李竟艷， 高文學(xué)， 宋肖龍

(北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

自分形幾何建立以來(lái)[1-3]，分形理論及其應(yīng)用的研究已經(jīng)深入到自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)并取得了矚目的成就[4-6]。1984年，Manderlbrot等[7]首次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了鋼的斷裂面具有分形特征，此后其它一些材料斷面的分形特性也相繼被證實(shí)[8-9]。由此分形斷裂力學(xué)為呈現(xiàn)不規(guī)則性、復(fù)雜性的巖石類材料斷裂研究提供了很好的方法。Xie[10]應(yīng)用分形幾何系統(tǒng)地研究了巖石微觀斷裂機(jī)制、裂紋分形擴(kuò)展、巖石分形節(jié)理力學(xué)、巖石分形統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論、分形損傷與分形破碎等一系列巖石力學(xué)關(guān)鍵問(wèn)題。然而，分形應(yīng)用中面臨的無(wú)法建立分形裂紋擴(kuò)展的邊值問(wèn)題及分形裂紋的整數(shù)維測(cè)度是奇異或者發(fā)散的本質(zhì)困難，嚴(yán)重阻礙了分形斷裂力學(xué)研究的發(fā)展，為避免分形應(yīng)用中的這一本質(zhì)困難，Ou等[11]提出了泛形的概念，并在理論上證明了用分形逼近泛形的不合理性。泛形是具有有限層次的自相似(或自仿射)結(jié)構(gòu)，通?？捎赡撤N給定生成規(guī)則下的有限次迭代產(chǎn)生。此外，對(duì)于給定的泛形，一般存在一個(gè)與其迭代過(guò)程相對(duì)應(yīng)的分形，稱其為該泛形的伴隨分形，并稱伴隨分形的維數(shù)為該泛形的復(fù)雜度，以強(qiáng)調(diào)泛形的整數(shù)維特征?；诜盒胃拍?，認(rèn)為自然界的幾何是泛形幾何而非分形幾何，對(duì)于自然界中的幾何或物理對(duì)象用泛形而非分形來(lái)描述更加合理，這從根本上避免了上述分形應(yīng)用的本質(zhì)困難。由此實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)靜態(tài)拉伸載荷下混凝土類脆性材料中泛形裂紋構(gòu)形的描述，并證實(shí)了材料的非均勻性導(dǎo)致泛形斷裂面的基本思想[12]。同時(shí)，基于泛形有限整數(shù)維測(cè)度，提出的材料泛形斷裂能可作為混凝土斷裂性質(zhì)的表征參數(shù)，并為長(zhǎng)期以來(lái)存在的傳統(tǒng)斷裂能與臨界應(yīng)變能釋放率的計(jì)算結(jié)果不一致的困惑提供了一個(gè)合理的解釋[13]。

此外，巖石作為一種天然材料，在采礦作業(yè)、地鐵隧道、大壩建設(shè)等工程領(lǐng)域中，常處在爆炸、沖擊等動(dòng)態(tài)載荷環(huán)境下。尤其是在動(dòng)態(tài)拉伸載荷作用下，由于巖石材料的拉伸強(qiáng)度遠(yuǎn)小于壓縮強(qiáng)度，常表現(xiàn)為拉伸破壞。因此，對(duì)于動(dòng)態(tài)拉伸載荷作用下的巖石動(dòng)態(tài)力學(xué)性能以及其動(dòng)態(tài)斷裂問(wèn)題的研究顯得尤為重要。借助霍普金森桿試驗(yàn)，學(xué)者們對(duì)巖石材料在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)拉伸性能進(jìn)行了一些試驗(yàn)研究[14-16]。但是，由于試驗(yàn)結(jié)果很難提供在動(dòng)載荷作用下巖石材料內(nèi)部裂紋的萌生、擴(kuò)展，以及不同加載率下裂紋的匯聚過(guò)程，所以很難給出描述巖石動(dòng)態(tài)斷裂的定量信息。數(shù)值模擬技術(shù)則可以作為試驗(yàn)的一個(gè)有利補(bǔ)充。但截至目前，動(dòng)態(tài)載荷作用下泛形裂紋擴(kuò)展數(shù)值計(jì)算問(wèn)題還沒(méi)有相關(guān)的研究。本文采用基于擴(kuò)展有限元的黏聚裂紋模型，對(duì)動(dòng)態(tài)拉伸載荷作用下巖石材料的泛形裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，由計(jì)盒維數(shù)計(jì)算給出斷面的泛形復(fù)雜度。并基于泛形斷裂能的計(jì)算，從斷裂能量釋放率的角度探索應(yīng)變率對(duì)泛形裂紋擴(kuò)展路徑及泛形復(fù)雜度的影響。研究結(jié)果對(duì)理解巖石材料動(dòng)態(tài)斷裂問(wèn)題有一定的補(bǔ)充意義。

1 計(jì)算模型

巖石類材料內(nèi)部存在大量缺陷，導(dǎo)致材料性質(zhì)呈隨機(jī)分布。為了更好地研究這類材料特性，引入概率統(tǒng)計(jì)的方法，即假定組成材料細(xì)觀各相組成的力學(xué)性質(zhì)滿足某種概率統(tǒng)計(jì)分布，其中，Weibull分布密度函數(shù)較適宜于巖石材料的細(xì)觀材料特性描述[17]。根據(jù)Weibull分布的定義，其分布密度函數(shù)為

(1)

式中：w為該分布的分布變量；w0是尺度參數(shù)，是一個(gè)與平均值E(w)相關(guān)的參數(shù)，w0與E(w)存在關(guān)系E(w)=w0Γ(1+1/m)；Γ函數(shù)的數(shù)值可以通過(guò)數(shù)學(xué)手冊(cè)查得；m為材料均質(zhì)度，表征材料的均勻程度。在數(shù)值上，首先將計(jì)算區(qū)域離散為有限單元，所有單元的材料強(qiáng)度滿足給定的Weibull分布，不同材料強(qiáng)度的單元數(shù)目也應(yīng)滿足該Weibull分布(圖1)。進(jìn)而通過(guò)賦值給所有離散單元不同的材料性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)Weibull分布。

圖1 不同強(qiáng)度單元數(shù)目的分布直方圖Fig.1 Histogram of elements in numerical model with different strength

計(jì)算中，應(yīng)用基于擴(kuò)展有限元的黏性片段方法(XFEM-based cohesive segments method)。黏性片段擴(kuò)展特性類似于黏聚裂紋模型。線性損傷起始及演化規(guī)律如圖2所示。圖中，Δn為裂面張開(kāi)位移矢量，Δnmax為最大張開(kāi)位移的法向分量，σmax表示最大拉伸強(qiáng)度。裂紋起裂采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則。然而，巖石作為非均勻材料，由于材料屬性在空間上分布不均勻，裂紋起裂由應(yīng)力場(chǎng)及非均勻材料屬性的空間分布共同決定，裂紋擴(kuò)展采用冪指數(shù)準(zhǔn)則。開(kāi)裂準(zhǔn)則通過(guò)用戶自定義損傷起始準(zhǔn)則(UDMGINI)實(shí)現(xiàn)。

圖2 線性損傷演化規(guī)律Fig.2 Typical linear traction-separation response

計(jì)算模型如圖3所示。模型寬L=20 mm，長(zhǎng)W=12 mm，初始裂紋長(zhǎng)度a=1 mm。計(jì)算模型的有限元網(wǎng)格為富集單元。在初始裂紋附近選取邊長(zhǎng)為50 μm的單元，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，在遠(yuǎn)離初始裂紋的區(qū)域采用邊長(zhǎng)為100 μm的單元。以材料拉伸強(qiáng)度f(wàn)t及斷裂韌性Gc作為Weibull分布的非均勻隨機(jī)空間分布參數(shù)，如圖4所示，不同的灰度代表了不同的材料屬性。模型上下面施加如下速度邊界條件

(2)

式中：v為質(zhì)點(diǎn)速度；tr為載荷上升時(shí)間。通過(guò)調(diào)整選取不同tr值可以方便控制加載率。計(jì)算中，在模型左右邊界通過(guò)無(wú)限元技術(shù)引入無(wú)反射邊界條件，防止應(yīng)力在自由邊界處的反射對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。Weibull分布參數(shù)為：分布變量拉伸強(qiáng)度的均值E(ft)=3.5 MPa，斷裂韌性的均值E(Gc)=0.03 N/mm，均質(zhì)度m=6。其他的材料參數(shù)如表1。

表1 材料參數(shù)

圖3 計(jì)算模型Fig.3 The simulation model

圖4 分布變量的空間隨機(jī)分布Fig.4 Spatial random distribution of parameter in simulation model

2 結(jié)果與討論

當(dāng)邊界速度V=1 m/s 時(shí)，根據(jù)模型中材料力學(xué)參數(shù)計(jì)算可知，初始時(shí)刻一對(duì)拉伸應(yīng)力波以應(yīng)力約為10 MPa的幅值從模型上下兩邊向中間傳播，如圖5(a)所示。根據(jù)材料參數(shù)可知，大約2.5 μs 后應(yīng)力到達(dá)裂紋尖端并在裂紋尖端處形成應(yīng)力集中(圖5(b))。隨著時(shí)間增加當(dāng)該應(yīng)力幅值達(dá)到黏聚模型所設(shè)定最大黏聚應(yīng)力時(shí)，裂紋將開(kāi)始起裂，當(dāng)裂紋尖端能量釋放率達(dá)到模型設(shè)定材料斷裂韌性時(shí)，黏聚裂紋面形成，裂紋擴(kuò)展(圖5(c))。裂紋不斷擴(kuò)展，最終達(dá)到試件的拉伸失效，得到計(jì)算模型的泛形斷裂面(圖5(d))。某一時(shí)刻的裂紋尖端局部放大如圖5(e)。

采用計(jì)盒維數(shù)方法，對(duì)模型的泛形裂紋(圖5(d))復(fù)雜度進(jìn)行計(jì)算。如圖6所示，N(δ)為用尺寸為δ的盒子覆蓋裂紋構(gòu)形的最少盒子數(shù)目，然后在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中用最小二乘法擬合直線，所得直線的斜率即所求復(fù)雜度。由此計(jì)算得到計(jì)算模型泛形裂紋的復(fù)雜度C=1.228。從圖6可以看出，線性擬合的相關(guān)系數(shù)R接近1，表明復(fù)雜度的計(jì)算結(jié)果可信度較好。同時(shí)巖石類材料分形維數(shù)的已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果[9]表明，這類材料的復(fù)雜度在1.117～1.523之間。本模型的數(shù)值結(jié)果落在實(shí)驗(yàn)結(jié)果區(qū)間內(nèi)，這表明本模型可以用來(lái)計(jì)算巖石材料中泛形裂紋擴(kuò)展問(wèn)題。

圖5 泛形裂紋擴(kuò)展Fig.5 Extension of ubiquitiformal crack

圖6 泛形裂紋構(gòu)形的計(jì)盒維數(shù)Fig.6 Box counting method applied toubiquitiformalcrack

表2 不同應(yīng)變率下裂紋的復(fù)雜度

圖7 不同加載率泛形裂紋擴(kuò)展路徑比較Fig.7 Extension of crack for the different strain rate

從圖8分析可知，隨著加載率的提高，裂紋擴(kuò)展的能量釋放率增大。從裂紋擴(kuò)展路徑發(fā)現(xiàn)，在低加載率下，由于材料性能的非均勻性，能耗較小的單元的能量釋放率首先達(dá)到斷裂韌性，因此裂紋首先發(fā)生在斷裂韌性較小的單元。但隨著外部加載率的逐漸提高，裂紋自相似方向的能量釋放率的增加速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他的偏折方向，因此裂紋更多沿自相似方向擴(kuò)展，使得裂紋路徑趨于平緩。從物理學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，低應(yīng)變率或準(zhǔn)靜態(tài)下巖石材料破壞形式主要為單一裂紋沿著斷裂韌性最低的路徑擴(kuò)展，但在高應(yīng)變率下，由于慣性效應(yīng)的存在，裂紋將沒(méi)有足夠的時(shí)間選擇斷裂韌性相對(duì)較低的路徑擴(kuò)展，而是瞬間穿過(guò)斷裂韌性相對(duì)較高的單元，沿自相似方向擴(kuò)展，從而導(dǎo)致裂紋復(fù)雜度降低。以上分析結(jié)果表明由于材料性能的非均勻性，導(dǎo)致不同應(yīng)變率下，裂紋沿不同材料斷裂韌性單元擴(kuò)展，泛形裂紋擴(kuò)復(fù)雜度隨應(yīng)變率增大而減小。

圖8 不同應(yīng)變率下裂紋能量釋放率對(duì)比Fig.8 Energy release rate for the different strain rate

3 結(jié) 論

應(yīng)用ABAQUS有限元軟件對(duì)動(dòng)態(tài)拉伸載荷下巖石材料中泛形裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬。得到以下結(jié)論：

(1) 動(dòng)態(tài)拉伸載荷下巖石材料斷裂面為泛形構(gòu)形，計(jì)盒維數(shù)計(jì)算斷裂面復(fù)雜度的數(shù)值結(jié)果與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。

(2) 隨著加載應(yīng)變率的提高，裂紋瞬間穿過(guò)斷裂韌性相對(duì)較高的單元，沿自相似方向擴(kuò)展，從而導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展的能量釋放率增大，泛形裂紋復(fù)雜度減小。

DOI:10.1007/S00707-017-1859-7.

DOI:10.15632/jtam-pl.55.3.xxx.