曹 然，夏建芳

(中南大學(xué) 機電工程學(xué)院，湖南 長沙 410083)

0 引 言

在工程應(yīng)用中，由于加工誤差、安裝誤差、軸承變形以及齒輪本身的扭轉(zhuǎn)變形等，均會對齒輪嚙合過程的振動、噪音以及強度等產(chǎn)生重要的影響[1,2]。

LI等[3]通過一系列實驗研究了鼓形修形和安裝誤差對直齒圓柱齒輪嚙合強度的影響，結(jié)果表明鼓形修形和安裝誤差會增大齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力；TRAN等[4-5]通過實驗研究了加工誤差對齒輪接觸強度的影響，結(jié)果表明齒面接觸應(yīng)力隨著加工誤差的增加而增大；LITVIN等[6]在前人的基礎(chǔ)上通過有限單元法研究了齒輪的加工誤差、安裝誤差和修形與齒輪的靜態(tài)傳遞誤差、嚙合剛度和載荷分配比之間的關(guān)系，結(jié)果表明齒輪的加工誤差、安裝誤差和修形均會影響齒輪的靜態(tài)傳遞誤差、嚙合剛度和載荷分配比，加工誤差會改變靜態(tài)傳遞誤差曲線的形狀，而安裝誤差和修形不會；羅才旺[7]通過Romax軟件計算得到了齒輪靜態(tài)傳遞誤差，建立了齒輪系統(tǒng)方程，并用該方程研究了平行度誤差、載荷和修形對齒輪動態(tài)傳遞誤差和動載系數(shù)的影響規(guī)律。

齒輪傳動系統(tǒng)運轉(zhuǎn)過程中，因傳動軸在載荷作用下發(fā)生彎曲變形，或因傳動軸、齒輪副安裝過程產(chǎn)生安裝誤差，導(dǎo)致直齒輪沿齒寬產(chǎn)生邊緣接觸，造成載荷在齒寬方向分配不均勻，引起齒寬邊緣應(yīng)力集中，即“偏載現(xiàn)象”。

本文將以直齒圓柱齒輪為研究對象，研究修形和偏載對齒輪齒面接觸強度和齒根彎曲強度的大小和分布情況的影響。

1 初始模型建立和分析

1.1 模型的建立

直齒圓柱齒輪副模型的幾何參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪副幾何參數(shù)

本研究由表1中參數(shù)構(gòu)出齒輪的三維模型，并通過Abaqus對其進行網(wǎng)格劃分。

網(wǎng)格劃分后的有限元模型及其在有限元分析中的邊界條件等情況如圖1所示。

圖1 齒輪副邊界條件示意圖

1.2 邊界條件的設(shè)定

本研究在分析前調(diào)整齒輪之間的裝配位置，保證大小輪兩端面之間的距離相等，然后在兩個齒輪中心分別創(chuàng)建節(jié)點O1和O2，并在O1和O2上分別創(chuàng)建相應(yīng)的局部坐標(biāo)系，然后將O1和O2與它們對應(yīng)的齒輪的內(nèi)圈耦合。

根據(jù)LI[8]的分析模型，本研究給大輪耦合節(jié)點O1施加大小為0.85 rad的角位移，在Abaqus中的時間步長設(shè)置為0.005，保證兩齒輪始終在細(xì)網(wǎng)格之間嚙合，給小輪耦合參考點O2施加大小為100 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，以此來模擬齒輪副運轉(zhuǎn)的實際工況。

1.3 結(jié)果分析

通過上述分析得到的大輪齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的分布情況如圖2所示。

圖2 接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力分布情況

齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力在單齒嚙合最高點出現(xiàn)最大值，該位置接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力沿齒寬方向的大小和分布情況如圖3所示。

圖3 齒寬方向接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力分布情況

結(jié)合圖2(a)和圖3(a)可知：大輪上靠近輪齒邊緣的地方接觸應(yīng)力較大；通過與其他類型的齒輪分析結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，這對齒輪正常嚙合時輪齒邊緣存在較大的應(yīng)力集中。由圖2(b)和圖3(b)可知：齒根彎曲應(yīng)力在齒根中間位置有最大值。

2 鼓形修形對輪齒應(yīng)力分布的影響

上述齒輪的齒面接觸應(yīng)力在輪齒邊緣存在較大的應(yīng)力集中，在實際應(yīng)用過程中易出現(xiàn)疲勞點蝕等缺陷[9]。

本文中通過對小輪進行齒向鼓形修形來減小輪齒邊緣應(yīng)力集中的現(xiàn)象[10]。記鼓形修形量為Δ，分別取Δ為20 μm和50 μm建立修形后的小輪模型，通過有限元分析觀察鼓形修形對齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的影響情況。

不同修形量對應(yīng)的齒面接觸應(yīng)力分布情況如圖4所示。

圖4 修形后齒面接觸應(yīng)力分布情況

不同修形量對應(yīng)的齒根彎曲應(yīng)力分布情況如圖5所示。

圖5 修形后齒根彎曲應(yīng)力分布情況

將圖(4，5)與圖2進行對比可知：修行后輪齒邊緣的應(yīng)力集中得到了改善，齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的最大值仍出現(xiàn)在單齒嚙合最高點。該位置接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力沿齒寬方向的大小分布如圖6所示。

圖6 修形前后接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力分布情況

由圖6(a)可知：修形后齒面接觸應(yīng)力仍存在一定的應(yīng)力集中。當(dāng)Δ=20 μm時，輪齒邊緣仍有較大的應(yīng)力集中；當(dāng)Δ=50 μm時，輪齒中間位置的接觸應(yīng)力最大，邊緣處的應(yīng)力集中對其影響很小，可以忽略不計。因此，上述修形在一定程度上降低了輪齒上的最大接觸應(yīng)力。

由圖6可知：修形量越大，輪齒中間位置的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力越大。這是由于修形后接觸區(qū)域逐漸向輪齒中部靠攏，使得輪齒邊緣的應(yīng)力集中現(xiàn)象得到改善。

修形前后輪齒上的最大接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力如表2所示。

表2 修形前后最大接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力

由表2可知：齒輪修形后降低了輪齒上的最大接觸應(yīng)力，最大彎曲應(yīng)力有所增加。當(dāng)Δ=20 μm時最大接觸應(yīng)力降低了14.7%，最大彎曲應(yīng)力增加了1.7%；當(dāng)Δ=50 μm時最大接觸應(yīng)力降低了11.2%，最大彎曲應(yīng)力增加了4.2%。由于彎曲應(yīng)力的增幅小于接觸應(yīng)力降低的幅度，當(dāng)齒輪的齒面接觸強度不足而齒根彎曲強度有一定的余量時，可以考慮這種修形方式來提高齒輪的接觸強度；對于上述研究對象，最好修形量為20 μm。

3 偏載對輪齒應(yīng)力分布的影響

過載、瞬間或劇烈的沖擊載荷以及嚴(yán)重偏載均易引起突然斷齒，造成這種損傷的主要原因是載荷產(chǎn)生的應(yīng)力超過了材料的強度極限。本文以此為基礎(chǔ)通過對小輪施加繞圖1中的X2軸和Y2軸旋轉(zhuǎn)的角度誤差來研究偏載對直齒輪傳動系統(tǒng)應(yīng)力分布的影響。

記小輪繞X2軸和Y2軸旋轉(zhuǎn)的角度分別為θx和θy，取θx和θy分別為0.1°和0.2°進行研究。

當(dāng)小輪修形量Δ=0 μm時的接觸應(yīng)力分布情況如圖7所示。

圖7 不同偏載量對應(yīng)的接觸應(yīng)力分布

由圖7可知：偏載使齒輪傳動系統(tǒng)發(fā)生了嚴(yán)重的邊緣接觸。此時的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力仍在單齒嚙合最高點取得最大值，該位置接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力沿齒寬方向分布如圖8所示。

圖8 不同偏載量時接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力分布

由圖8(a)可知：偏載后大輪上發(fā)生了邊緣接觸，且偏載的角度越大，邊緣接觸越嚴(yán)重，產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力越大。由圖8(b)可知：偏載后彎曲應(yīng)力的作用區(qū)域也沿著偏載的方向移動，且偏載角度越大，該區(qū)域移動的距離也越大，產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力越大。

以無偏載時最大彎曲應(yīng)力點的位置為初始點，偏載后最大彎曲應(yīng)力偏離初始點的距離記為偏移距離，則偏載前后最大接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力以及偏移距離的變化情況如表3所示。

表3 偏載前后最大接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力

由表3可知：當(dāng)角度θx=0.1°時，齒輪接觸應(yīng)力增加了6.7%，彎曲應(yīng)力增加了3.0%；當(dāng)角度θx=0.2°時，接觸應(yīng)力增加了29.9%，彎曲應(yīng)力增加了8.5%；當(dāng)角度θy=0.1°時，齒輪接觸應(yīng)力增加了27.6%，彎曲應(yīng)力增加了9.2%；當(dāng)角度θy=0.2°時，齒輪接觸應(yīng)力增加了36.1%，彎曲應(yīng)力增加了22.5%。

由此可知：偏載極大地增加了輪齒上的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力。因此，為保證齒輪工作壽命，在齒輪安裝和工作過程中應(yīng)盡量避免偏載。

4 鼓形修形對偏載的影響

由上述分析可知：鼓形修形能適當(dāng)?shù)亟档洼嘄X邊緣的接觸應(yīng)力，偏載會大大增加輪齒上的接觸應(yīng)力。

本研究對修形后的齒輪副引入一定偏載量，研究修形后不同偏載量的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的大小和分布情況。分析結(jié)果如圖(9，10)所示。

圖9 不同修形量和偏載量時接觸應(yīng)力分布

圖10 不同修形量和偏載量時彎曲應(yīng)力分布

由圖9和圖8(a)可知：適當(dāng)?shù)墓男涡扌文茉谝欢ǔ潭壬媳苊庖蚱d而引起的邊緣接觸。當(dāng)Δ=20 μm時仍存在明顯邊緣接觸，當(dāng)Δ=50 μm時邊緣接觸的現(xiàn)象得到顯著改善。

由圖10和圖8(b)可知：修形后的齒輪模型發(fā)生偏載時，彎曲應(yīng)力的作用區(qū)域也沿著偏載的方向移動。

圖(9，10)中最大接觸應(yīng)力、彎曲應(yīng)力和最大彎曲應(yīng)力偏移距離的變化情況如表4所示。

表4 不同修形量和偏載量時最大接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力

由表4可知：對于修形后的模型，隨著偏載量的增加，最大接觸應(yīng)力、最大彎曲應(yīng)力和偏移距離都增大。對比表(3，4)可得：在相同的偏載量時，修形后模型的最大接觸應(yīng)力要小于修形前，且修形量越大接觸應(yīng)力越小，抗偏載能力越強；在相同偏載量時，修形前后最大彎曲應(yīng)力的變化不大，但最大彎曲應(yīng)力沿著偏載方向偏移的距離存在明顯差異，修形量越大，偏移的距離越短?？傮w而言，當(dāng)偏載量為θx=0.1°時，修行量Δ取20 μm或50 μm都可以有效改善輪齒邊緣的接觸應(yīng)力，對于其余3種情況，修形量Δ取50 μm時偏載效果會更好。

5 結(jié)束語

本文研究了修形和偏載對齒輪齒面接觸強度和齒根彎曲強度的大小和分布情況的影響，得到以下結(jié)論：

(1)直齒輪副嚙合時輪齒邊緣的接觸應(yīng)力存在較大應(yīng)力集中，鼓形修形可以改善該處的應(yīng)力集中，降低輪齒上的接觸應(yīng)力，鼓形修形會增加齒根彎曲應(yīng)力，但其增幅小于接觸應(yīng)力降低的幅度，本文研究對象的最佳修形量為20 μm；

(2)偏載會引起更嚴(yán)重的邊緣接觸，極大地增加了輪齒上的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，偏載角度越大邊緣接觸越嚴(yán)重，偏載后齒根彎曲應(yīng)力的作用區(qū)域也沿著偏載的方向移動，且偏載量越大該區(qū)域移動的距離越大；

(3)修形后的齒輪模型具有更強的抗偏載能力，能有效緩解因偏載引起的邊緣接觸現(xiàn)象，偏載量較小時修形量不宜過大，因為過大的修形量也會增加接觸應(yīng)力，對于本文研究對象，當(dāng)偏載量小于0.1°時選用20 μm的修形量較為合適，當(dāng)偏載量大于0.1°時應(yīng)選用更大的修形量；

(4)修形前后相同偏載量的模型的最大彎曲應(yīng)力變化不大，其作用位置沿著偏載方向偏移的距離會隨著修形量的增加而減小。