冷詩揚, 楊雙羚

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012； 2. 吉林建筑大學城建學院 基礎科學部, 長春 130114)

0 引 言

關于非線性微分方程組可積性與不可積性的研究是常微分方程定性理論的核心問題之一. 對于一個給定系統(tǒng), 如果能找到足夠多的首次積分, 則很容易得到其通解, 該系統(tǒng)便是可積的. 利用k個函數獨立的首次積分可將n維系統(tǒng)簡化為(n-k)維, 進而研究所考慮動力系統(tǒng)的拓撲結構. 例如, 如果一個自由度為n的Hamilton系統(tǒng)在Liouville意義下可積, 即具有n個函數獨立且兩兩對合的首次積分, 則其與首次積分確定的不變集在相空間內同胚于圓環(huán)、 圓柱或者平面. 如果系統(tǒng)是不可積的, 則它通常表現出各種混沌現象或其他復雜的動力學行為.

一般很難判斷一個系統(tǒng)是否具有首次積分或者是否可積[1-2]. Ziglin[3-4]基于沿積分曲線變分方程(NVE)單值群的性質, 給出了2n維復解析Hamilton系統(tǒng)具有n個函數獨立的亞純首次積分的必要條件, 該結果可用于研究兩個自由度Hamilton系統(tǒng)的Liouville不可積性, 例如： Toda晶格Hamilton系統(tǒng)[5]、J2問題[6]和Kepler問題[7]等. Morales-Ruiz等[8]利用微分Galois理論[9]對文獻[3-4]的結果進行延伸, 通過取代變分方程的單值群考慮微分Galois群, 得到了非線性Hamilton系統(tǒng)Liouville可積的更強必要條件, 即Morales-Ramis理論[8]. 該理論在數學、 物理、 天文學等領域應用廣泛, 其中兩個重要結果是平面三體問題[10]和希爾月球問題[11]被證明在Liouville意義下是不可積的. 同時, Morales-Ramis理論也可用于研究非Hamilton系統(tǒng)亞純首次積分的存在性[12-13].

本文考慮如下具Marta勢能的Hamilton系統(tǒng)[14]的Liouville可積性:

(1)

具Marta勢能的Hamilton系統(tǒng)與經典的Henon-Heiles Hamilton系統(tǒng)相似, 但與之相比, 系統(tǒng)(1)的對稱更少. 文獻[14]數值模擬顯示, Marta Hamilton系統(tǒng)出現混沌現象, 具有很復雜的動力學行為. 本文從不可積性的角度考慮該系統(tǒng)的拓撲結構.

1 預備知識

首先簡要介紹Morales-Ramis理論. 考慮如下復動力系統(tǒng):

(2)

假設該系統(tǒng)有一個特解φ(t), 在局部坐標t下, 該解的最大解析延拓定義了一個Riemann曲面Γ, 沿著該解的變分方程有如下形式:

(3)

其中TΓM是TM限制在Γ上的切叢. 如果系統(tǒng)是一個2n維的Hamilton系統(tǒng), 則其變分方程可約化為2(n-1)維的系統(tǒng), 即法向變分方程為

(4)

由于系統(tǒng)(4)是線性系統(tǒng), 因此, 可以考慮該系統(tǒng)的微分Galois群. 微分Galois群是作用在系統(tǒng)(4)解上的矩陣群, 并且不改變解的多項式關系[8]. 同時, 它也是線性代數群. 對于2n維的Hamilton系統(tǒng), 法向變分方程的微分Galois群是Sp(2(m-1),)的子群. 該群中, 包含單位元的最大連通子集, 稱為該群的單位連通分支. 在Morales-Ramis理論中, Hamilton系統(tǒng)Liouville可積性的必要條件由單位連通分支的性質給出.

定理1[9]假設復解析Hamilton系統(tǒng)(2)在解曲線Γ的某鄰域內是亞純Liouville可積的, 則沿著該解法向變分方程的微分Galois群的單位連通分支是可交換的.

定理1是研究Hamilton系統(tǒng)不可積性的主要工具. 為了應用定理1, 需要找到系統(tǒng)的一個特解, 計算出沿著該解的法向變分方程, 并研究相應單位連通分支的可交換性. 但計算一個給定線性微分系統(tǒng)的Galois群十分困難. 對于二階線性微分方程, 文獻[15]給出了相應較完整的算法計算其Galois群, 并給出了二階有理系數線性方程Galois群的分類.

引理1[15]具有理函數系數的二階約化線性方程

(5)

的微分Galois群是SL(2,)的代數子群, 并且滿足如下情形之一：

情形1) G共軛于一個上三角子群；

情形3) G是有限群, 且情形1),2)均不成立；

情形4) G=SL(2,).

引理2[15]引理1中前3種情形成立的必要條件分別是:

情形1)r(z)的每個極點或者階數是偶數, 或者階數大于2;r(z)在無窮遠點的階數或者是偶數, 或者大于2;

情形2)r(z)至少有一個極點的階數是大于2的奇數或者是2;

Kovacic[15]給出了判斷線性方程(5)的微分Galois群屬于引理1中哪一種情形的完整算法.

2 主要結果

定理2具Marta勢能的Hamilton系統(tǒng)(1)在Liouville意義下不是亞純可積的.

證明： 具Marta勢能的Hamilton系統(tǒng)(1)對應的運動方程為

(6)

由于超平面N={(x,y,px,py)|x=px=0}是系統(tǒng)(6)的不變流形, 因此在不變流形N上, 系統(tǒng)(6)可約化為線性Hamilton系統(tǒng)

(7)

易見,

是系統(tǒng)(6)位于流形N上的一個周期解. 沿解曲線Γ的變分方程為

(8)

注意到特解Γ在超平面N上, 由此可得系統(tǒng)(8)的一個子系統(tǒng), 即沿解曲線Γ的法向變分方程

(9)

方程(9)等價于如下二階線性微分方程：

(10)

方程(10)可變?yōu)?/p>

+b(z)ξ1,

(11)

(12)

其中

下面利用Kovacic算法, 證明方程(12)的微分Galois群是SL(2,). 事實上r(z)有兩個極點:z=1和z=-1, 階數都是2,r(z)在無窮遠點的階數是1. 因此由引理2知, 方程(12)的微分Galois群只能是情形2)或者情形4). 記集合E1={2,1,3},E-1={2,1,3},E∞={1}. 則對任意的e1∈E1,e-1∈E-1和e∞∈E∞, 有d∶=e∞-e1-e-1≤1-1-1<0, 表明引理1的情形2)不成立, 因此方程(12)的微分Galois群是SL(2,).

假設Hamilton系統(tǒng)(6)在Liouville意義下是亞純可積的. 由定理1知, 法向變分方程(9)的微分Galois群的單位連通分支是可交換的. 因此, 方程(11)的微分Galois群的單位連通分支是可交換的, 也是可解群. 另一方面, 方程(12)的微分Galois群與方程(11)的微分Galois群的單位連通分支不一定同構, 但具有相同的可解性. 所以, 方程(12)的微分Galois群的單位連通分支是可解群. 但代數群SL(2,)的單位連通分支是其本身, 并且SL(2,)不是可解群, 矛盾, 假設不成立, 結論得證.