孫 曄,呂康銀,朱金霞

(1.東北師范大學(xué) 商學(xué)院，吉林 長春 130117； 2.魯東大學(xué) 商學(xué)院，山東 煙臺 264025)

一、引 言

隨著我國人口老齡化問題的凸顯，其與收入不平等之間的動態(tài)關(guān)系已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)之一，并且涌現(xiàn)出大量的相關(guān)研究文獻(xiàn)。作為我國經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展中日益凸顯的兩大焦點(diǎn)問題，二者之間究竟存在著怎樣的關(guān)系，值得進(jìn)行深入的理論研究與探索。

在實(shí)證研究方法上，可以將對該問題的研究分為基于線性模型的實(shí)證研究 (主要包括線性單方程回歸模型、協(xié)整分析、線性Granger因果檢驗(yàn)、線性向量自回歸模型和線性面板回歸模型等) 和基于非線性模型實(shí)證研究 (主要包括門限的單方程回歸、滾動視窗Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)、面板平滑遷移回歸模型等)。本文結(jié)合已有的研究思路，重點(diǎn)基于時(shí)域視角，使用含斷點(diǎn)的時(shí)變協(xié)整、線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)、非線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)法考察我國老齡化與收入不平等之間的時(shí)變的動態(tài)關(guān)聯(lián)機(jī)制，并進(jìn)一步采用平滑遷移性向量自回歸模型 (STVAR) 檢驗(yàn)二者之間是否存在非對稱的影響及測度影響效果。

二、數(shù)據(jù)選取與處理

對于收入不平等的度量，已有研究文獻(xiàn)使用最多的指標(biāo)是基尼系數(shù) (董志強(qiáng)等，2012[1]；劉金東等，2014[2];藍(lán)嘉俊等，2014[3];范洪敏和穆懷中，2018[4])。鑒于此，本文選擇我國基尼系數(shù)作為收入不平等的度量指標(biāo)，記為Gini。對于老齡化的度量，存在大量的選擇空間，比如采用老年撫養(yǎng)比和少兒撫養(yǎng)比構(gòu)造度量老齡化的指標(biāo)*老齡化=老年撫養(yǎng)比/ (1+老年撫養(yǎng)比+少兒撫養(yǎng)比)，具體參見藍(lán)嘉俊等 (2014)。和采用老年撫養(yǎng)比*65歲 (含65歲) 以上老年人口占15～64歲勞動年齡人口的比重。度量老齡化。本文參考范洪敏和穆懷中 (2018)[4]的做法，選擇老年撫養(yǎng)比作為老齡化的代理變量，記為Aging。以上基尼系數(shù)原數(shù)據(jù)和老齡化原數(shù)據(jù)均來自于WIND數(shù)據(jù)庫，二者具體的實(shí)際序列如圖1、圖2所示。

圖1 中國基尼系數(shù)序列 圖2 中國老齡化序列

從圖1、圖2中繪制的原始數(shù)據(jù)序列可以看出我國基尼系數(shù)和老齡化之間在整體上存在緩慢的上升趨勢，即可能存在某一協(xié)整向量可以較好擬合二者間的長期相關(guān)關(guān)系；但在局部時(shí)間內(nèi)二者之間的協(xié)同性較差，具體表現(xiàn)在1990年至1999年間，基尼系數(shù)呈現(xiàn)出陡增驟降的特征，而此時(shí)的老齡化序列卻表現(xiàn)出具有較小波動且逐漸上升的特點(diǎn)；此外，在1999年之后基尼系數(shù)出現(xiàn)急劇上漲并持續(xù)保持較高的水平，相對應(yīng)的老齡化序列表現(xiàn)出穩(wěn)健上升的態(tài)勢。

結(jié)合兩段時(shí)間內(nèi)每個(gè)時(shí)間序列變量均表現(xiàn)出獨(dú)自特點(diǎn)的現(xiàn)象，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)，二者可能存在時(shí)變的協(xié)整關(guān)系，而此時(shí)如果采用常系數(shù)協(xié)整檢驗(yàn)方法可能有失準(zhǔn)確性和穩(wěn)健性。有鑒于此，本文主要的研究思路是首先檢驗(yàn)二者是否具有時(shí)變的協(xié)整關(guān)系；其次基于檢驗(yàn)結(jié)果通過構(gòu)建線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)和非線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)法進(jìn)一步確定二者之間的交互影響關(guān)系，即確定二者間的因果關(guān)系。

三、我國收入不平等與老齡化的時(shí)變協(xié)整檢驗(yàn)

基于圖1和圖2的描述，由于我國收入不平等與老齡化均在樣本期間表現(xiàn)出各自的特征，二者之間可能存在時(shí)變的協(xié)整關(guān)系，因此，需要構(gòu)造時(shí)變協(xié)整檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠砜疾於咧g的長期關(guān)系是否穩(wěn)定。眾所周知，協(xié)整檢驗(yàn)是建立在變量均是同階單整序列基礎(chǔ)上的，因而在構(gòu)建時(shí)變協(xié)整模型前應(yīng)對時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

(一)數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

為了與數(shù)據(jù)選取中所標(biāo)記的符號一致，在數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)中我們將基尼系數(shù)序列(Gini) 和老齡化序列(Aging)的一階差分分別標(biāo)記為△Gini和△Aging。同時(shí)為使數(shù)據(jù)的單位根檢驗(yàn)結(jié)果具有較好的穩(wěn)健性，分別采用ADF檢驗(yàn)法、PP檢驗(yàn)法和KPSS檢驗(yàn)法進(jìn)行數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 基尼系數(shù)和老齡化序列的單位根檢驗(yàn)結(jié)果

注：“**”和“***”分別表示在5%、1%顯著概率水平下顯著。

由表1的檢驗(yàn)結(jié)果可知，基于ADF檢驗(yàn)時(shí)基尼系數(shù)序列(Gini)和人口老齡化序列(Aging)均是非平穩(wěn)時(shí)間序列，其對應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值分別為-2.2705和-2.2930，均大于ADF檢驗(yàn)10%所對應(yīng)的臨界值-2.6422和-2.6299，即接受序列包含單位根的原假設(shè)；而其差分序列的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值分別為-3.1061和-2.4622，均小于ADF檢驗(yàn)5%所對應(yīng)的臨界值-3.0124和-2.4622，即拒絕序列包含單位根的原假設(shè)。

基于PP檢驗(yàn)時(shí)基尼系數(shù)序列(Gini)和人口老齡化序列(Aging)均是非平穩(wěn)時(shí)間序列，其對應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值分別為-2.4080和2.2930，均大于PP檢驗(yàn)10%所對應(yīng)的臨界值-2.6422和-2.6299，即接受序列包含單位根的原假設(shè)。而其差分序列的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值分別為-6.7653和-3.8872，均小于PP檢驗(yàn)1%所對應(yīng)的臨界值-3.7241，即拒絕序列包含單位根的原假設(shè)。同理，基于KPSS檢驗(yàn)時(shí)，由于該檢驗(yàn)方法的原假設(shè)與ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)的原假設(shè)相反，但檢驗(yàn)結(jié)果同樣表明基尼系數(shù)序列和人口老齡化序列均為非平穩(wěn)序列，而其一階差分序列為平穩(wěn)的時(shí)間序列。

結(jié)合上述分析，可以得到基尼系數(shù)序列和人口老齡化序列均為一階單整序列，因此可以通過構(gòu)建時(shí)變協(xié)整檢驗(yàn)法捕捉二者之間是否具有時(shí)變的長期均衡關(guān)系，而不是僅僅存在一個(gè)或多個(gè)恒定的協(xié)整向量。

(二)時(shí)變協(xié)整模型的構(gòu)建及檢驗(yàn)

時(shí)變協(xié)整模型的構(gòu)建主要是識別出收入不平等和人口老齡化之間是否存在結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)，進(jìn)而導(dǎo)致常系數(shù)的協(xié)整檢驗(yàn)失效。通常情況下，進(jìn)行斷點(diǎn)識別使用最多的方法是Chow檢驗(yàn)，但是該檢驗(yàn)方法需要外生設(shè)定斷點(diǎn)，斷點(diǎn)的選擇往往依據(jù)的是重大經(jīng)濟(jì)事件，這一約束使得斷點(diǎn)獨(dú)立于樣本數(shù)據(jù)進(jìn)而導(dǎo)致傳統(tǒng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量失效?？紤]到上述方法的缺點(diǎn)，參考Hansen (1992)[5]給出的一階單整時(shí)間序列的回歸模型參數(shù)是否具有時(shí)變性的檢驗(yàn)方法。該方法與Chow檢驗(yàn)最大的區(qū)別在于能夠內(nèi)生識別出結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)，并且可以進(jìn)一步判別協(xié)整方程的回歸系數(shù)是否具有非穩(wěn)定性。

根據(jù)以上對基尼系數(shù)和人口老齡化原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)的結(jié)果，確定二者均為一階單整序列，可以通過構(gòu)建帶有變截距項(xiàng)的協(xié)整方程：

yt=αt+βtxt+εt

(1)

其中yt代表基尼系數(shù)序列，xt代表人口老齡化序列，αt和βt分別代表時(shí)變截距項(xiàng)和時(shí)變系數(shù)項(xiàng)。εt為服從白噪聲過程的隨機(jī)誤差項(xiàng)。令Xt=(1,xt)′，Bt=(αt,βt)′，則式 (1) 可表示為：

(2)

如果式(2)中的協(xié)整向量不存在變異，則時(shí)變系數(shù)向量Bt為以常數(shù)。否則，如果上述協(xié)整向量存在變異，可以通過設(shè)定如下假設(shè)對上述結(jié)構(gòu)性斷點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)t時(shí)刻為內(nèi)生結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)(1

(3)

對于以上構(gòu)建的檢驗(yàn)協(xié)整方程是否具有時(shí)變特性的統(tǒng)計(jì)量，其中Fnt檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算最為便捷，并且當(dāng)樣本容量較大時(shí)該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量還有標(biāo)準(zhǔn)的漸進(jìn)分布。但如果結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)并不是外生時(shí)，即斷點(diǎn)的選擇和樣本數(shù)據(jù)具有顯著的相關(guān)關(guān)系，則Fnt檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的檢驗(yàn)功效便會極大下降，導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果失準(zhǔn)。有鑒于此，Hansen(1992)[5]給出了SupF和MeanF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，且二者能夠克服上述缺陷；但出現(xiàn)的另一個(gè)問題是二者計(jì)算相對復(fù)雜，沒有標(biāo)準(zhǔn)的漸進(jìn)分布。Hansen(1992)[5]利用蒙特卡洛模擬方法給出了SupF和MeanF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1%、5%和10%顯著水平的臨界值，表2為基于SupF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和MeanF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的收入不平等和人口老齡化協(xié)整方程斷點(diǎn)檢驗(yàn)結(jié)果。

表2 基于協(xié)整方程的結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)檢驗(yàn)結(jié)果

注：SupF和MeanF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的1%、5%和10%的臨界值均來自Hansen (1992)。

從表2的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，無論是SupF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量還是MeanF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均能在10%的顯著水平下拒絕收入不平等和人口老齡化構(gòu)成的協(xié)整方程中協(xié)整向量不存在結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)的原假設(shè)；具體而言，SupF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值(11.40)大于10%臨界值(11.20)，MeanF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值(7.91)大于1%臨界值(6.78)。這一檢驗(yàn)結(jié)果充分表明，在研究的樣本期間內(nèi)，我國收入不平等和人口老齡化之間的長期均衡關(guān)系已經(jīng)發(fā)生了明顯的結(jié)構(gòu)變化。

為了準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)的具體時(shí)點(diǎn)位置，我們繪制了基于已知結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的時(shí)序圖，如圖3所示。從圖3可以看出，基于已知結(jié)構(gòu)斷點(diǎn)的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在1999年取得了最大值(對應(yīng)為11.40)，這表明1999年前后我國收入不平等和人口老齡化之間的長期均衡關(guān)系發(fā)生了顯著的突變；而在1999年前后，對應(yīng)的F序列均低于10%顯著水平的臨界值，進(jìn)一步表明在統(tǒng)計(jì)學(xué)角度上，1999年我國收入不平等和人口老齡化之間的長期均衡機(jī)制發(fā)生了變異。

圖3基尼系數(shù)與人口老齡化時(shí)變協(xié)整檢驗(yàn)

我國收入不平等和人口老齡化之間的長期均衡關(guān)系在1999年發(fā)生了顯著突變的這一結(jié)果可以從原始數(shù)據(jù)中找到解釋?；趫D1和圖2中所繪制的原始數(shù)據(jù)時(shí)序圖，我們可以清晰地觀察到，1999年之前我國收入不平等呈現(xiàn)波幅大、增速快的特點(diǎn)，而在1999年后則表現(xiàn)出緩慢上升、波幅減小的新特征；與之對應(yīng)的人口老齡化數(shù)據(jù)則在斷點(diǎn)前表現(xiàn)出增速較緩的特點(diǎn)，而在斷點(diǎn)后呈現(xiàn)出增速加快且無絲毫下降趨勢的新特征。

當(dāng)前全球幾乎所有的國家都面臨人口老齡化問題，只是程度不同而已。發(fā)達(dá)國家已經(jīng)進(jìn)入老齡化社會，發(fā)展中國家也正在邁入老齡化社會。相較于歷史上大部分時(shí)期的人口結(jié)構(gòu)，當(dāng)下我國人民生活水平大幅提高、社會保障制度不斷完善、醫(yī)療技術(shù)創(chuàng)新日新月異等因素帶來了人口平均預(yù)期壽命的增加，我國正在進(jìn)入持續(xù)40年的高速老齡化時(shí)期。出現(xiàn)老齡化這一新的人口現(xiàn)象，勢必會影響收入不平等和人口結(jié)構(gòu)的長期均衡關(guān)系，表現(xiàn)出顯著的時(shí)變特征。

四、我國收入不平等與老齡化的因果關(guān)系檢驗(yàn)

通常的情況下，檢驗(yàn)變量之間的因果關(guān)系多數(shù)基于線性Granger因果檢驗(yàn)方法。但當(dāng)變量之間存在時(shí)變的協(xié)整關(guān)系時(shí)，或者說變量之間的長期均衡在某一時(shí)點(diǎn)發(fā)生了顯著變化，則基于線性Granger因果檢驗(yàn)方法得到的檢驗(yàn)結(jié)果往往會缺乏準(zhǔn)確性。結(jié)合前面的分析，我們知道我國收入不平等和人口老齡化之間存在時(shí)變的協(xié)整關(guān)系，因此，需要采用Péguin-Feissolle等(2008)[6]非線性Granger因果檢驗(yàn)法來識別出二者之間的非線性傳導(dǎo)機(jī)制。

令△Gini和△Aging分別表示收入不平等的差分序列和人口老齡化的差分序列，且二者均為弱平穩(wěn)且遍歷的時(shí)間序列，則有二者構(gòu)成的二元隨機(jī)系統(tǒng)可以是：

△Ginit=fG(△Ginit-1,△Ginit-2,…,△Ginit-p,△Agingt-1,△Agingt-2,…,△Agingt-p;φG)+εGt

安徽六國化工是我國最早的磷酸二銨生產(chǎn)企業(yè)，多年來，在磷資源高效利用上積累了豐富的技術(shù)和經(jīng)驗(yàn)。銅陵化學(xué)工業(yè)集團(tuán)黨委書記、董事長陳嘉生介紹：“作為與長江一路之隔的沿江企業(yè)，六國化工十分重視環(huán)境保護(hù)，不斷加大資金投入，環(huán)境整治成績顯著，實(shí)現(xiàn)了‘三廢’達(dá)標(biāo)排放，磷石膏綜合利用率達(dá)100%，在行業(yè)名列前茅。”他表示，平臺啟動后，六國化工將繼續(xù)貫徹生態(tài)優(yōu)先、綠色發(fā)展的戰(zhàn)略決策，立足本業(yè)，結(jié)合現(xiàn)代農(nóng)業(yè)發(fā)展需求，積極引進(jìn)國際國內(nèi)頂尖智力資源，不斷提高磷資源利用率和技術(shù)、服務(wù)水平，為長江經(jīng)濟(jì)帶區(qū)域綠色發(fā)展作出更大的貢獻(xiàn)。

△Agingt=fA(△Ginit-1,△Ginit-2,…,△Ginit-p,△Agingt-1,△Agingt-2,…,△Agingt-p;φA)+εAt

(4)

基于二階泰勒近似和在二階泰勒近似基礎(chǔ)上提取主成分的刻畫△Ginit和△Agingt短期交互影響的動態(tài)關(guān)系，均可采用單方程和方程系統(tǒng)的估計(jì)方法，構(gòu)建拉格朗日乘子形式的約束檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)。單方程和方程系統(tǒng)的拉格朗日乘子檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為：

(5)

和

(6)

式(5)和式(6)分別表示基于單方程和方程系統(tǒng)估計(jì)方法得到的非線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)拉格朗日乘子檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。其中RSS1和RSS0分別表示參數(shù)約束檢驗(yàn)中無約束回歸和約束回歸的殘差平方和，U1和U0分別為系統(tǒng)方程無約束和約束回歸對應(yīng)的T×2維的殘差矩陣。T表示樣本觀測值的個(gè)數(shù)，m為系統(tǒng)中方程的個(gè)數(shù)，tr(·)表示矩陣的跡。LMnonline-single和LMnonline-system檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均服從F分布。

基于上述關(guān)于非線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)方法，通過對單方程的拉格朗日乘子檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值和方程系統(tǒng)的拉格朗日乘子檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值的計(jì)算，我們得到收入不平等和人口老齡化之間的短期交互影響關(guān)系的檢驗(yàn)結(jié)果，如表3所示。此外，為充分捕捉到二者之間存在的非線性作用機(jī)制，我們同時(shí)采用了線性Granger因果檢驗(yàn)方法和非線性Granger因果檢驗(yàn)方法進(jìn)行實(shí)證研究。

表3 變量間Granger因果檢驗(yàn)結(jié)果

注：LMsingle和LMsystem分別基于單方程和方程系統(tǒng)構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中每一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的第一列為統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)值，第二列為顯著性概率，表中加粗字體表示均在10%顯著概率下顯著。

從表3的Granger因果檢驗(yàn)結(jié)果中可以清楚地看到，當(dāng)采用線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)方法時(shí)，得到的僅僅是存在收入不平等單向影響人口老齡化的結(jié)論。而當(dāng)采用非線性Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)時(shí)，則檢驗(yàn)結(jié)果表明收入不平等和人口老齡化在研究的樣本區(qū)間內(nèi)是互為因果關(guān)系的。

基于非線性Granger因果檢驗(yàn)方法得到的結(jié)論更合理地捕捉到我國人口老齡化會影響收入不平等，而僅僅采用線性Granger因果檢驗(yàn)方法則未發(fā)現(xiàn)上述現(xiàn)象。這同時(shí)也表明人口老齡化作用于收入不平等存在非線性的傳導(dǎo)機(jī)制，而不是簡單地意味著人口結(jié)構(gòu)不同程度的改變均能帶來同等程度的收入不平等。

對于收入不平等會影響到老齡化這一檢驗(yàn)結(jié)果，可以從我國少兒撫養(yǎng)比占總?cè)丝诘谋戎氐慕嵌冗M(jìn)一步理解。自20世紀(jì)90年代以來，我國少兒撫養(yǎng)比占總?cè)丝诘谋戎爻掷m(xù)下降，直到2010年左右才基本維持在近17%左右。[注]數(shù)據(jù)來源于WIND統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫。其原因可能是由于收入不平等導(dǎo)致多數(shù)人撫養(yǎng)幼兒的成本負(fù)擔(dān)增加。人口老齡化既有來自于人口預(yù)期壽命增加引起的頂部老齡化，又有來自于生育率下降造成的底部老齡化[3]；而底部老齡化問題同樣不容忽視。

五、我國收入不平等與老齡化的脈沖響應(yīng)分析

基于前面的計(jì)量模型，對應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果表明收入不平等和老齡化之間存在顯著的非線性協(xié)整關(guān)系和非線性Granger因果關(guān)系。此前的計(jì)量模型主要是檢驗(yàn)二者在方程構(gòu)建方面是否存在時(shí)變系數(shù)，但并未能形象地觀測出變量間隨時(shí)間的遞進(jìn)會表現(xiàn)出何種形式。為此，考慮到脈沖曲線分析法可以更直觀地觀測所考察的經(jīng)濟(jì)變量間的動態(tài)影響路徑，本文通過構(gòu)建平滑遷移向量自回歸模型 (STVAR) 分析收入不平等和老齡化間的動態(tài)影響效果。

(一) 平滑遷移向量自回歸模型 (STVAR) 的構(gòu)建

自Sims (1980)[7]提出向量自回歸模型后，該模型在分析研究復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題上發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。但隨著時(shí)間的推移，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的經(jīng)濟(jì)變量之間并不與線性向量自回歸模型中的假設(shè)一致；換言之，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)變量存在更復(fù)雜的傳導(dǎo)機(jī)制，并非是簡單的線性關(guān)系?？紤]到上述線性向量自回歸模型的局限，參考Weise (1999)[8]構(gòu)建的邏輯平滑向量自回歸模型 (LSTVAR)，分析收入不平等和老齡化之間的短期動態(tài)非線性傳導(dǎo)機(jī)制。

包含基尼系數(shù)一階差分序列、人口老齡化一階差分序列和實(shí)際產(chǎn)出同比增速序列作為內(nèi)生變量的p階滯后向量自回歸模型可以表示為：

(7)

其中，Xt=(x1t,x2t,x3t)′，x1t,x2t和x3t分別代表基尼系數(shù)一階差分序列、老齡化一階差分序列和實(shí)際產(chǎn)出同比增速序列。Γ0=(γ10,γ20,γ30)′為常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)列向量；Γi=(γi1,γi2,γi3)′，γij=(γij,1,γij,2,γij,3)′為第j個(gè)方程i階滯后內(nèi)生變量(Xt-i) 對應(yīng)的回歸系數(shù)向量；μt為隨機(jī)誤差列向量。由于內(nèi)生變量可能存在非線性數(shù)據(jù)生產(chǎn)機(jī)制，可以將式 (7) 表示的線性向量自回歸模型拓展為非線性平滑遷移向量自回歸模型的形式，其中非線性平滑向量自回歸模型中第j個(gè)方程可表示為：

(8)

其中，φ0j對應(yīng)的是非線性部分中常數(shù)項(xiàng)的回歸系數(shù)，φij為非線性部分中內(nèi)生變量對應(yīng)的回歸系數(shù)列向量。Fj(·)表示轉(zhuǎn)移函數(shù)，具體分為邏輯型轉(zhuǎn)移函數(shù)和指數(shù)型轉(zhuǎn)移函數(shù)，其中邏輯型轉(zhuǎn)移函數(shù)形式為：

F(zt;λ,c)={1+exp[-λ(zt-c)]}-1-1/2

(9)

其中，zt表示轉(zhuǎn)移變量，可以為內(nèi)生變量滯后項(xiàng)、外生變量和內(nèi)生變量的函數(shù)；λ和c分別表示轉(zhuǎn)移斜率和位置參數(shù)，轉(zhuǎn)移斜率越大，表示經(jīng)濟(jì)變量在不同區(qū)制的轉(zhuǎn)移速度越快，反之則反；特別地，當(dāng)轉(zhuǎn)移斜率趨于無窮時(shí)，則轉(zhuǎn)移函數(shù)在位置參數(shù)附近表現(xiàn)為跳躍式的門檻模型，當(dāng)轉(zhuǎn)移斜率趨于零時(shí)，則轉(zhuǎn)移函數(shù)值也同樣趨于零，此時(shí)的非線性模型退化為線性向量自回歸模型。繪制不同轉(zhuǎn)移斜率下轉(zhuǎn)移函數(shù)圖像如圖4所示。為簡單起見，將位置參數(shù)設(shè)置為0。換言之，線性向量自回歸模型和門檻向量自回歸模型是平滑遷移向量自回歸模型的特例。

圖4不同轉(zhuǎn)移斜率對應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)圖像

從圖4中可以直觀地觀察到轉(zhuǎn)移斜率的變化對轉(zhuǎn)移函數(shù)圖像的影響，當(dāng)轉(zhuǎn)移斜率逐漸增大時(shí)，其對應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)在位置參數(shù)附近的轉(zhuǎn)變速度也變大。具體地，當(dāng)轉(zhuǎn)移斜率為0.5時(shí)，轉(zhuǎn)移函數(shù)的函數(shù)值在0至1之間的變化速度最慢，當(dāng)轉(zhuǎn)移斜率增大到5時(shí)，轉(zhuǎn)移函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值由0迅速變化到1。

(二)非線性檢驗(yàn)

對于平滑遷移向量自回歸模型的線性檢驗(yàn)，由上面的分析可知，到轉(zhuǎn)移斜率λ=0時(shí)轉(zhuǎn)移函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為0，此時(shí)平滑遷移向量自回歸模型退化為線性的向量自回歸模型，故可以將原假設(shè)設(shè)定為H0:λ=0，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，對應(yīng)的模型為線性向量自回歸，變量間具有線性關(guān)系；否則，拒絕原假設(shè)表示變量間具有非線性關(guān)系。我們注意到，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，式(8)中包含冗余的參數(shù)(即轉(zhuǎn)移斜率參數(shù)和位置參數(shù)在原假設(shè)成立的條件下是不可識別的)，此時(shí)傳統(tǒng)的參數(shù)約束檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量沒有漸進(jìn)的統(tǒng)計(jì)分別，故檢驗(yàn)方法失效。

參考Weise(1999)[8]的做法，將式 (8) 在λ=0處進(jìn)行泰勒展開，得到線性檢驗(yàn)的輔助回歸方程：

(10)

(11)

F分布類型的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

(12)

LR=T(log|Ω0|-log|Ω1|)～χ2[3m(mp+1)]

(13)

式 (13) 中，Ω0和Ω1分別表示平滑遷移向量自回歸模型對應(yīng)的輔助回歸方程的約束和無約束方差協(xié)方差矩陣。結(jié)合上述基于單方程的線性檢驗(yàn)和基于方程系統(tǒng)的線性檢驗(yàn)方法，包含測度收入不平等、人口老齡化和實(shí)際產(chǎn)出的三元平滑遷移向量自回歸模型的線性檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

表4 STVAR模型線性檢驗(yàn)結(jié)果

注：方程1、方程2和方程3分別代表收入不平等方程、老齡化方程和實(shí)際產(chǎn)出方程；對于每一個(gè)轉(zhuǎn)移變量，第一行為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，第二行為依據(jù)漸進(jìn)分布計(jì)算的顯著概率，第三行為利用自舉法 (bootstrap) 模擬的顯著性概率，抽樣次數(shù)設(shè)定為10 000次。

由表4的模型線性檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)老齡化一階差分滯后項(xiàng)和二階差分滯后項(xiàng)分別作為轉(zhuǎn)移變量時(shí)，無論是基于單方程檢驗(yàn)還是方程系統(tǒng)檢驗(yàn)，抑或是基于卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，方程1、方程2和方程3均在1%顯著概率下拒絕模型為線性的原假設(shè)，即方程中所包含的經(jīng)濟(jì)變量間存在顯著的非線性關(guān)聯(lián)機(jī)制。

此外，由表4還可以看到，當(dāng)轉(zhuǎn)移變量為基尼系數(shù)一階滯后和二階滯后、實(shí)際產(chǎn)出同比增速的一階滯后或者二階滯后時(shí)，模型同樣表現(xiàn)出非線性的特征。由于是基于老齡化對收入不平等的影響視角來分析變量間的短期動態(tài)影響機(jī)制，因此選擇老齡化作為轉(zhuǎn)移變量，并依據(jù)老齡化的不同程度將研究樣本分為老齡化高區(qū)制和老齡化低區(qū)制，進(jìn)一步研究其對收入不平等是否具有顯著的非對稱影響，或者不同的影響程度。同時(shí)考慮到樣本數(shù)據(jù)是年度數(shù)據(jù)且樣本容量較少，故選擇老齡化一階差分滯后項(xiàng)作為轉(zhuǎn)移變量。后面的脈沖曲線分析同樣也將轉(zhuǎn)移變量設(shè)定為老齡化一階差分滯后項(xiàng)，不再贅述。

(三) 變量間脈沖響應(yīng)分析

基于平滑遷移向量自回歸模型計(jì)算的脈沖響應(yīng)曲線與線性向量自回歸模型的脈沖曲線不同，對于線性模型而言，模型中的回歸系數(shù)在整個(gè)樣本區(qū)間為固定數(shù)值，而在非線性模型中，解釋變量前的回歸系數(shù)是非恒定在，如在不同的樣本區(qū)制內(nèi)，同一解釋變量前的回歸系數(shù)大小不同或者符號迥異。此時(shí)采用線性模型計(jì)算脈沖相應(yīng)曲線有失偏頗，因此本文參考Koop (1996)[9]提出的計(jì)算非線性向量自回歸模型脈沖曲線的方法，通過計(jì)算估計(jì)出轉(zhuǎn)移函數(shù)中的轉(zhuǎn)移斜率和位置參數(shù)，可以進(jìn)一步計(jì)算出在位置參數(shù)兩側(cè)的脈沖曲線函數(shù)。

六、結(jié)論和政策建議

人口老齡化是我國經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展中必須直面的現(xiàn)實(shí)問題。從各國人口老齡化的歷史進(jìn)程上看，人口年齡結(jié)構(gòu)逐漸老化會給一個(gè)國家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展帶來一系列消極的影響。與此同時(shí)，收入不平等會影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展的驅(qū)動力，并引發(fā)諸多社會問題，影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會穩(wěn)定。我國已經(jīng)進(jìn)入老齡化社會，政府在制定政策改善收入不平等的同時(shí)，應(yīng)該注意人口結(jié)構(gòu)的改變對收入不平等所產(chǎn)生的影響，加快完善我國老年人口的社會保障體系。