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        多角度去解一道求最值的問題

        2018-11-30 23:42:43河南師范大學附屬中學趙昱辰
        數(shù)學大世界 2018年4期
        關鍵詞:判別式多角度化簡

        河南師范大學附屬中學 趙昱辰

        題目:已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,且a2+b2+c2=1,求a的最大值。

        一、基本不等式的角度

        解法1:由a+b+c=0得a=-(b+c),將該式子兩邊同時平方得:b2+c2+2bc=a2①,將①式代入a2+b2+c2=1中得:2bc=2a2-1,對于實數(shù)b、c,滿足b2+c2≥2bc,即1-a2≥2bc=2a2-1,解得

        解 法2: 將a+b+c=0平 方 得:a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,由a2+b2+c2=1得:1+2ab+2bc+2ac=0, 將c=-(b+a) 代 入 整理并化簡消元 得:2a2-1=-2b(a+b), 由 于 -2b(a+b)=2[-b當a=-2b=-2c時,等號成立),即2a2故a的最大值為

        二、方程的角度

        解法3:由a+b+c=0可知c=-(b+a),代入a2+b2+c2=1,整理化簡消去c得方程:2b2+2ab+2a2-1=0,該方程可以看作是關于b的一元二次方程,該方程有根,由判別式解得

        解法4:由a+b+c=0,移項得:b+c=-a,代入a2+b2+c2=1得:,繼續(xù)變形整理為:,由韋達定理知,有兩根,滿足判別式故a的最大值為

        三、三角函數(shù)的角度

        解法5:由a2+b2+c2=1變形得:b2+c2=1-a2,由同名三角函數(shù)關系式可知,

        四、向量的角度

        解法6:對a+b+c=0變形得:b+c=-a,設向量根據(jù)向量的運算性質(zhì)

        五、幾何的角度

        解法7:用x、y取代b、c,即x+y+a=0,x2+y2=1-a2,可知點(x,y)既在直線x+y+a=0上,又在圓x2+y2=1-a2上,可以說明,直線和圓有公共點,從直線與圓的位置關系來看,直線與圓相切或相交,即圓心O到直線的距離d不大于圓的半徑,所以d≤r。因此故a的最大值

        【心得體會】

        1.以上幾種解法各有千秋,該題題干短小,但其中蘊涵的知識卻可以進行多角度、多層級的挖掘,筆者最大的感悟是對題目進行不同的轉(zhuǎn)化和巧妙的變形是解決此題的關鍵,這7種解題方法近乎涵蓋了高中數(shù)學大部分的解題思想,其中,函數(shù)與方程的思想運用其中,使得思維的層次性和深刻性更勝一籌,而后幾種方法是通過將純代數(shù)問題過渡到了幾何問題中來,是把抽象思維與形象思維有機地聯(lián)系起來,使思路與解法順理成章,水到渠成,清晰明了。此外,根據(jù)題設條件形式的特殊性,借花獻佛,將向量、解三角形、空間幾何等獨特思維方式引入其中,這種返璞歸真的處理方式值得我們借鑒學習。

        2.該題雖然解題方法很多,但是每一種方法所采用的都是常規(guī)性知識點,從不同角度體現(xiàn)了數(shù)學的魅力所在,其中,基本不等式和向量起到了工具性的作用,值得提倡。此外,通過此題多角度求解,我們能從中學到轉(zhuǎn)換策略、函數(shù)與方程的精髓,從而得出一樣的結(jié)論,可以加深我們對教材和知識的理解,同時提高學習能力和學習興趣。

        (指導老師:毋曉迪)

        [1]劉永生.數(shù)學競賽與數(shù)學思維的發(fā)展[D].華中師范大學,2004.

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