成華麗 成鴻飛

（1.浙江大學(xué)工業(yè)技術(shù)轉(zhuǎn)化研究院，浙江 杭州 310007；2.國(guó)信證券股份有限公司，廣東 深圳 518001）

一、引言

隨著2015年2月9日上海證券交易所開(kāi)展上證50ETF期權(quán)交易，標(biāo)志我國(guó)期權(quán)業(yè)務(wù)全面覆蓋了場(chǎng)內(nèi)期權(quán)和場(chǎng)外期權(quán)。場(chǎng)外期權(quán)在場(chǎng)外通過(guò)詢價(jià)成交其掛鉤標(biāo)的、期權(quán)結(jié)構(gòu)都呈現(xiàn)定制化和復(fù)雜化的特點(diǎn)，場(chǎng)內(nèi)期權(quán)通過(guò)大券商在交易所做市的方式提供流動(dòng)性。相比而言，場(chǎng)內(nèi)期權(quán)具有更好的流動(dòng)性和更大交易量，通過(guò)對(duì)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)的波動(dòng)率曲面建模以動(dòng)態(tài)監(jiān)控期權(quán)持倉(cāng)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)投資組合管理有重要意義。

在金融市場(chǎng)里，投資者最常用的波動(dòng)率是統(tǒng)計(jì)學(xué)里標(biāo)準(zhǔn)差，以此來(lái)計(jì)算歷史股價(jià)上下波動(dòng)的幅度。波動(dòng)率通常被投資者當(dāng)做風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的工具，即一般認(rèn)為波動(dòng)越大風(fēng)險(xiǎn)越大。1973年Black F，ScholesM等提出期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes模型后，波動(dòng)率被賦予了新的意義，交易期權(quán)本質(zhì)上就是在交易波動(dòng)率。而隱含波動(dòng)率就是通過(guò)將期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格代入Black-Scholes模型反推出的波動(dòng)率，因此也被認(rèn)為是市場(chǎng)交易出來(lái)的對(duì)該期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)期。建立隱含波動(dòng)率曲面不僅可以直觀比較隱含波動(dòng)率與行權(quán)價(jià)和期限之間的數(shù)量關(guān)系，也能對(duì)套利策略、組合敞口管理和場(chǎng)外期權(quán)定價(jià)提供指導(dǎo)。

其中關(guān)于隱含波動(dòng)率曲面的建立一般認(rèn)為包括參數(shù)法和非參數(shù)法。參數(shù)法建模使用確定的參數(shù)模型來(lái)計(jì)算隱含波動(dòng)率，隱含波動(dòng)率作為期權(quán)在值程度、期限的確定性函數(shù)。例如Dupir,B提出的局部波動(dòng)率模型[1]，Dumas,B提出的多項(xiàng)式參數(shù)模型等[2]。而非參數(shù)法不建立隱含波動(dòng)率的確定性參數(shù)模型，而是基于期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格得到的離散數(shù)據(jù)，應(yīng)用插值、平滑等技術(shù)方法估計(jì)完整的隱含波動(dòng)率曲面。例如毛娟等使用非參數(shù)擬合方法，對(duì)S&P500指數(shù)期權(quán)的波動(dòng)率曲面進(jìn)行研究[3]。本文使用一種非參數(shù)多項(xiàng)式建模方法，旨在提供實(shí)操層面管理投資組合波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)，并隨著每日收盤(pán)價(jià)格動(dòng)態(tài)調(diào)整曲面形態(tài)，以實(shí)時(shí)跟蹤持倉(cāng)的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。

二、數(shù)據(jù)處理和建模方法

本部分我們將介紹建模方法，現(xiàn)有的研究表明在構(gòu)建隱含波動(dòng)率曲面中使用流動(dòng)性較好的的價(jià)外期權(quán)對(duì)于波動(dòng)率曲面的形態(tài)更為接近交易員的需要，尤其是在外匯期權(quán)中。但是對(duì)于50ETF場(chǎng)內(nèi)權(quán)益期權(quán)，合約流動(dòng)性的規(guī)律并不明顯，因此國(guó)內(nèi)針對(duì)50ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)的研究主張使用成交量加權(quán)的期權(quán)價(jià)值估計(jì)方法[4]。

由上式期權(quán)平價(jià)理論認(rèn)為看漲期權(quán)價(jià)值C和看跌期權(quán)P之間可以相互換算，因此在建立隱含波動(dòng)率曲面時(shí)候通過(guò)平價(jià)公式統(tǒng)一全部換算后使用看漲期權(quán)來(lái)建模。但是在業(yè)界實(shí)操層面交易員還是有分開(kāi)處理看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率曲面及看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率曲面。例如在期權(quán)做市和衍生品套利金融工程軟件Orc Trader Software中使用Volatility Manager同時(shí)對(duì)看漲期權(quán)及看跌期權(quán)的波動(dòng)率的偏斜和期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。本文在數(shù)據(jù)處理時(shí)選取2017年5月16號(hào)上證50ETF的交易持倉(cāng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并區(qū)別處理看漲和看跌期權(quán)的波動(dòng)率曲面。

一份期權(quán)合約的價(jià)值包括內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值，而隱含波動(dòng)率通過(guò)將期權(quán)在交易所的市場(chǎng)價(jià)格代入Black-Scholes公式反推出的波動(dòng)率，而并非所有交易所交易的樣本期權(quán)都有隱含波動(dòng)率。根據(jù)BSM公式，期權(quán)價(jià)格和波動(dòng)率存在單調(diào)遞增的函數(shù)關(guān)系，由于波動(dòng)率最小值只可能為0因此對(duì)于期權(quán)價(jià)格存在一個(gè)最低理論價(jià)格。當(dāng)波動(dòng)率等于0時(shí)我們根據(jù)BSM公式分別計(jì)算出看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的最低理論價(jià)格：

那么顯然當(dāng)期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格比最低理論價(jià)格小時(shí)，此時(shí)期權(quán)無(wú)隱含波動(dòng)率，對(duì)于此類樣本我們?cè)跇?gòu)建波動(dòng)率曲面時(shí)需要進(jìn)行剔除。如表1對(duì)于某50ETF期權(quán)做市商的部分看漲期權(quán)持倉(cāng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，當(dāng)期權(quán)交易出來(lái)的市場(chǎng)價(jià)格比最低理論價(jià)格還要低時(shí)候此時(shí)無(wú)法按照BSM公式計(jì)算其隱含波動(dòng)率。由式3可知看跌期權(quán)的最低理論價(jià)值小于其內(nèi)在價(jià)值K-S，故即使看跌期權(quán)的交易價(jià)格小于內(nèi)在價(jià)值（當(dāng)內(nèi)在價(jià)值為負(fù)時(shí)比較其絕對(duì)值）也未必就小于最低理論價(jià)格，實(shí)證中發(fā)現(xiàn)該做市商的看跌期權(quán)持倉(cāng)數(shù)據(jù)均可以計(jì)算出隱含波動(dòng)率。

表1 2017年5月16號(hào)50ETF看漲期權(quán)部分持倉(cāng)數(shù)據(jù)分析

本文以看跌期權(quán)為例，對(duì)同一年化到期日的期權(quán)波動(dòng)率進(jìn)行多項(xiàng)式插值。對(duì)于給定n+1個(gè)相異節(jié)點(diǎn)，以及n+1個(gè)函數(shù)值，存在唯一的n次多項(xiàng)式滿足插值條件

本文的目標(biāo)是基于上述樣本觀察點(diǎn)，估計(jì)出期權(quán)價(jià)值關(guān)于行權(quán)價(jià)和合約期限的連續(xù)曲面，從而可以確定該曲面上任何一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率。因此在按照50ETF期權(quán)不同年化到期日使用多項(xiàng)式插值形成了波動(dòng)率微笑曲線后，還需要對(duì)到期日進(jìn)行插值形成波動(dòng)率曲面。最后通過(guò)對(duì)每個(gè)交易日的交易數(shù)據(jù)和市場(chǎng)數(shù)據(jù)形成的時(shí)間序列輸入到模型中即可以建立每日動(dòng)態(tài)變化的隱含波動(dòng)率曲面。

本文選取了2017年5月16日某做市商全部50ETF期權(quán)合約收盤(pán)價(jià)格、合約行權(quán)價(jià)、到期日等期權(quán)合約基本條款信息，50ETF指數(shù)標(biāo)的收盤(pán)價(jià)格和市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率曲線等市場(chǎng)數(shù)據(jù)信息。根據(jù)行業(yè)慣例選取中債國(guó)債收益率曲線作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率曲線，按照中債收益率曲線使用Hermite插值算法對(duì)非樣本點(diǎn)進(jìn)行插值。樣本包含該日有效看漲期權(quán)合約40個(gè)，看跌期權(quán)合約41個(gè)，全部期權(quán)合約的年化到期日為

0.02192、0.1178、0.3671、0.6164。采用 EWMA 指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均算法計(jì)算出期權(quán)標(biāo)的50ETF指數(shù)年化歷史波動(dòng)率為0.07565。

圖1 中債國(guó)債收益率曲線

三、隱含波動(dòng)率曲面的實(shí)證分析及定價(jià)應(yīng)用

根據(jù)本文介紹的樣本數(shù)據(jù)篩選規(guī)則從樣本合約中剔除22個(gè)看漲期權(quán)樣本合約，以建立看跌期權(quán)隱含波動(dòng)率曲面為例選取了41個(gè)樣本數(shù)據(jù)?；跇颖竞霞s的收盤(pán)市場(chǎng)價(jià)格、相應(yīng)年化到期日期限的在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率曲線上的抽樣無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、根據(jù)Black-Scholes模型使用牛頓二分法迭代計(jì)算各個(gè)樣本數(shù)據(jù)的隱含波動(dòng)率。樣本期權(quán)的平價(jià)為2.379，使用多項(xiàng)式插值方法建立波動(dòng)率微笑曲線。

圖2 看跌期權(quán)合約隱含波動(dòng)率曲線

圖2粗略呈現(xiàn)了隱含波動(dòng)率的基本特征，首先對(duì)于同一個(gè)期限的不同行權(quán)價(jià)，呈現(xiàn)明顯的波動(dòng)率微笑特點(diǎn)且右傾，即實(shí)值看跌期權(quán)行權(quán)價(jià)越大波動(dòng)率越大；其次對(duì)比不同到期期限來(lái)看隨著期權(quán)到期日逼近，近月合約的波動(dòng)率整體都高于遠(yuǎn)月合約，這體現(xiàn)了50ETF歐式期權(quán)臨近行權(quán)時(shí)市場(chǎng)交投活躍情緒激烈。結(jié)合不同年化到期日的樣本數(shù)據(jù)，我們可以建立觀察日隱含波動(dòng)率曲面。

圖3 看跌期權(quán)合約隱含波動(dòng)率曲面

如圖3所示，基于多項(xiàng)式插值模型構(gòu)造的隱含波動(dòng)率曲面基本反映了市場(chǎng)交易特征。在觀察日2017年5月16日，樣本合約的隱含波動(dòng)率水平與行權(quán)價(jià)之間具有明顯的右偏斜和波動(dòng)率微笑規(guī)律，且期權(quán)越臨近到期日其偏斜和波動(dòng)率微笑程度越明顯，曲面斜率在短期限上更陡峭，而在長(zhǎng)期限上更平坦。

本文以場(chǎng)外市場(chǎng)期權(quán)為例說(shuō)明由場(chǎng)內(nèi)期權(quán)交易出的隱含波動(dòng)率曲面用于定價(jià)的實(shí)際應(yīng)用。場(chǎng)外期權(quán)是機(jī)構(gòu)間在場(chǎng)外市場(chǎng)成交的掛鉤權(quán)益、外匯、利率等標(biāo)的各種期權(quán)交易。如下表為場(chǎng)外市場(chǎng)常見(jiàn)的掛鉤權(quán)益標(biāo)的的障礙期權(quán)交易條款。障礙看漲期權(quán)又稱為看漲鯊魚(yú)鰭，期權(quán)的觸碰價(jià)一般為美式觀察存續(xù)期間如果敲出則期權(quán)買方享受敲出收益Rebate比率，如果未敲出則結(jié)算日作為歐式期權(quán)享受行權(quán)收益。

顯然看漲鯊魚(yú)鰭是一種典型的非線性奇異期權(quán)，在沒(méi)有解析解的情況下我們考慮使用蒙特卡洛定價(jià)法。蒙特卡洛方法是一種隨機(jī)模擬方法，通過(guò)生成服從特定分布的隨機(jī)數(shù)來(lái)估計(jì)一些統(tǒng)計(jì)參數(shù)。在Black-Scholes模型假設(shè)下，若標(biāo)的資產(chǎn)的起始價(jià)格為S0，那么標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t的價(jià)格為，其中N為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。據(jù)此，通過(guò)蒙特卡洛模擬生成n個(gè)樣本S1,S2,…,Sn,則期權(quán)價(jià)值p可由如下式估計(jì)

使用蒙特卡洛方法輸入?yún)?shù)中的波動(dòng)率參數(shù)我們可以使用50ETF期權(quán)的年化歷史波動(dòng)率為0.07565，在建立了隱含波動(dòng)率曲面后我們根據(jù)插值結(jié)果選取行權(quán)價(jià)2.474，年化到期期限0.252處的的隱含波動(dòng)率為0.1308.因?yàn)闅v史波動(dòng)率只是從50ETF指數(shù)本身的波動(dòng)情況，而沒(méi)有考慮市場(chǎng)買賣雙方在不同行權(quán)價(jià)和到期期限的交易力量和情緒，很可能會(huì)低估期權(quán)價(jià)值。

四、結(jié)論

隱含波動(dòng)率模型是一種基于市場(chǎng)交易活動(dòng)的波動(dòng)率模型，由于包含了實(shí)時(shí)的市場(chǎng)信息更加受到交易員認(rèn)可。隨著國(guó)內(nèi)外波動(dòng)率交易的工具的增加，上證50ETF場(chǎng)內(nèi)期權(quán)和各自權(quán)益類場(chǎng)外期權(quán)逐漸成為金融市場(chǎng)波動(dòng)率交易的工具。本文介紹了一種供實(shí)操層面使用的非參數(shù)多項(xiàng)式插值的隱含波動(dòng)率建模方法，對(duì)上海證券交易所的50ETF期權(quán)進(jìn)行實(shí)證分析以為做市商和場(chǎng)外期權(quán)報(bào)價(jià)機(jī)構(gòu)提供對(duì)期權(quán)標(biāo)的隱含波動(dòng)率曲面進(jìn)行分析定價(jià)。未來(lái)后續(xù)的研究，需要考慮如何解決指數(shù)期權(quán)標(biāo)的合約樣本少的問(wèn)題，以及部分期權(quán)合約報(bào)價(jià)交投不活躍的情況以針對(duì)性的設(shè)置權(quán)重。