楊 柳， 李 強(qiáng)， 楊紹普， 王久健， 顧曉輝

(1. 北京交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100044； 2. 石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

工程中受復(fù)雜激勵(lì)作用下，機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析是機(jī)車運(yùn)行狀態(tài)和疲勞強(qiáng)度的關(guān)鍵。尤其是在機(jī)車高速運(yùn)行中，出現(xiàn)的軸承及齒輪故障會(huì)對(duì)機(jī)車運(yùn)行帶來(lái)很大的安全隱患。所以如何準(zhǔn)確建立非線性轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)模型及檢測(cè)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)成為分析的關(guān)鍵。

機(jī)車轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由輪對(duì)齒輪、軸承及主、從轉(zhuǎn)軸組成。最初，Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，經(jīng)常被用作研究大型柔性轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)模型，系統(tǒng)穩(wěn)定性、臨界轉(zhuǎn)速和動(dòng)態(tài)特性[1-3]。Jeffcott[4]最早提出并分析了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)單自由度模型。并研究了在超臨界運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)子具有自動(dòng)定心現(xiàn)象。之后，Cveticanin[5]建立了Jeffcott 轉(zhuǎn)子的二階撓度函數(shù)的非線性微分方程，并對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)軸進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。Isahida等[6]利用Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，出現(xiàn)2倍轉(zhuǎn)頻時(shí)，分析系統(tǒng)非線性分岔特性及內(nèi)共振現(xiàn)象。隨著工業(yè)發(fā)展，對(duì)稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸-齒輪-軸承耦合系統(tǒng)分析成為研究重點(diǎn)[7]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性研究主要從Tiwari等[8]建立了考慮軸承間隙的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，用數(shù)值積分的方法研究了軸承間隙對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，并用Floquet理論分析了其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。陳果等[9]建立了滾動(dòng)軸承支承下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)方面： Karaman等[10]分析了直齒輪嚙合間隙非線性特性。Tsuta等[11]研究了時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。王建軍等[12]提出了齒輪系統(tǒng)振動(dòng)力學(xué)的理論體系。國(guó)內(nèi)有很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)齒輪嚙合剛度、動(dòng)力學(xué)仿真、故障檢測(cè)有了很深入的研究[13-14]。軸承動(dòng)力學(xué)研究主要集中于正常軸承或整個(gè)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)于故障軸承-轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)研究相對(duì)較少?，F(xiàn)有的研究方法主要分為兩大類：一類方法將滾動(dòng)體滾過(guò)缺陷時(shí)數(shù)值模擬與仿真[15-16]；另一類通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)加工故障進(jìn)行分類與檢測(cè)[17]。

以上文獻(xiàn)研究可以看出，現(xiàn)有轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型大多數(shù)只是研究轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)，而忽略了支撐軸承、嚙合剛度等非線性因素的影響。對(duì)與考慮齒輪-轉(zhuǎn)軸-軸承等復(fù)合故障因素作用下，機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型較少。本文在前人基礎(chǔ)上，研究了機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，考慮軸承接觸及嚙合剛度因素。針對(duì)軸承內(nèi)、外圈和齒輪齒面磨損、齒根斷裂的故障基礎(chǔ)，準(zhǔn)確的給出齒輪、軸承故障特征表達(dá)式。不同故障類型下，系統(tǒng)響應(yīng)特征和相關(guān)性。本文能夠很好仿真實(shí)際故障類型模型，節(jié)約實(shí)驗(yàn)、時(shí)間及其勞工成本，為實(shí)際結(jié)果提供理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮軸承、齒輪嚙合剛度、驅(qū)動(dòng)激勵(lì)、復(fù)雜條件下的機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1 Locomotive dual rotor model

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖1 所示， 在該模型中，假定齒輪、軸承為集中質(zhì)量單元，考慮軸承支撐力及齒輪嚙合剛度等參數(shù)的影響。 圖中，Td轉(zhuǎn)子驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩，m1、m3左右支撐軸承質(zhì)量，mc1、mc2主、 從動(dòng)齒輪質(zhì)量，Tf轉(zhuǎn)子負(fù)載轉(zhuǎn)矩。Cm、k(t)分別為輪齒嚙合阻尼、時(shí)變剛度。

根據(jù)拉格朗日原理，軸承-齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

輸入軸：

(1)

輸出軸：

(2)

式中：θd為輸入扭轉(zhuǎn)角；ρi為轉(zhuǎn)子極坐標(biāo)位移；Fm為齒輪嚙合力；FN1,FN3為左右軸承赫茲接觸力；Ct1、Kt1為扭轉(zhuǎn)阻尼， 扭轉(zhuǎn)剛度Cs11、Ks11彎曲阻尼、彎曲剛度。

1.1 齒輪時(shí)變嚙合剛度

機(jī)車齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)形態(tài)為周期時(shí)變特性，單齒與雙齒嚙合交替變化。其中，齒輪嚙合模型如圖2所示，齒輪時(shí)變剛度可近似展開(kāi)為

Km(t)=k0+km∑(aicosΩt+bisinΩt)

(3)

考慮間隙、齒輪嚙合剛度作用，齒輪嚙合力

Fm=Km(t)(ρc1-ρc2+θc1r1-θc2r2-e)

(4)

齒輪偏心力對(duì)齒輪系統(tǒng)影響

Wc=mciriΩ2eiΩt

(5)

式中：Km(t)為齒輪時(shí)變嚙合剛度；r1、r2為主從動(dòng)齒輪的半徑；mci為嚙合齒輪質(zhì)量；Ici為嚙合齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖2 嚙合輪齒單元模型Fig.2 Meshing tooth unit model

1.2 軸承單元模型

從動(dòng)軸支撐圓錐滾子軸承由外圈、內(nèi)圈、圓錐滾子和保持架構(gòu)成。如圖3所示的圓柱滾子軸承，忽略軸向作用力，考慮法向接觸力，由非線性赫茲接觸理論，可以得滾動(dòng)體與滾道之間的接觸力

(6)

(7)

由于外圈轉(zhuǎn)速為vo=0， 內(nèi)圈轉(zhuǎn)速vi， 保持架角速度為

(8)

式中：r為軸承轉(zhuǎn)子內(nèi)圈半徑；R為軸承轉(zhuǎn)子外圈半徑。

圖3 軸承接觸單元模型Fig.3 Bear unit model

2 系統(tǒng)故障類型

齒輪破壞主要有以下集中，制造、裝備及工況引起齒形誤差，齒輪磨損，齒面疲勞破壞及齒根斷裂。而軸承主要故障主要為：軸承內(nèi)圈、軸承外圈、滾動(dòng)體、保持架破壞。這里主要研究齒輪磨損及斷齒破壞，及軸承內(nèi)、外圈局部故障破壞工況。

2.1 齒輪磨損故障

為了能夠準(zhǔn)確給出齒輪磨損、點(diǎn)蝕等故障剛度特征表達(dá)式，通過(guò)準(zhǔn)確求解齒輪剛度[18]，如圖(4)所示，采用Fourier級(jí)數(shù)法模擬磨損故障剛度

Kw(t)=Km(t)-∑{A0-Aisin(ωmt)}B(θ)

(9)

式中：Ai為磨損故障的幅值；B(θ)為開(kāi)關(guān)控制函數(shù)

(10)

式中：zc磨損齒輪齒數(shù);nj為齒輪磨損標(biāo)記的齒數(shù); Δθ為磨損條件齒廓與中心夾角。

圖4 齒輪磨損剛度Fig.4 Gear abrasive stiffness

2.2 齒輪斷齒故障

齒輪齒根破壞時(shí)，齒輪剛度如圖(5)所示，齒根出現(xiàn)斷裂時(shí)嚙合剛度為零，斷齒故障剛度表達(dá)式為

Ku(t)={Km(t)-Kmδ(t)}

(11)

式中：δ(t)為開(kāi)關(guān)控制函數(shù)。

(12)

圖5 齒輪斷齒剛度Fig.5 Snaggletooth stiffness

2.3 軸承外圈故障

如圖(6)所示，軸承外圈局部故障時(shí)，缺陷所在位置角為θd, 缺陷對(duì)應(yīng)的圓心角為θo， 且損傷寬度為B。 滾動(dòng)體通過(guò)該處時(shí)，會(huì)有一定的法向變形量為λ， 圓柱滾子半徑為Rz, 周期內(nèi)，變形量大小為

(13)

圓錐滾子在故障區(qū)域的變形量會(huì)導(dǎo)致非線性赫茲接觸力的變化，單個(gè)圓柱滾子法向接觸的變形量大小為

δo=ρeiθit-γ0-λ

(14)

式中：θi=ωct+2π(i-1)/N，N為滾子個(gè)數(shù);γ0軸承游隙。

圖6 軸承外圈故障Fig.6 Bear with an outer race defect

2.4 軸承內(nèi)圈故障

如圖(7)所示，軸承內(nèi)圈局部故障時(shí)，缺陷所在位置角為θd1, 缺陷對(duì)應(yīng)的圓心角為θi， 且損傷寬度為B1。 滾動(dòng)體通過(guò)該出時(shí)，會(huì)有一定的法向變形量為λi， 圓柱滾子半徑為Rz, 周期內(nèi)，判定內(nèi)圈與單個(gè)滾動(dòng)體位置的旋轉(zhuǎn)角度

(15)

式中：ωr為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速;ωc為保持架轉(zhuǎn)速;φ為第j個(gè)滾珠的初始角;θc=mod(ωst,2π)。

變形量大小為

(16)

圓錐滾子在故障區(qū)域的變形量會(huì)導(dǎo)致非線性赫茲接觸力的變化，單個(gè)圓柱滾子法向接觸的變形量大小為

δi=ρeiθj t-γ0-λi

(17)

圖7 軸承內(nèi)圈故障Fig.7 Bear with an inner race defect

軸承內(nèi)圈或外圈故障時(shí)， 法向Herz接觸應(yīng)力為

(18)

3 系統(tǒng)信號(hào)仿真及分析

本文根據(jù)CRH系列機(jī)車作為研究對(duì)象，機(jī)車系統(tǒng)參數(shù)為: 支撐軸系長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2 100 mm， 軸截面外徑為R=200 mm， 內(nèi)徑為r=65 mm， 集中慣性質(zhì)量為Id=18.75 kg·m2; 嚙合齒輪質(zhì)量mc1=20 kg;mc2=120 kg; 齒輪模數(shù)為ma=6 mm， 齒數(shù)為z1=14,z2=63， 齒輪時(shí)變嚙合剛度Km, 支撐軸承NJ2232，滾子個(gè)數(shù)N=17,ri,ro為軸承內(nèi)、外圈半徑， 主動(dòng)軸運(yùn)行轉(zhuǎn)速n1=800 r/min;D軸承節(jié)徑;d滾動(dòng)體直徑。

特征參數(shù)值：

齒輪嚙合頻率：fm=f1z1=f2z2，

研究正常齒輪、軸承狀態(tài)下機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。如圖8所示，在時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)響應(yīng)混疊性較強(qiáng)，沒(méi)有明顯的周期沖擊特性。從圖8所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻2fm對(duì)應(yīng)的分量。軸承信號(hào)能量較小，在低頻帶中未發(fā)現(xiàn)軸承通過(guò)頻率vc，而在齒輪嚙合頻帶處，有非對(duì)稱的邊頻現(xiàn)象。

圖8 正常系統(tǒng)響應(yīng)Fig.8 Time-frequency Analysis

3.1 故障齒輪

主動(dòng)軸齒輪齒面出現(xiàn)輕微磨損，其它正常。如圖9所示，在時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)呈穩(wěn)態(tài)變化過(guò)程，圖中T1為磨損齒輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)周期。從圖9所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻2fm對(duì)應(yīng)的分量，其中，齒輪磨損時(shí)，頻譜圖中嚙合頻帶有明顯的非對(duì)稱式邊頻現(xiàn)象，這主要受到磨損量在齒面的分布影響。軸承信號(hào)能量較小，在頻帶中未發(fā)現(xiàn)軸承通過(guò)頻率vc。

圖9 齒輪磨損-系統(tǒng)響應(yīng)Fig.9 Time-frequency Analysis

主動(dòng)軸齒輪出現(xiàn)齒根斷裂，軸承正常。如圖10所示，時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)呈單邊衰減過(guò)程，T1為斷齒齒輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)周期。 從圖10所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻2fm對(duì)應(yīng)的分量，其中，齒輪斷齒時(shí)，頻譜圖中，嚙合頻帶有明顯的邊頻現(xiàn)象，且會(huì)激起固有特征頻率fn處引起系統(tǒng)共振特性。 軸承信號(hào)能量較小， 在頻帶中未發(fā)現(xiàn)軸承通過(guò)頻率vc。

圖10 齒根斷裂-系統(tǒng)響應(yīng)Fig.10 Time-frequency Analysis

3.2 故障軸承

從動(dòng)軸軸承外圈局部局部故障，齒輪正常。如圖11所示，時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)呈周期脈沖響應(yīng)，To為軸承外圈故障特征周期。從圖11所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻2fm對(duì)應(yīng)的分量。 軸承故障時(shí)，頻譜圖中，外圈故障頻率周期激勵(lì)下，嚙合頻帶有明顯的邊頻特性，在低頻帶中有微弱的軸承外圈故障頻率fo。

圖11 軸承外圈-系統(tǒng)響應(yīng)Fig.11 Time-frequency Analysis

從動(dòng)軸軸承內(nèi)圈局部故障，齒輪正常。如圖12所示，時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)呈周期響應(yīng)，Ti為軸承內(nèi)圈故障特征周期。從圖12所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻2fm對(duì)應(yīng)的分量。軸承故障時(shí)，頻譜圖中，嚙合頻帶有明顯的邊頻特性，在低頻帶中有微弱的軸承內(nèi)圈故障頻率fi。

圖12 軸承內(nèi)圈-系統(tǒng)響應(yīng)Fig.12 Time-frequency Analysis

3.3 系統(tǒng)復(fù)合故障信號(hào)的相關(guān)性及能量準(zhǔn)則

研究齒面出現(xiàn)磨損，軸承出現(xiàn)內(nèi)圈故障時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。如圖13所示，在時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)響應(yīng)混疊性較強(qiáng)，但有明顯的齒面磨損轉(zhuǎn)軸周期特性。從圖13所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻2fm對(duì)應(yīng)的分量，由于齒面破壞，引起嚙合頻帶周邊有明顯的邊頻現(xiàn)象。而軸承信號(hào)能量，在傳動(dòng)系統(tǒng)中衰減較快，頻帶中未能找到軸承通過(guò)頻率，而在高階齒輪嚙合頻帶處，有非對(duì)稱的軸承內(nèi)圈邊頻現(xiàn)象。

圖13 復(fù)合故障-系統(tǒng)響應(yīng)Fig.13 Time-frequency Analysis

通過(guò)軸承單元信號(hào)利用改進(jìn)的EEMD[19-20]方法分析，尋找故障軸承信號(hào)分量中的最大譜峭度值，之后，與齒輪單元信號(hào)做互相關(guān)性。如圖14所示，時(shí)域響應(yīng)中，系統(tǒng)響應(yīng)有明顯的軸承沖擊特性。從圖15所示的頻譜中，可清楚地找到嚙合頻率fm及其倍頻對(duì)應(yīng)的分量。在齒輪嚙合頻帶處，有明顯的軸承內(nèi)圈故障引起的邊頻現(xiàn)象。頻譜中也清晰地發(fā)現(xiàn)，通過(guò)求取互相關(guān)信號(hào)函數(shù)下，齒輪破壞下的軸頻特性減弱。

圖14 軸承單元頻譜響應(yīng)Fig.14 Bear frequency

圖15 軸承單元時(shí)域響應(yīng)Fig.15 Bear tines response

6 結(jié) 論

本文建立了轉(zhuǎn)子傳動(dòng)系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型，考慮了非線性齒輪嚙合剛度及軸承接觸的影響。研究了軸承、齒輪單元的故障特征。

(1) 建立了傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)子模型，能更好的分析軸、齒輪之間的相互傳遞關(guān)系及影響。

(2) 齒輪、軸承單元的故障表式，能夠準(zhǔn)確的表達(dá)故障類型。

(3) 不同輸入故障類型下，仿真模型響應(yīng)能夠有效的展現(xiàn)各故障信號(hào)輸出特征。復(fù)合故障下，軸承信號(hào)特征微弱，通過(guò)故障單元相關(guān)性，有效地提取軸承微弱故障信號(hào)特征。

總上所述，機(jī)車傳動(dòng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，不同于傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子模型，對(duì)鐵路機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及齒輪軸承等故障分析提供了很好的動(dòng)力學(xué)模型依據(jù)。