盛秀蘭， 魏 貞， 吳宏偉

(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 江蘇 南京 210096； 2.江蘇開放大學(xué) 通識教育學(xué)院 江蘇 南京 210036)

0 引言

考慮帶有Neumann邊界條件的一維常系數(shù)對流擴散方程構(gòu)造高階差分格式：

ut+αux-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],

(1)

u(x,0)=φ(x),x∈(a,b),

(2)

ux(a,t)=0；ux(b,t)=0,t∈(0,T]，

(3)

其中：α,β為常數(shù)，且β>0.

ut+αv-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],

(4)

vt+αuxx-βvxx=fx(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],

(5)

u(x,0)=φ(x)；v(x,0)=φ′(x),x∈(a,b),

(6)

v(a,t)=0；v(b,t)=0,t∈(0,T],

(7)

令v(x,t)=ux(x,t),則方程(1)轉(zhuǎn)化為方程(4)，同時對方程(1)關(guān)于x求一階導(dǎo)數(shù)為方程(5).方程(4)～(7)為耦合方程，與(1)～(3)式等價.

對流擴散方程是描述黏性流體運動的非線性模型方程，但要得到對流擴散方程的精確解很困難，因此有效的數(shù)值算法越來越重要，在常用的差分方法中，由于方程中擴散項的存在,在數(shù)值求解過程中經(jīng)常會出現(xiàn)數(shù)值震蕩,為此需要構(gòu)造精度高、穩(wěn)定性好的數(shù)值解法,緊差分格式就是這一類方法.文獻[1]給出了二維變對流系數(shù)非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程的時間方向上加權(quán)離散的一類HOC格式.文獻[2]給出了二維不穩(wěn)定對流擴散方程的一種高階交替方向隱格式,此方法在時間和空間上分別是二階和四階的.文獻[3-4]研究了對流擴散方程的特征有限差分格式,此方法能夠有效地克服數(shù)值震蕩.文獻[5-6]給出了關(guān)于Neumann邊界條件熱方程的高階差分格式.文獻[7-8]通過緊差分格式及高階ADI格式研究對流擴散問題.文獻[9]提出帶有Neumann邊界條件的非線性反應(yīng)擴散方程的一種四階緊算法.文獻[10]通過引入新變量,建立了一維非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程的高階有限差分格式,利用Von-Neumann方法分析了差分格式的穩(wěn)定性,在時間和空間上為二階和四階收斂.文獻[11-12]利用緊差分格式求解熱方程、變系數(shù)線性拋物方程及Cahn-Hilliard方程.本文參考文獻[13]利用離散能量估計方法證明了差分解在最大模意義下關(guān)于時間和空間的二階收斂性.對帶有Dirichlet邊界條件的對流擴散方程建立高階緊差分格式的方法很多,而處理Neumann邊界條件方法比較棘手,本文針對一維對流擴散方程建立一種緊差分格式,擬從格式的相容性、截斷誤差、穩(wěn)定性、收斂性、以及精度等方面對Neumann邊界條件進行研究.

1 記號及引理

取正整數(shù)m,n,記空間步長與時間步長分別為h=(b-a)/m,τ=T/n.xi=a+ih，(0≤i≤m),tk=kτ，(0≤k≤n).定義Ωh={xi|0≤i≤m},Ωhτ={(xi,tk)|0≤i≤m,0≤k≤n},稱(xi,tk)為節(jié)點,并設(shè){vik|0≤i≤m,0≤k≤n}為Ωhτ上的網(wǎng)格函數(shù),引進下列記號：

引理5[16]① 若f(x)∈C5[x0,x1],則

② 若f(x)∈C5[xm,xm-1],則

2 差分格式的建立

(8)

(9)

當(dāng)0≤i≤m,0≤k≤n-1時，用算子Α分別作用于(8)和(9)兩式得

(10)

(11)

當(dāng)0≤i≤m-1,0≤k≤n-1時，并由引理1將(10)和(11)兩式轉(zhuǎn)化為：

(12)

(13)

由(10)式知，當(dāng)i=0,0≤k≤n-1時

(14)

應(yīng)用引理5將(14)式轉(zhuǎn)化為

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

3 差分格式解的先驗估計式

(24)

(25)

(26)

將(24)～(26)三式相加得

(27)

(28)

(29)

(30)

將D1,D2,D3,D4,D5代入D1+D2=D3+D4+D5得

(31)

(32)

(32)式左邊第1項、第2項分別為：

(32)式右邊第1項、第2項分別為：

其中ε=-β/|α|，將上述4項代入(32)式得

(33)

(34)

定理2得證.

4 差分格式的唯一性、收斂性和穩(wěn)定性

1) 唯一性

定理2差分格式(18)～(23)式是唯一可解.

2) 收斂性

證明將(3)～(7)式與(18)～(23)式分別相減,得到誤差方程組：

由定理2知，定理3成立.

3) 穩(wěn)定性

類似討論差分格式的收斂性,可以得到差分格式(18)～(23)式關(guān)于初值的穩(wěn)定性.

5 數(shù)值試驗

該問題的精確解為u(x,t)=0.1e2 tcosx.

表1 不同步長下的誤差和收斂階數(shù)Tab.1 Errors and convergence rate under different steps