陳雄飛

（湖北省孝感市第一高級(jí)中學(xué)，湖北 孝感）

本文從講解圓錐曲線中的橢圓這一節(jié)的諸多性質(zhì)入手，以例題為載體，以一題多解、一題多變?yōu)槭侄?，來談?wù)剤A錐曲線學(xué)習(xí)中如何讓學(xué)生有機(jī)會(huì)自由表述、探討問題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

一、教學(xué)主要環(huán)節(jié)

學(xué)生思考，并解答。

∴當(dāng)x=0時(shí)當(dāng)x=±2時(shí)，|PO|max=2

當(dāng) cosθ=0 時(shí)當(dāng) cosθ=±1 時(shí)，|PO|max=2

師：這兩位同學(xué)都是通過建立目標(biāo)函數(shù)求最值，不同的是前者利用二次函數(shù)，后者利用三角函數(shù)。

思考1：此題的結(jié)論可否推廣到一般？學(xué)生思考并探究后得到：

結(jié)論1：橢圓上任一點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離最近的點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，最遠(yuǎn)點(diǎn)為長軸端點(diǎn)。

師：從變式1我們可得到

結(jié)論2：橢圓上任一點(diǎn)P與焦點(diǎn)距離最近（最遠(yuǎn)）的點(diǎn)為長軸端點(diǎn)。

解：設(shè)|PF1|=x|PF2|=2a-x=4-x

由變式 1中得的結(jié)論，x∈［1，3］

結(jié)論3：橢圓上任一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)所成夾角為最大角時(shí)，P為短軸端點(diǎn)。

練習(xí)1：橢圓上存在一點(diǎn)P使，求橢圓離心率的取值范圍。

練習(xí) 2：設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，使∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面積。由上述結(jié)論容易求得S△F1PF2=20tan45°=20。

結(jié)論4：設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)為P，兩端點(diǎn)為A1、A2，則使張角∠A1PA2最大（最?。┑狞c(diǎn)P為橢圓短軸（長軸）的兩個(gè)端點(diǎn)。

二、幾點(diǎn)思考

在該課例的探究活動(dòng)中，首先通過第一道例題讓學(xué)生搜尋知識(shí)儲(chǔ)備，鞏固解決圓錐曲線求最值問題的一般方法——建立目標(biāo)函數(shù)（或目標(biāo)不等式），讓學(xué)生充分思考，一題多解，并由此例題得到結(jié)論，同時(shí)進(jìn)行變式探討，一題多變，變式1與例題問法類似，是在知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)上的探究，學(xué)生容易進(jìn)行類比、遷移，能夠獨(dú)立完成，加深了對知識(shí)點(diǎn)和基本的思想方法的理解。在這些探究中，較多的是以對話的形式展開的。變式2的提出，對學(xué)生具有一定的挑戰(zhàn)性，但思想方法也是建立目標(biāo)函數(shù)，問題提出時(shí)可以引導(dǎo)，并由此得到兩組常用結(jié)論。最后再提出變式3并得出結(jié)論。

選擇例題變式的探究教學(xué)主要是希望“學(xué)生能夠帶著問題輕松步入課堂，在愉快且又適度的緊張中學(xué)習(xí)（探究）；又要讓學(xué)生帶著新的、更高層次的問題走出課堂，在自由自在中研究（學(xué)習(xí)）、發(fā)展”。因?yàn)槔}變式探究教學(xué)主要是圍繞某數(shù)學(xué)問題（例題）而展開的，問題是課堂活動(dòng)的載體，因此實(shí)施中選好例題尤為重要。

在結(jié)論教學(xué)中實(shí)施變式探究，是新課程轉(zhuǎn)變教學(xué)形式的要求，一要減少教師的講授；二要多進(jìn)行學(xué)情分析，關(guān)注學(xué)生的差異性；三要盡可能滿足學(xué)生自主發(fā)展的需要，在教師的組織和必要的引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自主探尋方法。經(jīng)常實(shí)施這種探究，能使教學(xué)煥發(fā)出勃勃生機(jī)，能使學(xué)生在探究中顯示自己的才華，教師自身也可以在實(shí)施探究活動(dòng)的過程中獲得更好的發(fā)展。