

(b) 幾何傳動誤差圖3 輪齒接觸分析結(jié)果(未考慮基節(jié)誤差)Fig.3 The result of TCA (without considering the pitch error)

2 線外嚙入點(diǎn)的確定

在齒輪嚙合過程中,輪齒由于受載變形和制造誤差，會產(chǎn)生基節(jié)誤差，使得實(shí)際嚙入點(diǎn)偏離理論嚙合線，造成從動輪轉(zhuǎn)動速度產(chǎn)生突變，引起嚙入沖擊。

表3 同時(shí)嚙合齒對接觸序列

圖4 大周期內(nèi)考慮系統(tǒng)相對基節(jié)誤差的承載傳動誤差Fig.4 The loaded transmission error considering the system relative pitch error in a big period

本文基于TCA和LTCA確定線外嚙入位置，其基本思想為：對齒面進(jìn)行TCA，獲得幾何傳動誤差；參考文獻(xiàn)[15]，相對基節(jié)誤差為正，表示滯后退出嚙合；相對基節(jié)誤差為負(fù)，表示提前進(jìn)入嚙合，得出大周期內(nèi)考慮系統(tǒng)相對基節(jié)誤差的幾何傳動誤差；采用多項(xiàng)式擬合方法對考慮相對基節(jié)誤差的幾何傳動誤差和承載傳動誤差分別進(jìn)行擬合，并求解兩曲線在每對齒進(jìn)入嚙合時(shí)的交點(diǎn)，即為每個(gè)嚙合周期的實(shí)際嚙入點(diǎn)(因?yàn)榻稽c(diǎn)處幾何傳動誤差與承載傳動誤差相等，說明此時(shí)未承擔(dān)載荷，未發(fā)生承載變形)；根據(jù)交點(diǎn)對應(yīng)的小輪轉(zhuǎn)角，進(jìn)行TCA得出交點(diǎn)處的位置矢量和法向矢量，最終得出每個(gè)嚙合周期實(shí)際嚙入點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。圖5展示了5個(gè)嚙合周期的初始嚙入點(diǎn)的位置。

圖5 初始嚙入點(diǎn)的位置Fig.5 The actually original position of the meshing-in contact

3 線外嚙入沖擊速度計(jì)算

(2)

式中：ρMi是Og到M點(diǎn)的矢量，ρMi=RMi-E，E為Of到Og的矢量；wp,wg分別是小輪、大輪的角速度。

(a) 端截面示意圖

(b) 法向量示意圖圖6 嚙入沖擊速度計(jì)算原理圖Fig.6 Calculation principle of the shock velocity

4 線外嚙入點(diǎn)剛度計(jì)算

(3)

圖時(shí)承載傳動誤差曲線Fig.7 The loaded transmission error curve

(4)

最后，可由式(5)計(jì)算出大周期內(nèi)線外嚙入點(diǎn)處的剛度，如圖8所示。

(5)

5 嚙入沖擊力的計(jì)算及對比驗(yàn)證

5.1 嚙入沖擊力的計(jì)算

圖8 大周期內(nèi)線外嚙入點(diǎn)處的剛度Fig.8 The stiffness of the original position of the meshing-in contact in a big period

圖9 嚙入沖擊動力學(xué)模型Fig.9 The dynamic model of meshing-in impact

最大嚙入沖擊力的計(jì)算參考文獻(xiàn)[2]中的方法，在此僅簡單介紹。如圖9為嚙入沖擊動力學(xué)模型，將小輪、大輪簡化為質(zhì)點(diǎn)，mep,meg為其誘導(dǎo)質(zhì)量：

(6)

式中:Ip,Ig分別是小輪、大輪的轉(zhuǎn)動慣量。

線外嚙入點(diǎn)的沖擊動能和彈性勢能分別為：

(7)

(8)

式中:me為齒輪對的等效質(zhì)量；Fsi為最大沖擊力，因其產(chǎn)生相應(yīng)的變形為Wsi；Ksi為線外嚙入點(diǎn)處的剛度。

根據(jù)能量守恒定律，令Eki=Epi, 將式(7)和(8)代入可求得最大沖擊力為：

(9)

假設(shè)嚙入沖擊力為一半正弦脈沖，則可表達(dá)為：

fs(t)=Fssin(ωst) 0≤t≤ts

(10)

式中:ωs為半正弦波角頻率,ωs=π/ts;ts為沖擊時(shí)間, 即沖擊速度由vs減小為0的過程。 沖擊時(shí)間的計(jì)算參考文獻(xiàn)[16]，由沖量定理得：

(11)

由式(11)可求得沖擊時(shí)間ts為:

(12)

由此可得出大周期內(nèi)Tload=830 N·m時(shí)的嚙入沖擊力, 如圖10所示。

圖10 大周期內(nèi)齒輪線外嚙入沖擊力Fig.10 Meshing-in impact force in a big period

5.2 對比驗(yàn)證

本文應(yīng)用文獻(xiàn)[2]提出的嚙合沖擊模型對算例進(jìn)行計(jì)算。主要計(jì)算過程如下：將系統(tǒng)相對基節(jié)誤差與輪齒的承載接觸變形進(jìn)行疊加，其值作為嚙入沖擊點(diǎn)的位置判據(jù)，即對應(yīng)文獻(xiàn)[2]中的式(4)。根據(jù)文獻(xiàn)[2]中圖1所示的線外嚙入沖擊原理圖計(jì)算線外嚙入點(diǎn)的幾何位置；再根據(jù)文獻(xiàn)[2]中圖4所示的沖擊點(diǎn)速度示意圖計(jì)算大、小輪的切向速度，并分別向嚙入點(diǎn)的法向矢量投影，計(jì)算沖擊速度；線外嚙入點(diǎn)的剛度為每個(gè)嚙合周期第一個(gè)嚙合位置(即大輪齒頂與小輪齒腹接觸的位置)對應(yīng)的剛度，其值根據(jù)LTCA及本文中公式(4)、(5)得出；最后利用文獻(xiàn)[2]中的式(38)計(jì)算最大嚙入沖擊力。

按照上述計(jì)算步驟，本文通過周長江等提出的嚙合沖擊模型計(jì)算了893個(gè)嚙合周期內(nèi)負(fù)載Tload=830 N·m時(shí)的嚙入沖擊力，如圖11所示。

圖11 大周期內(nèi)齒輪線外嚙入沖擊力(根據(jù)文獻(xiàn)[2]的方法計(jì)算得到)Fig.11 Meshing-in impact force in a big period (Calculated according to reference [2])

5.3 小結(jié)

對比本文方法及周長江等的方法計(jì)算得到的結(jié)果，我們可以看出根據(jù)周長江等計(jì)算的嚙入沖擊力較大。這是由于在負(fù)載Tload=830 N·m時(shí)兩種方法確定的線外嚙入點(diǎn)的位置不同，周長江等的方法認(rèn)為嚙入沖擊發(fā)生在大輪齒頂與小輪齒腹接觸的位置，而本文提出將每個(gè)嚙合周期的幾何傳動誤差和承載傳動誤差的交點(diǎn)作為實(shí)際嚙入點(diǎn)的位置。由于本文算例存在基節(jié)誤差及小輪的三維修形，此時(shí)的初始嚙入位置并未發(fā)生在大輪齒頂，而是沿圖3(a)所示的接觸跡線向大輪齒中產(chǎn)生略微偏移，故采用本文方法求得的嚙入點(diǎn)的位置更精準(zhǔn)。周長江等確定的嚙入沖擊點(diǎn)沿公法線產(chǎn)生的相對速度差更大，因此根據(jù)該文獻(xiàn)計(jì)算的嚙入沖擊力偏大。

6 結(jié) 論

齒輪連續(xù)嚙合過程中，由于制造誤差的隨機(jī)性，每個(gè)嚙合周期的實(shí)際初始嚙合位置均不相同，這對分析齒輪嚙入沖擊的實(shí)際變化規(guī)律造成了一定的困難?；诖藛栴}，本文提出一種考慮實(shí)測基節(jié)誤差的齒輪嚙入沖擊算法。該算法基于考慮實(shí)測基節(jié)誤差的輪齒接觸分析(TCA)及承載接觸分析(LTCA)可準(zhǔn)確算出齒輪連續(xù)嚙合過程中不同嚙合齒對的初始嚙入點(diǎn)位置及相應(yīng)的剛度，從而真實(shí)反映出實(shí)際齒輪嚙合過程中嚙入沖擊力的變化情況。本文以一對斜齒輪為例進(jìn)行計(jì)算分析，由結(jié)果可得出以下結(jié)論：

(1) 本文算法將實(shí)測基節(jié)誤差引入齒輪嚙入沖擊計(jì)算中，有效地反映了齒輪嚙合過程中嚙合沖擊力變化的真實(shí)情況。

(2) 基于考慮實(shí)測基節(jié)誤差的輪齒接觸分析(TCA)及承載接觸分析(LTCA)，本文將每個(gè)嚙合周期的幾何傳動誤差與承載傳動誤差的交點(diǎn)作為初始嚙入位置的判定。此判定方法更加準(zhǔn)確，與文獻(xiàn)[2]的對比進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法。

(3) 考慮實(shí)測基節(jié)誤差的嚙入沖擊力不是以嚙合周期變化的，而是以制造誤差的變化周期而變化的。

(4) 該算法不僅適用于修形齒面齒輪，也適用于誤差齒面齒輪。