金燕生， 侯文婷

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

重大疾病或重大交通事故的發(fā)生常常伴隨著巨大的財(cái)產(chǎn)損失. 基于此，保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)了重疾險(xiǎn)和第三方保險(xiǎn)，承諾在首次出險(xiǎn)后一段時(shí)間內(nèi)再次出險(xiǎn)仍將進(jìn)行二次賠付. 風(fēng)險(xiǎn)模型中，首次賠付和二次賠付分別稱為主索賠和延遲索賠，通常認(rèn)為其分布是重尾的[1-2]. 重尾分布下帶常數(shù)利息力的風(fēng)險(xiǎn)模型不僅刻畫(huà)了造成保險(xiǎn)公司破產(chǎn)的大額索賠，而且還反映了盈余資本在常數(shù)利息下的累積[3-4]. 針對(duì)此模型，文獻(xiàn)[5]研究了索賠額屬于L∩D族且負(fù)相依下的有限時(shí)破產(chǎn)概率. 文獻(xiàn)[6]在索賠額屬于C族且上尾漸近獨(dú)立情形下得到了破產(chǎn)概率漸近表達(dá)式. 文獻(xiàn)[7]給出了索賠到達(dá)間隔由獨(dú)立變?yōu)閃LOD(寬下象限相依)情形下的有限時(shí)和終極破產(chǎn)概率. 文獻(xiàn)[8-10]則將保費(fèi)推廣為隨機(jī)過(guò)程，給出了相應(yīng)的有限時(shí)破產(chǎn)概率. 文獻(xiàn)[11]又將延遲索賠增加到模型中，但保費(fèi)仍為常數(shù)，在索賠到達(dá)為Poisson過(guò)程條件下，得到了新的破產(chǎn)概率等價(jià)式. 文獻(xiàn)[12]將文獻(xiàn)[11]中索賠額由獨(dú)立變?yōu)樨?fù)相依，索賠到達(dá)推廣為更新過(guò)程，但索賠額分布縮小到L∩D族.本文繼續(xù)考慮帶有延遲索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型，將索賠額擴(kuò)展到廣義負(fù)相依，又將保費(fèi)總收入推廣為非負(fù)非降的隨機(jī)過(guò)程，在索賠到達(dá)為更新過(guò)程的情形下，得到了有限時(shí)破產(chǎn)概率的漸近等價(jià)式. 文中所建模型包含了保費(fèi)收入為線性過(guò)程且索賠額負(fù)相依這一特殊情形，同時(shí)也更符合實(shí)際.

1 模型和引理

(1)

其中：{C(t),t≥0}表示到時(shí)刻t為止的保費(fèi)總收入，滿足C(0)=0，C(t)<∞；Xi和Yi分別表示第i次主索賠和延遲索賠；Wi表示相應(yīng)的延遲時(shí)間間隔；IA表示集合A的示性函數(shù).

通常定義有限時(shí)破產(chǎn)概率為

(2)

廣義負(fù)相依不僅包含了負(fù)相依，而且還包含了某些正相依序列，具有更廣泛的研究?jī)r(jià)值[14].

引理2[15]若{Xi,i≥1}是END，{gk,k≥1}均是非增或均是非降的，則{gk(xk),k≥1}仍是END.

引理4在假設(shè)(A2),(A3)下，若F,G∈L∩D，則{Hi,i≥1}是END，且對(duì)?i≥1有Hi∈L∩D.

證明因?yàn)閧Xi,i≥1}和{Yi,i≥1}均為END，故由文獻(xiàn)[17]的引理5可知，{Xi+YiI{Si+Wi≤t},i≥1}是END. 又對(duì)?i≥1,P(0

引理5設(shè)任意非負(fù)隨機(jī)變量Z與{Xi,i≥1}，{Yi,i≥1}，{Wi,i≥1}，{N(t),t≥0}兩兩相互獨(dú)立，在引理4條件下，對(duì)任意的T及正整數(shù)m0，有

(3)

證明對(duì)k=1,2,…,m0，由已知獨(dú)立性條件有

P(Z∈dz)P(S1∈ds1,…,Sk+1∈dsk+1).

(4)

取1≤i≠j≤k，由引理4知?M>0，有P(Hie-δsi>x+z,Hje-δsj>x+z)≤MP(Hie-δsi>x+z)P(Hje-δsj>x+z)=o(P(H1e-δs1>x)).則

(5)

(5)式中最后一步等價(jià)式可由L族定義得到.又對(duì)?L>0，有

(6)

對(duì)于Δ1，再次利用L族性質(zhì)有

(7)

對(duì)于Δ2，由D族定義，存在x0>0及常數(shù)c0，當(dāng)x>x0時(shí)

(8)

2 主要結(jié)果

定理1對(duì)于模型(1)，在假設(shè)條件(A1)～(A3)下，若F,G∈L∩D，則有限時(shí)破產(chǎn)概率滿足

(9)

(10)

對(duì)I1，由引理5知，在Z≡0時(shí)，有

(11)

又由文獻(xiàn)[14]知，對(duì)?t∈[0,T]，當(dāng)m0→∞時(shí)，有(E((N(T))p+1)I{N(T)>m0})/λt→0.可得

(12)

從而由式(10)～(12)知ψ(x,T)P(H1e-δs>x)dλs.另一方面，對(duì)上述m0,

(13)

類似I2證明方法，有J2≤P(H1>x)EN(T)I{N(T)>m0}.從而

(14)

上式第2個(gè)等價(jià)關(guān)系可由引理3得到. 從而定理得證.

3 結(jié)論

與以往模型相比，本文考慮了延遲索賠的影響，并在保費(fèi)隨機(jī)，索賠額相依情形下得到了破產(chǎn)概率漸近等價(jià)式，該結(jié)果對(duì)保險(xiǎn)公司在新的承保模式下進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管控具有一定的指導(dǎo)意義.