景正鳳 (四川核工業(yè)技師學(xué)院,四川 成都 611130)
在土木工程實(shí)踐中,往往須對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)抽象簡(jiǎn)化成結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖,然后進(jìn)行內(nèi)力分析,并作彎矩圖,這也是工程設(shè)計(jì)中必不可少的步驟,而通過(guò)一步步利用力和力矩平衡方程求解支座反力,再作出剪力圖進(jìn)而作出彎矩圖在工程實(shí)際中是很難實(shí)現(xiàn)的,原因在于平衡方程過(guò)多,還有聯(lián)立方程求解太過(guò)于麻煩,這都給彎矩圖的繪制帶來(lái)了諸多不便。而彎矩圖又是梁和剛架最重要的內(nèi)力圖,作彎矩圖也是結(jié)構(gòu)力學(xué)最重要的基本功,往往“手算怕繁,電算怕亂”,手作彎矩圖必須化繁為簡(jiǎn),才能提高速度。尤其對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu),特別是超靜定結(jié)構(gòu),還要靈活運(yùn)用疊加法進(jìn)行分析和計(jì)算,并充分利用力學(xué)概念和適當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治?,將定量?jì)算壓縮到最低限度,才可大大提高作彎矩圖的速度和正確性。
在小變形的情況下,結(jié)構(gòu)在幾個(gè)荷載共同作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力,等于各個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)力之和。這也就是說(shuō)可以將多種類型荷載作用下的結(jié)構(gòu)看成是單一荷載作用下的結(jié)構(gòu)之和,而單一荷載作用下的結(jié)構(gòu)的彎矩圖,用截面法較易求得和掌握。如圖1所示。根據(jù)疊加原理,簡(jiǎn)支梁在均布荷載和兩端鉸支座處集中力偶荷載共同作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力,等于其均布荷載和兩端鉸支座處集中力偶荷載單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)力之和,即圖 1(c)= 圖 1(a)+圖 1(b)。
圖1 疊加法畫彎矩圖
①疊加時(shí)宜先作直線形的彎矩圖,再以直線邊為基線疊加曲線形或折線形的彎矩圖,重疊部分擦去即可。
②彎矩圖的疊加不是兩個(gè)圖形的簡(jiǎn)單疊加,而是對(duì)應(yīng)點(diǎn)處縱坐標(biāo)的疊加。即必須注意疊加后的每一縱坐標(biāo)應(yīng)等于單一荷載作用時(shí)彎矩圖中相應(yīng)的縱坐標(biāo)之和,同側(cè)的縱坐標(biāo)應(yīng)相加,異側(cè)的縱坐標(biāo)應(yīng)相減;此外,對(duì)縱坐標(biāo)具有不同正負(fù)號(hào)的部分,疊加后兩個(gè)圖形重疊部分表示兩個(gè)縱坐標(biāo)值互相抵消,不重疊部分即為所求的彎矩圖。如圖2所示。
①選定控制點(diǎn)(此時(shí)控制點(diǎn)不包括各均布荷載段跨中點(diǎn)),求出控制截面的彎矩值。
②分段作彎矩圖。當(dāng)控制截面間無(wú)荷載作用時(shí),根據(jù)控制截面的彎矩值,即可作出直線彎矩圖;當(dāng)控制截面間有荷載作用時(shí),根據(jù)控制截面的彎矩值作出相應(yīng)直線彎矩圖后,還應(yīng)疊加上這一段按簡(jiǎn)支梁求得的彎矩圖。
分段疊加法是指用疊加法作某一直桿段彎矩圖的方法。即任意段直桿都可當(dāng)作簡(jiǎn)支梁,并可以利用疊加法來(lái)作該直桿段的彎矩圖。如圖3所示,對(duì)圖示簡(jiǎn)支梁把其中的AB段取出,其隔離體如圖所示,把AB隔離體與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁作一對(duì)比,顯然兩者是完全相同的,因此,上圖中簡(jiǎn)支梁AB段的彎矩圖可以用與簡(jiǎn)支梁相同的方法繪制,即把MA和MB標(biāo)在桿端,并連以直線,然后在此直線上疊加上節(jié)間荷載單獨(dú)作用在簡(jiǎn)支梁上時(shí)的彎矩圖,為此必須先求出MA和MB。
疊加法是以疊加原理為依據(jù)的結(jié)構(gòu)分析方法,它的好處是能將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行分析,具有廣泛的適用性,尤其是分段疊加法。如前所述,要作結(jié)構(gòu)中某一直桿段的彎矩圖,只要先求桿段兩端的彎矩,作相應(yīng)的“桿端彎矩圖”(直線);再將該段直桿看成簡(jiǎn)支梁,作它在橫向荷載和力偶荷載作用下的彎矩圖,簡(jiǎn)稱“簡(jiǎn)支梁彎矩圖”,在桿端彎矩圖的基礎(chǔ)上疊加“簡(jiǎn)支梁彎矩圖”,就得到該桿端的彎矩圖。事實(shí)上,這一方法可用公式表示為M(x)=Me(x)+Mo(x),式中Me(x)和Mo(x)分別對(duì)應(yīng)于桿端彎矩圖和簡(jiǎn)支梁彎矩圖,M(x)為桿段的實(shí)際彎矩圖。
如圖4所示三鉸剛架的彎矩圖,傳統(tǒng)的解法可以分以下幾個(gè)步驟:①求支座反力,先用整體平衡條件求豎向反力,再取左邊或右邊半個(gè)剛架為隔離體,對(duì)頂鉸取矩,求水平反力;②求控制截面的彎矩,主要是豎桿頂部結(jié)點(diǎn)的彎矩;③用分段疊加法作彎矩圖。
顯然,以上解法其正確性是沒(méi)問(wèn)題的,只是刻板了一點(diǎn),其實(shí)這道題可以換一種靈活的方法來(lái)求解。即首先大致作出彎矩圖的形狀。豎桿不受荷載作用,彎矩圖為直線;兩個(gè)支座水平反力大小相等、方向相反,所以豎桿頂端的彎矩一定相等,從而水平桿兩端的彎矩也相等;水平桿受均布橫向荷載作用,彎矩圖為二次拋物線,這條拋物線一定要通過(guò)頂鉸;由于對(duì)稱性,拋物線的形狀也是對(duì)稱的??缍葹閘的簡(jiǎn)支梁在集度為q的均布荷載作用下,其跨中彎矩值為,由疊加法反推可知,水平桿兩端以及豎桿頂端的彎矩也是。如果需要,還可以很容易的由彎矩圖求出支座的水平反力。以上求解過(guò)程寫出來(lái)是一大堆文字,好像很啰嗦,實(shí)際上,它的主要工作是在“心里”完成的,是利用力學(xué)概念和定性的分析,計(jì)算被壓縮到了最低限度,從而大大提高了作彎矩圖的速度,并且準(zhǔn)確。
圖3 分段疊加法
圖4 三鉸剛架的彎矩圖
上面所舉的例子,是剛架,且結(jié)構(gòu)和荷載都是對(duì)稱的,其實(shí)這并非必要,如圖5所示,是一個(gè)不對(duì)稱的例子,解題的關(guān)鍵是求其支座B處的負(fù)彎矩,由圖5所示的疊加關(guān)系及幾何關(guān)系很容易求得MB的絕對(duì)值為,將圖中的MB改為,所求的彎矩圖就完成了。
圖5 不對(duì)稱連續(xù)梁的彎矩圖
由此可見,靈活運(yùn)用疊加法不僅可以節(jié)省很多計(jì)算工作,大大提高作彎矩圖的速度,還可以加強(qiáng)對(duì)結(jié)構(gòu)的定性分析和力學(xué)概念的理解。
為避免作結(jié)構(gòu)彎矩圖的麻煩,盡可能不用或少用平衡方程,就得充分、靈活運(yùn)用疊加法作結(jié)構(gòu)彎矩圖的一些基本理念和分析方法來(lái)解決問(wèn)題,將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,同時(shí)還能培養(yǎng)我們深入分析問(wèn)題繼而用更合適的方法來(lái)解決問(wèn)題的能力,但這要熟練掌握有關(guān)力學(xué)概念和適當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治龇椒ǎ拍苓_(dá)到目的,這就是熟能生巧的道理。