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        一題多解、一題多變、多解歸一

        2018-11-12 09:47:28李娜娜
        速讀·下旬 2018年10期
        關(guān)鍵詞:延長(zhǎng)線(xiàn)位線(xiàn)平分

        李娜娜

        【題目】已知:如圖1,在梯形ABCD中,[AD∥BC,∠A=90°],E為AB中點(diǎn),[AD+BC=DC].求證:(1)[DE⊥EC,DE平分∠ADC].(2) 分別以BC、BA所在的直線(xiàn)為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系,AD=4,AB=12,求直線(xiàn)CD的表達(dá)式。

        該題是對(duì)上海數(shù)學(xué)教材《22.6(2)梯形中位線(xiàn)》中例8的改編題,用于初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬測(cè)試,本文主要是研究該題第(1)問(wèn)的“一題多解、一題多變”。

        一、一題多解

        【學(xué)生解法】(如下圖)

        方法1:取CD中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH。

        方法2:延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。

        方法3:延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。

        方法4:延長(zhǎng)CB到F,使BF=AD,聯(lián)結(jié)EF。

        方法5:延長(zhǎng)DA到G,使AG=BC,聯(lián)結(jié)EG。

        【分析】方法1則是從在梯形ABCD、E為腰AB中點(diǎn)以及[AD+BC=DC]聯(lián)想到梯形的中位線(xiàn)定理.方法2和方法3是將已知條件[AD∥BC]和E為AB中點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合發(fā)展,通過(guò)構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng),從而得到一組全等三角形,來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.方法4和方法5則是從直角梯形以及E為中點(diǎn),構(gòu)造SAS全等,也有同學(xué)是以[AD+BC=DC]為切入點(diǎn),想到“截長(zhǎng)補(bǔ)短”,學(xué)生的典型錯(cuò)誤是證明時(shí)忽略了三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題。

        二、一題多變

        我們對(duì)一道題做“變式”的基本思路有:“弱化已知條件”、“加強(qiáng)所證結(jié)論”以及“交換條件和結(jié)論”.若把該題的第(1)問(wèn)中的部分條件和結(jié)論分別編號(hào):①E為AB中點(diǎn);②[ AD+BC=DC];③[ DE⊥EC];④[ DE平分∠ADC]。通過(guò)“交換條件和結(jié)論”得到了非常精彩的變式,并且每一個(gè)變式都是可以證明是成立的,且方法多樣。

        【變式1】已知:在梯形ABCD中,[AD∥BC,∠A=90°],①E為AB中點(diǎn),③[ DE⊥EC].求證:[② AD+BC=DC,④ DE平分∠ADC。](輔助線(xiàn)添加方法1、2、3、4、5。)

        【變式2】已知:在梯形ABCD中,[AD∥BC,∠A=90°],①E為AB中點(diǎn),[④ DE平分∠ADC].求證:[② AD+BC=DC,③ DE⊥EC。](輔助線(xiàn)添加方法1、2、3、4、5、6、7。)

        【變式3】已知:在梯形ABCD中,[AD∥BC,∠A=90°],[② AD+BC=DC],③[ DE⊥EC]。

        求證:①E為AB中點(diǎn)[,④ DE平分∠ADC.](輔助線(xiàn)添加方法3)

        思路:用“反正法”證明EH是梯形ABCD的中位線(xiàn)。假設(shè)EH不是梯形ABCD的中位線(xiàn),在[RT?CDE]中,易得[EH=12CD=12(AD+BC)],取AB中點(diǎn)M,則由梯形中位線(xiàn)定理,易得[HM=12AD+BC,且HM∥AD,]所以[HM⊥AB],根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,垂線(xiàn)段最短,易得[HM

        【變式4】已知:在梯形ABCD中,[AD∥BC,∠A=90°],[② AD+BC=DC],[④ DE平分∠ADC].求證:[①E為AB中點(diǎn),③ DE⊥EC.](輔助線(xiàn)添加方法1、6、7。)

        【變式5】已知:在梯形ABCD中,[AD∥BC,∠A=90°],[③ DE⊥EC],[④ DE平分∠ADC].

        求證:[①E為AB中點(diǎn),② AD+BC=DC.](輔助線(xiàn)添加方法2、6、7。)

        【輔助線(xiàn)添加方法】

        1.延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。

        2.延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。

        3.取CD中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH。

        4.延長(zhǎng)CB到F,使BF=AD,聯(lián)結(jié)EF。

        5.延長(zhǎng)DA到G,使AG=BC,聯(lián)結(jié)EG。

        6.過(guò)點(diǎn)E作[EI⊥CD],垂足為點(diǎn)I。

        7.在DC上截取[ DI=AD,聯(lián)結(jié)EI]。

        三、多解歸一

        在研究這五種變式時(shí),發(fā)現(xiàn)變式2的輔助線(xiàn)添加方法有7種,仔細(xì)分析,不難發(fā)現(xiàn)除了構(gòu)造梯形中位線(xiàn)之外(輔助線(xiàn)3),其他添加方法,均為了與已知條件結(jié)合,構(gòu)造出全等三角形,通過(guò)對(duì)比可以感受到,不同的輔助線(xiàn)添加,其實(shí)都殊途同歸,為三角形全等提供了條件,從而解決問(wèn)題,“多解歸一”思維習(xí)慣的培養(yǎng),非常有利于深入本質(zhì),鍛煉思維,掌握解題規(guī)律。

        平面幾何的學(xué)習(xí),主要是推理論證,不同的題目,證法各異,但證法的規(guī)律是存在的,要注意引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、積累、總結(jié)、掌握這些規(guī)律.該題第(1)問(wèn)的“一題多解”“一題多變”,提煉后有三種常規(guī)輔助線(xiàn)的。

        1.已知線(xiàn)段中點(diǎn),可以考慮構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng),形成全等三角形.這種輔助線(xiàn)的添加方法在教材中多次運(yùn)用,例如:上海數(shù)學(xué)教材《18.2(6)幾何證明》例11、直角三角形中線(xiàn)性質(zhì)定理的證明、梯形中位線(xiàn)定理的證明。

        2.已知角平分線(xiàn),可以考慮構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng),形成全等三角形。變式5的方法3則是對(duì)常見(jiàn)的基本圖形的處理方法:當(dāng)已知條件中一條角平分線(xiàn)垂直于另一條線(xiàn)段時(shí),可以延長(zhǎng)該線(xiàn)段,構(gòu)造全等。

        3.已知梯形及一腰的中點(diǎn),可以考慮添加梯形中位線(xiàn),應(yīng)用梯形的中位線(xiàn)定理進(jìn)行解題。

        這幾種常規(guī)輔助線(xiàn)的添加看似難度不大,但當(dāng)其應(yīng)用于較為復(fù)雜的綜合題時(shí),往往是解題的關(guān)鍵所在,平時(shí)教學(xué)時(shí),也可以從一題多解、一題多變、多解歸一的角度去進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),幫助學(xué)生深入本質(zhì),鍛煉思維。

        參考文獻(xiàn)

        [1]孫維剛.初中數(shù)學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2015,6.

        [2]何小亞.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社,2008,7.

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