□北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué) 董文彬

一、從一道評(píng)價(jià)試題的后測(cè)分析談起

在教學(xué)完北師版三年級(jí)下冊(cè)“面積”內(nèi)容后，在單元評(píng)價(jià)試卷中設(shè)計(jì)了這樣一道題目：

一張長(zhǎng)方形裝飾紙，如下圖。

（1）如果剪成邊長(zhǎng)是1分米的正方形，可以剪成多少個(gè)？

（2）如果剪成面積是4平方分米的正方形，可以剪成多少個(gè)？

（3）如果剪成面積是9平方分米的正方形，可以剪成多少個(gè)？

學(xué)生的思維路徑，總體有如下四種。

做法1：

做法2：

做法 3（以第 2、3問(wèn)為例）：

學(xué)生的作答情況，以?xún)蓚€(gè)班（共計(jì)80人）為例，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下。

做法 4（以第 2、3問(wèn)為例）：

學(xué)生思維 正確作答 錯(cuò)誤作答人數(shù)百分比做法1 6 7.5%做法2 22 27.5%做法3 4 5%做法4 48 60%

正確作答的有14人，僅占30%。其中“做法1”的思維路徑是直接在長(zhǎng)方形中畫(huà)分格子，畫(huà)邊長(zhǎng)是1分米的正方形格子，正好可以畫(huà)分出48個(gè)；畫(huà)面積是4平方分米的正方形格子，可以正好畫(huà)分出12個(gè)；畫(huà)面積是9平方分米的正方形格子，可以畫(huà)分出4個(gè)，還剩下12個(gè)1平方分米的格子，即還剩下長(zhǎng)12分米寬1分米面積12平方分米的長(zhǎng)方形紙條（實(shí)際不能再剪浪費(fèi)掉了）?！白龇?”的思維路徑是先考慮在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的方向上能剪幾個(gè)相應(yīng)的正方形（也就是一行能剪幾個(gè)），再考慮在寬的方向上能剪幾個(gè)（也就是這樣的幾行），進(jìn)而計(jì)算出一共可剪正方形的總個(gè)數(shù)。

錯(cuò)誤作答的有26人，占65%?！白龇?”的路徑與“做法2”前半部分是重疊的，只是把正方形的“面積”當(dāng)成了“邊長(zhǎng)”，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，進(jìn)一步導(dǎo)致下一步思路錯(cuò)亂。其中最典型的錯(cuò)例是“做法4”，錯(cuò)誤人數(shù)占到了60%。思維路徑是先計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積，再用長(zhǎng)方形的面積去除以相應(yīng)正方形的面積，學(xué)生認(rèn)為長(zhǎng)方形的面積里包含有幾個(gè)正方形的面積，就可以剪幾個(gè)正方形。

二、由此引發(fā)的思考及對(duì)圖形度量教學(xué)的認(rèn)識(shí)與啟示

后測(cè)之后，學(xué)生的思維軌跡暴露出的問(wèn)題引起了我的一連串的疑問(wèn)：為什么會(huì)有那么多學(xué)生都出現(xiàn)了“做法4”那樣的錯(cuò)誤思考？這種錯(cuò)誤的思考是怎樣產(chǎn)生的？錯(cuò)誤背后的原因是什么？學(xué)生這樣錯(cuò)誤的路徑背后有沒(méi)有他所認(rèn)為的“合理”之處？如果有，這種“合理”表現(xiàn)在哪兒？學(xué)生為什么理所當(dāng)然地認(rèn)為這種錯(cuò)誤是對(duì)的？學(xué)生的思維擱淺在哪里？

1.把握轉(zhuǎn)折，從一維走向二維。

學(xué)生之所以會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為“長(zhǎng)方形的面積里包含有幾個(gè)正方形的面積，就可以剪幾個(gè)正方形”，是有其道理的。我們來(lái)看一個(gè)對(duì)“做法4”學(xué)生訪談的典型案例。

師：明白這樣做錯(cuò)在哪了嗎？

生：我覺(jué)得這樣做是對(duì)的呀，不明白錯(cuò)在哪了。

師：說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

生：要在一張長(zhǎng)方形紙上剪正方形，就是看長(zhǎng)方形的面積里有幾個(gè)正方形的面積，有幾個(gè)就能剪幾個(gè)，用除法解決就行了。

師：你為什么這樣認(rèn)為？

生：我記得以前做過(guò)類(lèi)似剪鐵絲的問(wèn)題，比如有一根長(zhǎng)12厘米的鐵絲，如果剪成4厘米一段的鐵絲，能剪幾段？就是看12厘米里有幾個(gè)4厘米，用除法解決就是12÷4=3（段），和這道題的意思差不多。

師：解決剪紙和剪鐵絲問(wèn)題的方法一樣嗎？

生：（支支吾吾）……應(yīng)該是一樣的吧……

（老師啟發(fā)他從現(xiàn)實(shí)情況出發(fā)，思考實(shí)際操作中會(huì)怎樣去剪。）

生：……一樣……不一樣……

（接下來(lái)他就陷入了面積與長(zhǎng)度度量“一樣”和“不一樣”的糾結(jié)之中。）

看來(lái)，學(xué)生是把一維長(zhǎng)度的度量經(jīng)驗(yàn)遷移到了二維面積的度量當(dāng)中來(lái)。學(xué)生在學(xué)習(xí)圖形面積度量之前已經(jīng)積累了長(zhǎng)度度量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣的操作經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)很容易被遷移到面積中來(lái)，因此大部分學(xué)生錯(cuò)誤地出現(xiàn)“做法4”不是沒(méi)有原因的。學(xué)生將長(zhǎng)度的度量過(guò)程類(lèi)比遷移到面積的度量中，這樣的經(jīng)驗(yàn)只在一種情況下是可行的，就是“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別都能正好被正方形的邊長(zhǎng)整除”時(shí)（這種情況包含了正方形是面積單位的情形），但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)想要跨越這種認(rèn)識(shí)是非常困難的，而這正是圖形度量從一維到二維在本質(zhì)上的不同之處。長(zhǎng)度、面積和體積是最基本的度量幾何學(xué)概念，雖然測(cè)量過(guò)程其本質(zhì)是一樣的，但由于圖形的維度不同，在實(shí)際教學(xué)中需要幫助學(xué)生把握這種從一維到二維認(rèn)識(shí)的重要轉(zhuǎn)折，真正區(qū)分理解不同維度圖形測(cè)量的數(shù)學(xué)意義。

2.貫通關(guān)聯(lián)，從數(shù)學(xué)走向現(xiàn)實(shí)。

在教學(xué)中，我們?cè)絹?lái)越關(guān)注貫通于生活與數(shù)學(xué)之中的數(shù)學(xué)化，一種是橫向數(shù)學(xué)化，是從具體的內(nèi)容創(chuàng)造數(shù)學(xué)的形式的數(shù)學(xué)化，另一種是縱向數(shù)學(xué)化，是從抽象的形式繼續(xù)發(fā)現(xiàn)深刻內(nèi)容的更高水平的數(shù)學(xué)化。然而，我們有時(shí)往往弱化或忽視了貫通于數(shù)學(xué)與生活之中的現(xiàn)實(shí)化，這是從數(shù)學(xué)形式走向現(xiàn)實(shí)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)化。學(xué)生出現(xiàn)“做法4”的錯(cuò)誤思考路徑，從這個(gè)視角上看也反映出數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的失聯(lián)。學(xué)生認(rèn)為“長(zhǎng)方形的面積里包含有幾個(gè)正方形的面積，就能從長(zhǎng)方形里剪幾個(gè)正方形”，這是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的錯(cuò)誤遷移，或者說(shuō)這是學(xué)習(xí)者意識(shí)中特別數(shù)學(xué)化、理想化的想法，而現(xiàn)實(shí)中實(shí)際操作并不是這樣，如果真要去剪（要剪得正方形數(shù)量最多），應(yīng)該是“一行一行”（或“一列一列”）地剪，先看一行（或一列）能剪幾個(gè)，再考慮能剪幾行（或幾列），因?yàn)橹挥羞@樣操作才能以正方形面積為“標(biāo)準(zhǔn)”不重疊、也不留縫隙地最大化地把整個(gè)長(zhǎng)方形剪完。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)不考慮從現(xiàn)實(shí)情況出發(fā)，沒(méi)有思考實(shí)際中會(huì)怎樣去操作，背離了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際關(guān)聯(lián)，喪失了數(shù)學(xué)本身的意義。實(shí)際教學(xué)中，我們要幫助學(xué)生貫通這樣的關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)要從數(shù)學(xué)走向現(xiàn)實(shí)，讓兒童的數(shù)學(xué)思考和學(xué)習(xí)變得真實(shí)而有意義。

3.回歸本源，從方法走向思想。

“求”長(zhǎng)方形的面積是在認(rèn)識(shí)了面積和面積單位、已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方形（正方形）特征的基礎(chǔ)上展開(kāi)學(xué)習(xí)的，其本質(zhì)是對(duì)面積進(jìn)一步的再認(rèn)識(shí)，其核心思想是度量?；仡櫋伴L(zhǎng)方形的面積”的教學(xué)（以北師版教材為例），我們一般是從兩種角度啟發(fā)探索長(zhǎng)方形的面積，一種是用面積單位不重疊、也不留空隙地鋪滿(mǎn)長(zhǎng)方形，所用面積單位的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形面積的數(shù)量；另一種是不用密鋪，只要用面積單位分別擺滿(mǎn)長(zhǎng)和寬，就能算出擺滿(mǎn)長(zhǎng)方形所需的面積單位的個(gè)數(shù)。

這兩種角度都是為了幫助學(xué)生理解用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積的方法。我們用這種（鋪）數(shù)方格的辦法給長(zhǎng)和寬都是自然數(shù)的長(zhǎng)方形指定了面積，其中數(shù)方格的過(guò)程蘊(yùn)含了面積的有限可加性，幫助學(xué)生體會(huì)圖形的面積就是圖形所包含的面積單位的數(shù)量，深刻地體現(xiàn)了圖形測(cè)量中的度量思想。但是這樣用面積單位去測(cè)量圖形面積的度量經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)“做法4”產(chǎn)生錯(cuò)誤的影響。如果不是用面積單位去測(cè)量長(zhǎng)和寬都是自然數(shù)的長(zhǎng)方形的面積，這樣的經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考就形成了負(fù)遷移。

回歸本源，反思教學(xué)，我們需特別關(guān)注一開(kāi)始探索長(zhǎng)方形面積時(shí)所蘊(yùn)含的一維與二維之間的關(guān)系以及它們之間的一一對(duì)應(yīng)思想。在選擇面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形的面積之后，一般是填表、觀察、發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積的數(shù)學(xué)模式表達(dá)，即“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”（如下圖）。

長(zhǎng)和寬刻畫(huà)的都是一維的幾何學(xué)概念，面積刻畫(huà)的是二維的幾何學(xué)概念，二者維度不同，為什么能扯上聯(lián)系？它們之間怎么會(huì)有這樣的聯(lián)系？為什么會(huì)有這樣的聯(lián)系？這是在教學(xué)中有必要幫助學(xué)生明晰、理解和體會(huì)的（如下圖）。

長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)包含的長(zhǎng)度單位的個(gè)數(shù)”（一維）對(duì)應(yīng)于 “每行擺面積單位的個(gè)數(shù)”（二維），“寬包含的長(zhǎng)度單位的個(gè)數(shù)”（一維）對(duì)應(yīng)于“行數(shù)”（二維）。 “長(zhǎng)×寬”，即“長(zhǎng)包含的長(zhǎng)度單位的個(gè)數(shù)×寬包含的長(zhǎng)度單位的個(gè)數(shù)”，即“每行擺面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”，即長(zhǎng)方形的面積?？梢?jiàn)，一維（長(zhǎng)度）和二維（面積）之間存在著的這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，教學(xué)中需要幫助學(xué)生領(lǐng)悟這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，明晰了這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能更好更深刻地體會(huì)圖形面積的度量思想以及圖形度量的數(shù)學(xué)意義。