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        方差與數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性

        2018-11-26 03:44:46馬兆兵
        初中生世界 2018年43期
        關(guān)鍵詞:平均數(shù)射擊圖表

        馬兆兵

        蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊117頁的第3題是這樣描述的:

        要從甲、乙兩名運動員中選出一名參加校際100m比賽,對這兩名運動員進行了10次測試,成績?nèi)缦拢▎挝唬簊):

        12.9 12.8 12.8 12.9 13.0 12.9 12.9 13.1 12.9 12.8甲乙12.8 12.9 12.9 12.7 13.2 13.1 12.8 13.0 12.7 12.9

        根據(jù)測試成績,你認(rèn)為選派哪一名運動員參賽更好些?為什么?

        兩名運動員的平均成績都是12.9s,此時可通過計算兩組數(shù)據(jù)的方差來比較他們的穩(wěn)定性.甲的方差為0.024,乙的方差為0.008,則選擇乙參加比賽.顯然,方差刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度(穩(wěn)定性).

        一、用方差判斷一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性

        例1甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:噸/公頃):

        9.4 10.3 10.8 9.7 9.8品種年數(shù)甲乙第一年第二年第三年第四年第五年9.8 9.9 10.1 10 10.2

        經(jīng)計算,x甲=10噸/公頃,x乙=10噸/公頃,試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計________種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.

        【解析】甲種水稻產(chǎn)量的方差是:

        乙種水稻產(chǎn)量的方差是:

        ∴甲種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.

        【點評】1.比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的步驟:

        (1)計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

        (2)分別計算各自方差:s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].

        (3)一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大;一組數(shù)據(jù)的方差越小,說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小.

        2.比較一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性需要注意的問題:

        一般情況下,兩組數(shù)據(jù)只有在平均數(shù)相同的情況下才根據(jù)方差的大小確定它們的離散程度.

        二、利用圖表解決數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的問題

        例2 為了從甲、乙兩名選手中選拔一人參加射擊比賽,現(xiàn)對他們進行一次測驗,兩個人在相同條件下各射靶10次,為了比較兩人的成績,制作了如下統(tǒng)計圖表:

        甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計表

        (1)請補全上述圖表(請直接在表中填空和補全折線圖).

        (2)如果規(guī)定成績較穩(wěn)定者勝出,你認(rèn)為誰應(yīng)勝出?說明你的理由.

        (3)如果希望(2)中的另一名選手勝出,根據(jù)圖表中的信息,應(yīng)該制定怎樣的評判規(guī)則?為什么?

        【解析】(1)根據(jù)折線統(tǒng)計圖,得甲的射擊成績?yōu)椋ㄈサ舻诎舜蔚某煽儯?,6,7,6,2,7,7,8,9,平均數(shù)為7環(huán).

        則甲第八次射擊成績?yōu)椋?/p>

        70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(環(huán)),

        從小到大排列甲的成績?yōu)椋?,6,6,7,7,7,8,9,9,9,中位數(shù)為7環(huán).

        甲成績的方差為:

        乙的射擊成績?yōu)椋?,4,6,8,7,7,8,9,9,10,則平均數(shù)為:

        乙成績的方差為:

        補全表格和折線圖如下:

        甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計表

        (2)甲應(yīng)勝出.理由:由于甲的方差小于乙的方差,故甲成績較穩(wěn)定,甲應(yīng)勝出.

        (3)若希望乙勝出,可以制定規(guī)則為:命中10環(huán)的總次數(shù)多的勝出.

        理由:因為甲命中10環(huán)的次數(shù)為0,而乙命中10環(huán)的次數(shù)為1.

        【點評】利用圖表解決數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的問題注意:

        1.從圖表中獲取正確的數(shù)據(jù).

        2.計算各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差.

        3.比較大小,確定其穩(wěn)定性.

        三、方差的性質(zhì)

        例3 若一組數(shù)據(jù)a1,a2,a3的平均數(shù)為4,方差為3,那么數(shù)據(jù)a1+2,a2+2,a3+2的平均數(shù)和方差分別是( ).

        A.4,3 B.6,3 C.3,4 D.6,5

        【解析】∵數(shù)據(jù)a1,a2,a3的平均數(shù)為4,

        ∴數(shù)據(jù)a1+2,a2+2,a3+2的平均數(shù)是6.

        ∵數(shù)據(jù)a1,a2,a3的方差為3,

        故選:B.

        【點評】一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)、方差之間的關(guān)系如下:

        一組數(shù)據(jù)方差s2 s2表示形式平均數(shù)x x+a x1,x2,x3,…,xn(x1+a),(x2+a),(x3+a),…,(xn+a)kx1,kx2,kx3,…,kxn(kx1+a),(kx2+a),(kx3+a),…,(kxn+a)kx k2s2 kx+a k2s2

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