祝佳佳

【摘要】在指數(shù)函數(shù)教學(xué)中，利用幾何畫板輔助作圖，以動態(tài)、直觀的形式引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、總結(jié)、歸納，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還大大提高了學(xué)習(xí)效率.幾何畫板作圖還可以推廣到對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的教學(xué)中，更好地促進(jìn)函數(shù)的教學(xué)，實現(xiàn)高效課堂.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；指數(shù)函數(shù)；教學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，但由于其抽象性強(qiáng)，多數(shù)學(xué)生難以理解.教學(xué)大綱要求學(xué)生能從函數(shù)圖像中提取信息并運(yùn)用這些信息解決問題.在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師徒手繪圖問題不少，比如，耗時、多個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中圖像雜亂、參數(shù)變化時函數(shù)圖像的變化情況難以動態(tài)顯現(xiàn)出來等.如何解決這些問題？筆者借助幾何畫板，動態(tài)、直觀展現(xiàn)函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、總結(jié)、歸納.現(xiàn)結(jié)合“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計淺談幾何畫板在函數(shù)教學(xué)中的輔助作用.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)必修1》第2.1.2節(jié).考慮到筆者所執(zhí)教班級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，將本節(jié)分兩個課時，第一課時研究指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)，第二課時研究指數(shù)函數(shù)應(yīng)用.本文案例是第一課時.指數(shù)函數(shù)是很重要的基本初等函數(shù)，不僅是后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎(chǔ)，而且在生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛，因此，需要重點研究.

二、學(xué)情分析

此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法以及函數(shù)的性質(zhì).已了解函數(shù)有多種表示方法，常見的有解析式和圖像法.初步懂得這兩種表示法可以結(jié)合起來研究函數(shù)，即我們常說的“數(shù)形結(jié)合”.但是還沒有應(yīng)用此法對一類函數(shù)進(jìn)行過深入分析，而指數(shù)函數(shù)剛好給學(xué)生一個應(yīng)用的機(jī)會.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，感受什么是指數(shù)爆炸增長.會用幾何畫板畫具體的指數(shù)函數(shù)的圖像，同時會通過列表描點連線的方法畫底數(shù)為2，12等較為簡單的指數(shù)函數(shù)的大致圖像.

2.借助幾何畫板，通過觀察不同底的指數(shù)函數(shù)圖像，分類并歸納、總結(jié)出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識.同時，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、團(tuán)隊協(xié)作的能力.

3.能利用指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識解決簡單的數(shù)學(xué)問題.

四、教學(xué)重難點

重點：指數(shù)函數(shù)概念，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及研究方法.

難點：借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)性質(zhì).

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）情境創(chuàng)設(shè)

問題1：如果1號同學(xué)在自己的本子上畫2個圓點，2號同學(xué)在自己的本子上畫4個圓點，3號同學(xué)畫6個，按照這樣的規(guī)律，8號同學(xué)該在自己的本子上畫多少個圓點？

問題2：如果1號同學(xué)畫2個圓點，2號同學(xué)畫4個，3號同學(xué)畫8個，4號同學(xué)畫16個，按照這個規(guī)律，8號同學(xué)該畫多少個圓點？

設(shè)計意圖：《必修1》2.1節(jié)開頭提出我國GDP的增長問題和生物體內(nèi)炭14的衰減問題，這讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)和生產(chǎn)生活有緊密聯(lián)系，但也讓學(xué)生感到復(fù)雜煩瑣，望而卻步，比如，這兩個問題涉及的函數(shù)分別為y=1.073x，x∈N*，x≤20和P=12t5730.因此，創(chuàng)設(shè)情境，一來調(diào)動全班同學(xué)學(xué)習(xí)積極性，二來讓學(xué)生在問題情境中感受到一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的不同.特別地，以如下表格形式呈現(xiàn)問題1，2的結(jié)果，對比發(fā)現(xiàn)問題2中隨著學(xué)號增加，圓點個數(shù)增長比較厲害，讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)爆炸增長.

問題3：在上述問題中，如果學(xué)號x的同學(xué)應(yīng)畫圓點個數(shù)用y表示，那函數(shù)解析式分別是什么？

設(shè)計意圖：嘗試讓學(xué)生寫函數(shù)解析式，為學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義做準(zhǔn)備.根據(jù)經(jīng)驗，定義域是學(xué)生容易忽略的問題，可通過分析學(xué)生的不同結(jié)果，提醒其注意定義域.

（二）探索新知

1.指數(shù)函數(shù)的定義.

問題4：《必修1》第2.1節(jié)開頭的問題1和上述問題2的函數(shù)解析式分別是y=2x，x∈N*，x≤80和y=1.073x，x∈N*，x≤20，是函數(shù)家族的新面孔吧？它們的形式相同嗎？能給這類函數(shù)一個類似于一次、二次函數(shù)的一般形式，并給它起個名字嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)此類函數(shù)的特征并嘗試命名，激發(fā)學(xué)生興趣，加深學(xué)生對指數(shù)函數(shù)形式的理解.學(xué)生很快能寫出y=ax，教師強(qiáng)調(diào)：底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置.

問題5：對于指數(shù)函數(shù)模型，在實際中我們希望自變量x可以任意取值，在這個前提下底數(shù)a可取任意實數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：經(jīng)過自主思考和合作交流，同學(xué)們會根據(jù)“負(fù)數(shù)沒有偶次方根，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不存在”得到a>0.但是為什么又規(guī)定a≠1呢？當(dāng)a=1時y=1x這個函數(shù)確實存在，但由于y=1x即y=1，x∈R，是常函數(shù)，不再歸為指數(shù)函數(shù).通過生生互動和師生互動，得出形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，加深學(xué)生對底數(shù)限制條件的印象.教師通過數(shù)軸巧妙地把底數(shù)a的范圍轉(zhuǎn)化為a>1和1>a>0，為下面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時如何進(jìn)行分類討論做鋪墊.

問題6：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)？

設(shè)計意圖：注意對底數(shù)a的限定，并注意利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡后再觀察其形式.

2.指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì).

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，按照動手操作，觀察猜想，幾何畫板作圖驗證猜想的思路進(jìn)行教學(xué).

（1）動手操作.

問題7：同學(xué)們還記得畫函數(shù)圖像的方法嗎？請奇數(shù)學(xué)號的同學(xué)在同一直角坐標(biāo)系中畫指數(shù)函數(shù)y=2x和y=3x的圖像，偶數(shù)學(xué)號的同學(xué)在同一直角坐標(biāo)系中畫y=12x和y=13x的函數(shù)圖像.

設(shè)計意圖：對于底數(shù)比較簡單的指數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生通過列表、描點、連線的方法畫函數(shù)圖像，這是學(xué)生畫指數(shù)函數(shù)大致圖像的最基本的要求.展示同學(xué)們的畫圖結(jié)果，發(fā)現(xiàn)奇偶號同學(xué)的圖差別較大，引發(fā)學(xué)生思考底數(shù)對圖像的影響.

（2）觀察猜想

問題8：觀察這四個指數(shù)函數(shù)的大致圖像，它們有什么共同點和不同點？指數(shù)函數(shù)有什么性質(zhì)？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過觀察圖像分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

（Ⅰ）圖像都過點（0，1）；

（Ⅱ）函數(shù)定義域為R，值域為（0，+∞）；

（Ⅲ）a>1時，函數(shù)圖像呈上升趨勢，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增；1>a>0時，函數(shù)圖像呈下降趨勢，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減.

（3）利用幾何畫板作圖驗證猜想.

（Ⅰ）教師利用幾何畫板演示

由于底數(shù)a可取任意大于0且不等于1的實數(shù)，因此，在幾何畫板中對a設(shè)置滑動條，即用一端固定于x軸的豎直線段的長度表示a的值，當(dāng)鼠標(biāo)拉動滑動條變長變短時，a的值就隨著變大變小，而a的值和對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)y=ax的解析式則一一顯示在幾何畫板中，方便同學(xué)們觀察a取不同值時函數(shù)y=ax的圖像.如圖1所示，當(dāng)a>1時，從上到下拖動滑動條，隨著滑動條長度越來越接近1，即a的值越來越接近1，圖像就越來越接近直線y=1，特別地，a=1時圖像就是直線y=1.同時，a>1時，圖像呈上升趨勢，并且a值越大，在第一象限內(nèi)的圖像越接近y軸.

同樣的方法，教師演示1>a>0時，a的值和對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)y=ax的解析式及圖像.最后讓同學(xué)們觀察這些圖像（圖2），發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，驗證自己剛才關(guān)于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的猜想是否正確.

設(shè)計意圖：研究同類函數(shù)的方法通常是在同一坐標(biāo)系中，做出多個函數(shù)的圖像，通過觀察和比較得到函數(shù)的性質(zhì).通過幾何畫板可以快速繪制函數(shù)圖像，并能清楚地顯示參數(shù)a變化時函數(shù)圖像的變化，使學(xué)生更清楚、更直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并驗證自己的發(fā)現(xiàn)和猜測.利用幾何畫板輔助作圖，一方面，大大提高了課堂效率，另一方面，突出了研究函數(shù)的方法，突破了重難點.

（Ⅱ）學(xué)生利用幾何畫板繪圖.

設(shè)計意圖：同學(xué)們可以親自利用幾何畫板繪制任意想要的指數(shù)函數(shù)的圖像，活躍課堂氣氛，并借機(jī)進(jìn)一步深化指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識，比如，什么是指數(shù)增長，經(jīng)濟(jì)中的“復(fù)利率”以及高利貸為什么那么可怕等等.還可以幫同學(xué)們總結(jié)指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的口訣“左右無限上沖天，永與橫軸不沾邊，大1增，小1減，圖像恒過（0，1）點”，提高記憶效率，增強(qiáng)記憶效果.

六、教學(xué)反思

本節(jié)課的亮點是利用幾何畫板輔助作圖，與傳統(tǒng)的手工畫圖教學(xué)比較，利用幾何畫板輔助函數(shù)教學(xué)主要有以下優(yōu)點.

（一）精準(zhǔn)作圖，省時高效

傳統(tǒng)的手工畫圖耗時、耗力，畫簡單函數(shù)的大致圖像時經(jīng)常用到，但是畫任意的指數(shù)函數(shù)的精確圖像很難實現(xiàn).幾何畫板可以精準(zhǔn)作圖，省時高效.

（二）動態(tài)演示，形象直觀

本節(jié)課在研究指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)時，通過幾何畫板動態(tài)演示底數(shù)a變化時的指數(shù)函數(shù)圖像的變化，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個直觀形象的平臺，讓學(xué)生更快、更直接地發(fā)現(xiàn)并領(lǐng)悟指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).學(xué)生通過觀察、思考、總結(jié)和歸納，對所學(xué)知識從感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識.

（三）突破難點、驗證猜想

本節(jié)課的教學(xué)難點是研究一類函數(shù)的方法及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).幾何畫板輔助作圖有效地突破了教學(xué)難點.事實上，學(xué)生自己手工做出兩個簡單的具體的指數(shù)函數(shù)的圖像后，對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)已經(jīng)有了初步猜想，但不是十分肯定，而通過幾何畫板可以做出任意的指數(shù)函數(shù)的圖像，由具體到一般，驗證了學(xué)生的猜想.眾所周知，由于函數(shù)的高度抽象性，高中生談“函數(shù)”色變，利用幾何畫板輔助作圖幫助他們驗證猜想，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的自信心.

（四）激發(fā)興趣、授之以漁

幾何畫板的應(yīng)用，引起了學(xué)生的注意力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，活躍了課堂氣氛.讓學(xué)生親自利用幾何畫板做出任意的指數(shù)函數(shù)的圖像，不僅增強(qiáng)了學(xué)生動手操作的能力，還給學(xué)生滲透了一種方法，即遇到復(fù)雜的難以用手工畫圖的函數(shù)時，可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)，如幾何畫板作圖.“授之以魚不如授之以漁”，教給學(xué)生方法和思路對學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)會有很大的幫助.

總之，在函數(shù)教學(xué)中，教師可以在手工畫圖的基礎(chǔ)上，結(jié)合幾何畫板作圖的優(yōu)勢，更好地促進(jìn)函數(shù)教學(xué)，實現(xiàn)高效課堂.

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫云飛.淺談幾何畫板在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國教育信息化，2012（8）：59-60.

[2]車錦洋.幾何畫板優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的案例淺談[J].教育現(xiàn)代化，2016（29）：344-345.