李娜娜

【題目】已知：如圖1，在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，E為AB中點(diǎn)，[AD+BC=DC].求證：（1）[DE⊥EC，DE平分∠ADC].（2） 分別以BC、BA所在的直線(xiàn)為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，AD=4，AB=12，求直線(xiàn)CD的表達(dá)式。

該題是對(duì)上海數(shù)學(xué)教材《22.6（2）梯形中位線(xiàn)》中例8的改編題，用于初二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬測(cè)試，本文主要是研究該題第（1）問(wèn)的“一題多解、一題多變”。

一、一題多解

【學(xué)生解法】（如下圖）

方法1：取CD中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH。

方法2：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。

方法3：延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。

方法4：延長(zhǎng)CB到F，使BF=AD，聯(lián)結(jié)EF。

方法5：延長(zhǎng)DA到G，使AG=BC，聯(lián)結(jié)EG。

【分析】方法1則是從在梯形ABCD、E為腰AB中點(diǎn)以及[AD+BC=DC]聯(lián)想到梯形的中位線(xiàn)定理.方法2和方法3是將已知條件[AD∥BC]和E為AB中點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合發(fā)展，通過(guò)構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)，從而得到一組全等三角形，來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.方法4和方法5則是從直角梯形以及E為中點(diǎn)，構(gòu)造SAS全等，也有同學(xué)是以[AD+BC=DC]為切入點(diǎn)，想到“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，學(xué)生的典型錯(cuò)誤是證明時(shí)忽略了三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題。

二、一題多變

我們對(duì)一道題做“變式”的基本思路有：“弱化已知條件”、“加強(qiáng)所證結(jié)論”以及“交換條件和結(jié)論”.若把該題的第（1）問(wèn)中的部分條件和結(jié)論分別編號(hào)：①E為AB中點(diǎn)；②[ AD+BC=DC]；③[ DE⊥EC]；④[ DE平分∠ADC]。通過(guò)“交換條件和結(jié)論”得到了非常精彩的變式，并且每一個(gè)變式都是可以證明是成立的，且方法多樣。

【變式1】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，①E為AB中點(diǎn)，③[ DE⊥EC].求證：[② AD+BC=DC，④ DE平分∠ADC。]（輔助線(xiàn)添加方法1、2、3、4、5。）

【變式2】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，①E為AB中點(diǎn)，[④ DE平分∠ADC].求證：[② AD+BC=DC，③ DE⊥EC。]（輔助線(xiàn)添加方法1、2、3、4、5、6、7。）

【變式3】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[② AD+BC=DC]，③[ DE⊥EC]。

求證：①E為AB中點(diǎn)[，④ DE平分∠ADC.]（輔助線(xiàn)添加方法3）

思路：用“反正法”證明EH是梯形ABCD的中位線(xiàn)。假設(shè)EH不是梯形ABCD的中位線(xiàn)，在[RT?CDE]中，易得[EH=12CD=12（AD+BC）]，取AB中點(diǎn)M，則由梯形中位線(xiàn)定理，易得[HM=12AD+BC，且HM∥AD，]所以[HM⊥AB]，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，垂線(xiàn)段最短，易得[HM

【變式4】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[② AD+BC=DC]，[④ DE平分∠ADC].求證：[①E為AB中點(diǎn)，③ DE⊥EC.]（輔助線(xiàn)添加方法1、6、7。）

【變式5】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[③ DE⊥EC]，[④ DE平分∠ADC].

求證：[①E為AB中點(diǎn)，② AD+BC=DC.]（輔助線(xiàn)添加方法2、6、7。）

【輔助線(xiàn)添加方法】

1.延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。

2.延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。

3.取CD中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH。

4.延長(zhǎng)CB到F，使BF=AD，聯(lián)結(jié)EF。

5.延長(zhǎng)DA到G，使AG=BC，聯(lián)結(jié)EG。

6.過(guò)點(diǎn)E作[EI⊥CD]，垂足為點(diǎn)I。

7.在DC上截取[ DI=AD，聯(lián)結(jié)EI]。

三、多解歸一

在研究這五種變式時(shí)，發(fā)現(xiàn)變式2的輔助線(xiàn)添加方法有7種，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)除了構(gòu)造梯形中位線(xiàn)之外（輔助線(xiàn)3），其他添加方法，均為了與已知條件結(jié)合，構(gòu)造出全等三角形，通過(guò)對(duì)比可以感受到，不同的輔助線(xiàn)添加，其實(shí)都殊途同歸，為三角形全等提供了條件，從而解決問(wèn)題，“多解歸一”思維習(xí)慣的培養(yǎng)，非常有利于深入本質(zhì)，鍛煉思維，掌握解題規(guī)律。

平面幾何的學(xué)習(xí)，主要是推理論證，不同的題目，證法各異，但證法的規(guī)律是存在的，要注意引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、積累、總結(jié)、掌握這些規(guī)律.該題第（1）問(wèn)的“一題多解”“一題多變”，提煉后有三種常規(guī)輔助線(xiàn)的。

1.已知線(xiàn)段中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)，形成全等三角形.這種輔助線(xiàn)的添加方法在教材中多次運(yùn)用，例如：上海數(shù)學(xué)教材《18.2（6）幾何證明》例11、直角三角形中線(xiàn)性質(zhì)定理的證明、梯形中位線(xiàn)定理的證明。

2.已知角平分線(xiàn)，可以考慮構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)，形成全等三角形。變式5的方法3則是對(duì)常見(jiàn)的基本圖形的處理方法：當(dāng)已知條件中一條角平分線(xiàn)垂直于另一條線(xiàn)段時(shí)，可以延長(zhǎng)該線(xiàn)段，構(gòu)造全等。

3.已知梯形及一腰的中點(diǎn)，可以考慮添加梯形中位線(xiàn)，應(yīng)用梯形的中位線(xiàn)定理進(jìn)行解題。

這幾種常規(guī)輔助線(xiàn)的添加看似難度不大，但當(dāng)其應(yīng)用于較為復(fù)雜的綜合題時(shí)，往往是解題的關(guān)鍵所在，平時(shí)教學(xué)時(shí)，也可以從一題多解、一題多變、多解歸一的角度去進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生深入本質(zhì)，鍛煉思維。

參考文獻(xiàn)

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