【編者的話(huà)】不深入接觸折紙你可能永遠(yuǎn)也想不通，如此簡(jiǎn)單的一張白紙能夠用來(lái)做些什么？折紙有何神奇之處？小時(shí)候你折紙可能更加偏重于折些簡(jiǎn)單的小動(dòng)物、小物件等，在今天看來(lái)，或許已經(jīng)不那么神奇，但這其實(shí)只是你的誤解.這次的主題是折紙與數(shù)學(xué)，自然不那么簡(jiǎn)單，希望能讓你再次驚嘆于折紙的無(wú)窮魅力.

1、折出定比分點(diǎn)

正方形的紙隨意一折，一般能出現(xiàn)一個(gè)（凹）九邊形，如圖1.

如果稍微約束一下隨意性，保證折痕經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)，那會(huì)產(chǎn)生什么奇妙的現(xiàn)象嗎？

這個(gè)問(wèn)題很值得研究.

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，如果邊的疊合點(diǎn)是各自邊上的有理定比分點(diǎn)，那么折痕經(jīng)過(guò)的點(diǎn)也必是某個(gè)有理定比分點(diǎn).從而折疊產(chǎn)生任意的有理定比分點(diǎn)都變得有章可循.

命題 如圖2，AD+DC =1，∠C =90。，AB=BC=x.則CD=（1-2x）/（2-2x）

證 由折疊方法可知，AB+BD+DC =1.設(shè)CD =y，在△BCD中由勾股定理，x2+y2 =（1-x-y）2.化簡(jiǎn)為1-2x-2y+2xy =O，從而y=（1-2x）/（2-2x）證畢.

從以上結(jié)論看出，如果x是個(gè)分母為2n的單位分?jǐn)?shù)（分子為1的分?jǐn)?shù)），即x=1/2n，那么y的值就是（n-1）/（2n-1），說(shuō)明由B點(diǎn)這個(gè)2n等分點(diǎn)，得到了D這個(gè)2n-1等分點(diǎn).

例如要分紙的一邊為7等分，那就先把它一組鄰邊8等分，將兩邊的第一個(gè)等分點(diǎn)疊合起來(lái)得到的折痕就過(guò)某個(gè)7等分點(diǎn).確切說(shuō)，這時(shí)D是4：3分點(diǎn).

一般地，對(duì)于某個(gè)素?cái)?shù)N，欲N等分正方形的邊，我們必先得到邊的N+l等分.因?yàn)檫@是個(gè)偶數(shù)，所以就只須折疊得到（N+1）/等分.這是較小的一個(gè)整數(shù)，我們可以繼續(xù)利用類(lèi)似的思路，即“偶數(shù)÷2，奇數(shù)+1”的策略，最終化歸得出任何素?cái)?shù)的等分點(diǎn)折法.合數(shù)的等分點(diǎn)只要依次把每個(gè)素?cái)?shù)因子等分，就可以實(shí)現(xiàn)了.

2 對(duì)數(shù)螺線(xiàn)怎么折

對(duì)數(shù)螺線(xiàn)是由笛卡兒在1638年發(fā)現(xiàn)的，雅各布·伯努利后來(lái)重新研究，他十分驚嘆和欣賞這曲線(xiàn)的特性，故要求死后將之刻在自己的墓碑上，并附詞“縱使改變，依然故我”.可惜雕刻師誤將阿基米德螺線(xiàn)刻了上去，不得不說(shuō)是一種遺憾，

這是一種神奇的螺線(xiàn)，可以在自然界中找到很多類(lèi)似的例子，如鸚鵡螺的貝殼、蜘蛛網(wǎng)的構(gòu)造、漩渦星系的懸臂等.感興趣的同學(xué)，可以閱讀《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫(kù)》的相關(guān)內(nèi)容，而今天，我們將在常博士的帶領(lǐng)下，看看如何用一張普通的紙折出近似的對(duì)數(shù)螺線(xiàn).

（一）初步嘗試

通過(guò)折疊一張紙就能實(shí)現(xiàn)初步模擬對(duì)數(shù)螺線(xiàn)！怎么折？先來(lái)學(xué)學(xué)吧，準(zhǔn)備一張A4紙，折起45°角，得到一個(gè)等腰三角形，如圖1所示.

沿著折痕剪下這個(gè)等腰三角形紙片，我們的螺旋折紙就從這個(gè)等腰三角形紙片開(kāi)始.

第一步折疊：沿等腰三角形的中位線(xiàn)，將頂角折向底邊.同時(shí)注意觀察：經(jīng)過(guò)折疊，我們得到的是一個(gè)等腰梯形，它的鈍角頂點(diǎn)是135°.

接下來(lái)我們要折的過(guò)程是一系列類(lèi)似的操作.

先來(lái)看第二步折疊如何操作.

這一步的折疊得到的是一個(gè)凹六邊形.折法是讓上底的右端點(diǎn)與下底的中點(diǎn)對(duì)合折疊.從效果看，折痕正好與右腰平行，翻轉(zhuǎn)的部分是一個(gè)平行四邊形.

如圖3，折疊示意圖中畫(huà)了圓圈的兩點(diǎn)其實(shí)可看成是一個(gè)大的平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)的鈍角！注意到這個(gè)巧合性，我們就感到有趣了！

我們的第三步折疊就是繼續(xù)將折起來(lái)的平行四邊形中兩個(gè)鈍角對(duì)合折疊.效果如圖4.

已經(jīng)猜到第四步怎么折了？繼續(xù)疊合上步操作得到的平行四邊形的兩個(gè)鈍角.完全正確！你可以操作第五步、第六步、第七步……直至無(wú)窮（如果真有那么大的紙張的話(huà)）.

事實(shí)上，另外還限于手工制作的精細(xì)度極限，紙變小的過(guò)程只能到第十步左右為止.讓我們看看電腦繪制的更精細(xì)的完成圖，如圖5所示.

實(shí)際上，我們得到了一個(gè)類(lèi)似長(zhǎng)裙的裙擺的結(jié)構(gòu)，它像楊麗萍跳孔雀舞時(shí)穿的服裝，更像是一個(gè)摩登的螺旋式臺(tái)階的空中俯瞰圖.

這款折紙是從臺(tái)灣的李政憲老師那里學(xué)來(lái)的，不過(guò)稍微加了些變化.

數(shù)學(xué)上如何看待這個(gè)折紙呢？在數(shù)學(xué)上，我們把每隔一個(gè)固定的角度，點(diǎn)到出發(fā)起始點(diǎn)的距離就拉伸一個(gè)固定的比例，這樣的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡叫對(duì)數(shù)螺線(xiàn).

在生活中很多地方都有對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的身影：葵花籽在向日葵花頭上的排列，鸚鵡螺的殼上的花紋，熱帶氣旋的衛(wèi)星云圖，等等.它們都有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式：p =e^aθ.

最后我們來(lái)欣賞一下我們的折紙與對(duì)數(shù)螺旋在多大程度上近似，請(qǐng)看圖6.

（二）再次改進(jìn)

在（一）中，我們嘗試著折出了對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的模擬圖，但是效果外觀并不十分盡如人意，這條螺線(xiàn)與實(shí)際的貝殼螺線(xiàn)還有距離.為此，我們還要進(jìn)一步分析和思考，能否折出如圖7中鸚鵡螺那樣具有不同參數(shù)a的對(duì)數(shù)螺線(xiàn)p =e^aθ的問(wèn)題.

在這個(gè)問(wèn)題上，日本折紙藝術(shù)家布施知子（ TomokoFuse）已有一個(gè)如圖8的設(shè)計(jì).她用正方形紙折出頂角為45°的等腰三角形，折痕中有許多平行于底邊的平行線(xiàn).不過(guò)她的這些平行線(xiàn)折痕沒(méi)有充分考慮到螺線(xiàn)的等比性.

現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)中等比級(jí)數(shù)的概念來(lái)設(shè)計(jì)，達(dá)到更合乎自然界鸚鵡螺的外觀.請(qǐng)先如下列圖9所示裁剪A4紙為兩個(gè)箏形.

圖9裁剪出的兩個(gè)箏形可以分別獨(dú)立制作成兩個(gè)鸚鵡螺.以其中一個(gè)為例，折痕圖如圖10所示.

這些折痕的產(chǎn)生規(guī)律是這樣的：將箏形的鈍角沿著兩直角間對(duì)角線(xiàn)折向?qū)ΨQ(chēng)軸得到第一條谷線(xiàn).然后沿著折起的鈍角的兩邊折出兩道山折.此后每次折疊都是折這三道折痕的平行線(xiàn).到末尾階段可以留一截不再折下去.

在成型階段，需從銳角頂點(diǎn)開(kāi)始收.將頭上沒(méi)有折過(guò)的地方剪去，然后按預(yù)先設(shè)計(jì)好的山線(xiàn)和谷線(xiàn)來(lái)折.形象地說(shuō)，就是漸漸卷曲使得紙按既定折痕蜷縮成螺的樣子.

這個(gè)折法真能更完美體現(xiàn)對(duì)數(shù)螺線(xiàn)嗎？

我們不妨來(lái)擬合一下這條曲線(xiàn).先將折紙過(guò)程形成的折線(xiàn)繪出.

通過(guò)計(jì)算機(jī)繪圖發(fā)現(xiàn)圖11中的折線(xiàn)與對(duì)數(shù)螺線(xiàn)二者的差異是很小的.

需要指出的是，采用半張A4紙作為材料只是考慮取材的方便.您完全可以用其他形狀的箏形紙片來(lái)完成形態(tài)各異的螺.

看來(lái)，折紙藝術(shù)家布施知子的蝸牛經(jīng)過(guò)與數(shù)學(xué)親密結(jié)合變得更加活靈活現(xiàn)了！

3 從二面角到極小曲面

同學(xué)們小時(shí)候可能都吹過(guò)肥皂泡，而在無(wú)數(shù)美妙的肥皂泡背后，其實(shí)有著不少的秘密.著名的普拉托物理實(shí)驗(yàn)是把圍成封閉曲線(xiàn)的金屬絲放入肥皂溶液中，然后取出來(lái)，由于表面張力的作用，在它上面就蒙有表面積最小的薄膜.這種表面積最小的曲面就是所謂極小曲面，從數(shù)學(xué)上求這膜曲面的問(wèn)題稱(chēng)為普拉托問(wèn)題.

極小曲面的應(yīng)用很廣，無(wú)論是小到珠寶設(shè)計(jì)，還是大到建筑設(shè)計(jì)，都能看到它的身影.

今天，我們會(huì)請(qǐng)常博士幫助我們用普通的紙張來(lái)折疊組合出一個(gè)極小曲面.

我們先從二面角說(shuō)起，二面角在生活中到處存在，比如墻面總是與地面構(gòu)成90°的二面角.打開(kāi)的書(shū)本可以形成任意的二面角.人字形的坡面屋頂則一般是大于90°的二面角.此外，三維坐標(biāo)系由三張平面（xOy，yoz，xOz）兩兩垂直，形成匯聚在0點(diǎn)的3個(gè)90°二面角，在數(shù)學(xué)上，由三個(gè)面構(gòu)成的多面角稱(chēng)為三面角，

圖1就是一個(gè)三維立體坐標(biāo)系的紙模型示意圖，它可以用六張正方形的紙折疊插合而成，在這個(gè)結(jié)構(gòu)中有八個(gè)“三面角”凹陷.

讀者可以拿六張統(tǒng)一大小的正方形紙，照如下步驟折一個(gè)這樣的模型.

方法與步驟：

1.取一張正方形紙，上下兩邊對(duì)折，再把左右兩邊對(duì)折.

2.將一邊紙打開(kāi)并壓折，背面折法相同，形成一個(gè)雙三角結(jié)構(gòu).

3.重復(fù)2中的步驟，再制作五個(gè)同樣的雙三角.

4.將兩個(gè)插合起來(lái).如圖3顯示，用一個(gè)雙三角組合件的一翼插入另一個(gè)的一翼之下.

5.在已有的組合結(jié)構(gòu)中添加第三個(gè)雙三角.如圖4，新的雙三角要和已有的兩個(gè)雙三角形成互相追趕的效果.如：第一個(gè)包裹在第二個(gè)中，第二個(gè)包裹在第三個(gè)中，第三個(gè)包裹在第一個(gè)中.

小貼士：注意不要插太緊，先看清關(guān)系，搭上即可.

6.繼續(xù)增加雙三角到這個(gè)結(jié)構(gòu)中，始終注意“A插B，B插C，C插A”的規(guī)律，當(dāng)六個(gè)雙三角都插在一起后，形成的圖案如圖5所示.

7.結(jié)構(gòu)雛形出現(xiàn)了，我們用雙手從外圍四面八方向中心輕輕壓，最終就可以形成圖1中那個(gè)漂亮的立體三維坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)，

現(xiàn)在我們來(lái)思考下面的問(wèn)題：在這世界上，是否還存在類(lèi)似圖1的更簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)？顯然最少的三面角凹陷應(yīng)該不少于4個(gè)，所以首先讓我們?cè)囍鴮ふ揖哂?個(gè)三面角凹陷的結(jié)構(gòu).

圖6這個(gè)結(jié)構(gòu)便是具備了4個(gè)三面角凹陷的最簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)，它外輪廓是個(gè)正四面體，里面有6個(gè)鈍角三角形作為連接膜瓣，

如果你拿一個(gè)正四面體的鐵絲框架浸泡在肥皂液中，拿出框架后就會(huì)發(fā)現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)，這說(shuō)明這個(gè)結(jié)構(gòu)還具有某種最優(yōu)特征，數(shù)學(xué)上將肥皂膜形態(tài)稱(chēng)為極小曲面.

制作一個(gè)這樣的紙極小曲面結(jié)構(gòu)，過(guò)程比前一個(gè)結(jié)構(gòu)還簡(jiǎn)單.材料都用不到半張A4紙片.

方法與步驟：

1.先照?qǐng)D7中示意裁好8片紙片，其中6片是有用的，有2片多余.

2.取其中一片紙片折出如圖8中折痕.其中虛線(xiàn)為谷折，點(diǎn)劃線(xiàn)為山折.

3.再制作5片同樣的插件.

4.按圖9的模式裝配起來(lái).

5.適當(dāng)在插合的地方用些膠水固定，完成.

找到這個(gè)結(jié)構(gòu)表明具有凹陷三面角的形態(tài)并不孤立，這使我們有了新的期待：是否還有更多的這樣的結(jié)構(gòu)呢？讀者有興趣可以繼續(xù)探索下去.

4 正十二面體：從制作到理解

正十二面體是一種以正五邊形為面的多面體，這種不尋常的別致多面體數(shù)學(xué)內(nèi)涵非常豐富，柏拉圖曾認(rèn)為我們的宇宙就是正十二面體的，雖然這只是一個(gè)美麗的錯(cuò)誤，但是正十二面體對(duì)于普通大眾至今仍充滿(mǎn)神秘色彩.

今天，就讓我們一起和常博士來(lái)探索下正十二面體的折法，以及與正十二面體有關(guān)的一個(gè)四色問(wèn)題. （一）制作正十二面體

為了探究正十二面體，我們有必要親手制作一個(gè).顯然，紙模型是最方便的實(shí)現(xiàn)方式.

制作正十二面體紙模型的方法很多，這里用組合折紙的方式制作.通過(guò)組合拼接而成的結(jié)構(gòu)便于在需要的時(shí)候重新調(diào)整各面相對(duì)位置.

材料：寬度4～5 cm的平行長(zhǎng)紙帶100 cm.

步驟1 制作一個(gè)正五邊形的紙帶結(jié)

用長(zhǎng)約8倍寬度的紙帶打個(gè)結(jié)，輕拉兩端至最緊，壓平（圖2左）.數(shù)學(xué)上可以嚴(yán)格證明這個(gè)結(jié)是正五邊形.

步驟2 制作插合正十二面體所需的零件

用長(zhǎng)約3倍寬度的紙帶折疊一道折痕，使其形成的內(nèi)角正好符合五邊形紙帶結(jié)的頂角（圖2右）.

折疊后的紙帶重疊區(qū)域有一個(gè)以36°為底角的等腰三角形.現(xiàn)在請(qǐng)將它的兩腰以外的紙帶貼著邊折到背后，然后再把底邊以外的部分剪去（圖3）.

打開(kāi)重新將兩側(cè)翼藏在夾層內(nèi)，并且讓它們?cè)趦?nèi)部彼此勾起來(lái)，壓平.我們得到了一個(gè)有108°頂角的等腰三角形（圖4左）.

折疊找到每一腰所對(duì)角的角平分線(xiàn)與該腰的交點(diǎn)，將相應(yīng)銳角折到這個(gè)點(diǎn).可以證明，這兩道折痕與三角形三邊圍成一個(gè)正五邊形（圖4右）.

至此我們就完成了第一個(gè)插接件.

請(qǐng)?jiān)僮?1個(gè)這樣的零件.

步驟3 插合正十二面體

每個(gè)三角形插接零件上既有榫頭也有卯眼：兩銳角前端是榫頭，兩腰靠近頂點(diǎn)的縫隙是卯眼.插合時(shí)有一定規(guī)則，為了保證這個(gè)規(guī)則不被破壞，我們給每個(gè)插接件上標(biāo)注一些記號(hào).

作標(biāo)記的規(guī)律：在每片插接件的里側(cè)左下角標(biāo)為紅點(diǎn)榫頭，左腰縫隙標(biāo)為紅點(diǎn)卯眼；相應(yīng)地，右下角為藍(lán)點(diǎn)榫頭，右腰縫隙為藍(lán)點(diǎn)卯眼（圖5上左）.

插合時(shí)只要保證榫頭插入同色的卯眼（圖5上右），就可以順利完成一個(gè)完美的正十二面體（圖5下）.

（二）探究正十二面體的著色

關(guān)于地圖的著色有一條著名的定理——四色定理，定理說(shuō)，任何復(fù)雜的地圖都可以用不超過(guò)四種的顏色給它涂色來(lái)區(qū)分相鄰區(qū)域，這條定理至今仍然沒(méi)有一個(gè)簡(jiǎn)潔的證法，人類(lèi)對(duì)它的認(rèn)識(shí)停留在計(jì)算機(jī)給出的大規(guī)模分類(lèi)窮舉證明，

如果將正十二面體的每個(gè)面當(dāng)成地圖上需要區(qū)分的一個(gè)個(gè)區(qū)域，則這個(gè)特殊的地圖確乎需要四種顏色才可以完成以上的著色要求（為什么？）.

那么具體怎么著色呢？我們從正十二面體的平面圖來(lái)看.

想象一個(gè)用橡皮繩拉出的正十二面體籠狀結(jié)構(gòu)，圖6中五邊形外輪廓正是其中一個(gè)撐開(kāi)的正五邊形洞.換個(gè)說(shuō)法，將籠子的一個(gè)五邊形洞拉大到可以攤平到桌面的地步，正十二面體就平面化了，必須要記住，這個(gè)最大的正五邊形輪廓也代表一個(gè)面.

我們通過(guò)給每一個(gè)面標(biāo)記數(shù)字來(lái)表示涂色，

圖6顯示我們將中心標(biāo)記為1，輪廓（代表相對(duì)的被拉大的洞眼）標(biāo)記為2.

如圖7，與1號(hào)面毗鄰的5個(gè)位置選擇任意兩個(gè)不相鄰面標(biāo)記為2，哪兩個(gè)并無(wú)區(qū)別，只要旋轉(zhuǎn)就可以統(tǒng)一為圖9的樣子，

內(nèi)圈還有3塊區(qū)域，需要另用3，4來(lái)標(biāo)記，其中涂色方法之一如圖8所示.

內(nèi)圈涂好色后，我們發(fā)現(xiàn)外圈中有一塊（圖9中正上方一塊標(biāo)記為1）是可確定下來(lái)的，然后緊接著剩下的4塊也被唯一確定，

我們只是給出了其中一種方案，事實(shí)上，在數(shù)學(xué)上可以證明全部的著色方案只有4種.限于篇幅，在此就不贅述了，留給好奇的讀者去探索吧！