李曉玉, 勇鑫蕾, 陶元紅

(延邊大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

目前, 關(guān)于宇稱-時(shí)間(PT)對(duì)稱量子理論[1]的研究已取得很多成果[2-10]. 經(jīng)典量子力學(xué)中可觀測(cè)量由Hermite算子表示, 封閉系統(tǒng)的演化由幺正算子約束, 在PT對(duì)稱量子力學(xué)中, 算子滿足電荷正負(fù)、 宇稱和時(shí)間(CPT)反演對(duì)稱條件. 由于CPT對(duì)稱條件在經(jīng)典量子理論中是Hermite條件, 因此CPT對(duì)稱條件是Hermite條件的推廣. 量子糾纏在量子信息處理和量子通信中應(yīng)用廣泛. 文獻(xiàn)[10]在PT對(duì)稱量子理論中給出了CPT糾纏的定義, 并討論了經(jīng)典EPR態(tài)在PT對(duì)稱量子理論下的CPT糾纏度, 證明了EPR態(tài)在PT對(duì)稱量子理論下不再是最大糾纏態(tài). 本文討論P(yáng)T對(duì)稱量子理論中Bell態(tài)的經(jīng)典糾纏問(wèn)題, 并對(duì)比PT對(duì)稱量子態(tài)在兩種量子系統(tǒng)下的糾纏變化.

1 PT對(duì)稱量子理論中的CPT內(nèi)積與量子態(tài)

文獻(xiàn)[5]在PT對(duì)稱量子理論中討論了如下2×2的Hamilton算子：

(1)

(2)

二維PT對(duì)稱量子理論中向量|ψ〉的CPT轉(zhuǎn)置共軛定義[5]為

〈ψ|CPT=[(CPT)|ψ〉]T,

(3)

其中T表示矩陣的轉(zhuǎn)置, 進(jìn)而2個(gè)向量|ψ〉和|φ〉的CPT內(nèi)積[10]定義為

〈ψ|φ〉CPT=[(CPT)|ψ〉]T·|φ〉,

(4)

其中

(5)

顯然, 式(2)中的態(tài)滿足：

〈ψ±|ψ±〉CPT=1, 〈ψ±|ψ?〉CPT=0,

于是可設(shè)

|0CPT〉=|ψ+〉, |1CPT〉=|ψ-〉.

考慮PT對(duì)稱Hamilton算子(1)的兩體量子系統(tǒng)H1?H2, 該復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)將處在由聯(lián)合基{|0CPT〉?|0CPT〉,|0CPT〉?|1CPT〉,|1CPT〉?|0CPT〉,|1CPT〉?|1CPT〉}張成的4維Hilbert空間H1?H2中. 任意一個(gè)雙PT量子態(tài)|Ψ〉∈H1?H2可展開(kāi)為

|Ψ〉=a|0CPT〉?|0CPT〉+b|0CPT〉?|1CPT〉+c|1CPT〉?|0CPT〉+d|1CPT〉?|1CPT〉,

(6)

其中a,b,c,d均為復(fù)數(shù), 且

對(duì)任意兩個(gè)向量|Ψ〉,|Φ〉∈H1?H2, 它們之間的CPT內(nèi)積[10]定義為

〈Ψ|Φ〉CPT=[(CPT)?(CPT)|Ψ〉]T·|Φ〉.

(7)

定義1[10]若兩體復(fù)合系統(tǒng)H1?H2的純態(tài)|Ψ〉不能寫成|φ〉1?|φ〉2形式, 其中: |φ〉1∈H1; |φ〉2∈H2. 則稱態(tài)|Ψ〉為糾纏態(tài).

顯然, 若復(fù)振幅a,b,c,d取一般值, 則式(6)中的兩體PT量子態(tài)|Ψ〉∈H1?H2是一個(gè)糾纏態(tài).

2 經(jīng)典量子理論中的糾纏及其度量

設(shè)|Ψ12〉為兩體量子系統(tǒng)H1?H2中的純態(tài), 其經(jīng)典密度算子為

ρ12=|Ψ12〉〈Ψ12|,

(8)

約化密度算子分別定義為

ρ1=tr2ρ12,ρ2=tr1ρ12,

(9)

其中tri為偏跡算子.

對(duì)兩體復(fù)合系統(tǒng)H1?H2的純態(tài)|Ψ12〉, 可以量化其糾纏度量, 由任何一個(gè)子系統(tǒng)上約化密度矩陣的熵定義, 即

E(|Ψ12〉)=-tr(ρ1logρ1)=-tr(ρ2logρ2),

(10)

顯然0≤E(|Ψ12〉)≤1. 當(dāng)E(|Ψ12〉)=0時(shí), |Ψ12〉是可分態(tài). 當(dāng)各子系統(tǒng)的密度矩陣為常數(shù)倍的單位矩陣時(shí),E(|Ψ12〉)=1, 此時(shí)稱|Ψ12〉為最大糾纏態(tài).

文獻(xiàn)[10]定義了兩體復(fù)合系統(tǒng)中PT對(duì)稱量子態(tài)的糾纏度量.

3 PT對(duì)稱Bell態(tài)的Hermite糾纏分析

類似經(jīng)典量子理論中Bell態(tài), 可定義如下4個(gè)PT對(duì)稱Bell態(tài)：

(11)

按照文獻(xiàn)[10]的糾纏度定義, 它們均為CPT內(nèi)積下的最大糾纏態(tài). 式(11)中4個(gè)態(tài)的矩陣分別表示為：

由于CPT內(nèi)積與Hermite內(nèi)積不同, 因此對(duì)上述4個(gè)PT對(duì)稱Bell態(tài)的經(jīng)典糾纏進(jìn)行分析, 應(yīng)先討論其是否為經(jīng)典量子態(tài). 易得|Φ-〉和|Ψ-〉的普通范數(shù)為1, 即為經(jīng)典量子態(tài), 可以計(jì)算其經(jīng)典糾纏度. 由于|Φ+〉和|Ψ+〉的普通范數(shù)為

不再總是經(jīng)典量子態(tài), 無(wú)法直接計(jì)算其經(jīng)典糾纏度. 因此, 先將|Φ+〉和|Ψ+〉在Hermite內(nèi)積下進(jìn)行規(guī)范化, 變?yōu)槿缦陆?jīng)典量子態(tài)：

其中*表示轉(zhuǎn)置共軛. 于是可求得

(14)

(15)

其約化密度矩陣為

(17)

對(duì)應(yīng)的特征方程為

(18)

即

特征值為

(19)

于是, 經(jīng)典糾纏度為

(21)

易得其他2個(gè)PT對(duì)稱Bell態(tài)|Φ-〉和|Ψ-〉在Hermite內(nèi)積下的約化密度矩陣均為