嚴(yán) 卿，黃友初，羅玉華，陳 昊，喻 平

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初中生邏輯推理的測驗(yàn)研究

嚴(yán) 卿1，黃友初1，2，羅玉華3，陳 昊4，喻 平1

（1．南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210097；2．上海師范大學(xué) 教育學(xué)院，上海 200235；3．江蘇第二師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210013；4．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241）

基于邏輯學(xué)對于推理的分類以及心理學(xué)關(guān)于推理能力的研究成果，對國內(nèi)外的邏輯推理評價研究進(jìn)行梳理，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)，提出一個測量初中生邏輯推理能力的框架，據(jù)此編制測驗(yàn)題．測驗(yàn)兼顧推理的形式與內(nèi)容兩方面．通過探索性因素分析檢驗(yàn)測驗(yàn)的結(jié)構(gòu)效度并進(jìn)行修訂，修訂后的維度包括簡單推理、選言推理、命題演算、假言推理、合情推理，其中前4個同屬演繹推理．測驗(yàn)具有較好的結(jié)構(gòu)效度和信度．

邏輯推理；數(shù)學(xué)命題；核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“2017版標(biāo)準(zhǔn)”）中提出了6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析．按照教育部的要求，要以這些核心素養(yǎng)為主線，貫穿于整個課程、教材和教學(xué)之中．于是，如何評價學(xué)生的核心素養(yǎng)，如何考察學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，就成了迫切需要研究的課題．

1 問題提出

其實(shí)，6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是6種數(shù)學(xué)能力或者說關(guān)鍵能力，因而需按照能力研究的思路和方法，對其評價進(jìn)行探究．這里僅探討6個關(guān)鍵能力中的邏輯推理．

“2017版標(biāo)準(zhǔn)”中對其的定義為：“邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其它命題的素養(yǎng)．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹．”[1]對于邏輯推理的概念，存在著不同看法．在邏輯學(xué)中，推理是“由一個或一組命題（前提）推出另一個命題（結(jié)論）的思維形式”，其中“邏輯推理是保持真值的推理”[2]，即認(rèn)為邏輯推理特指演繹推理．實(shí)際上，“2017版標(biāo)準(zhǔn)”中的“邏輯”一詞強(qiáng)調(diào)的是在推理過程中“關(guān)系”和“性質(zhì)”的傳遞[3]，而非“正確性”和“有效性”．這樣的定義雖然不同于傳統(tǒng)的理解，但是深化了對歸納、類比推理中所蘊(yùn)含規(guī)則的認(rèn)識，抓住了其與演繹推理的共性．此外，雖然邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)中都會用到“邏輯推理”一詞，但形式邏輯中關(guān)心的是“推理形式是否合乎邏輯規(guī)則”[4]，而在數(shù)學(xué)背景下討論邏輯推理，則需要兼顧兩方面：內(nèi)容上的數(shù)學(xué)命題，形式上的邏輯規(guī)則．

推理能力一直是心理學(xué)關(guān)注的問題，研究集中在三段論、假言推理、選言推理等演繹推理上[5]，研究方法主要采用測量，量表的內(nèi)容是針對一般的推理而很少涉及數(shù)學(xué)知識．演繹推理的進(jìn)一步研究涉及心理模型理論和腦機(jī)制研究[6–7]．

綜觀數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中推理的評價研究，簡單而言可以分為兩類．一類研究將推理能力發(fā)展水平作為基本框架，為此設(shè)計(jì)出不同復(fù)雜程度的測試題用于評價，區(qū)分復(fù)雜程度的標(biāo)準(zhǔn)往往是解決問題時需要用到的推理的次數(shù)；另一類研究則首先依據(jù)推理類型進(jìn)行分類，進(jìn)而設(shè)計(jì)不同類型的問題．雖然有的研究兼具這兩個方面，但往往對其中之一更加側(cè)重．實(shí)際上，這反映了評價推理能力的兩種傾向——前者側(cè)重于運(yùn)用推理解決問題的能力，使用的問題更接近于通常意義上的數(shù)學(xué)題（典型的例如證明題），往往需要運(yùn)用多次推理，但并不關(guān)注推理的具體邏輯形式；后者對推理的考查更直接、具體，關(guān)注推理的不同邏輯形式間的差異，或?qū)W生對某一具體邏輯形式的理解，類似于心理學(xué)的研究模式．這一區(qū)分在演繹、歸納、類比推理的評價研究中都有所體現(xiàn)．

在對演繹推理能力的研究中，克魯捷茨基使用了“證明題”“要求理解和邏輯推理的題目”等題型[8]；Senk研究了美國中學(xué)生在幾何證明中的演繹推理能力[9]；Peressini等建立了一個4步驟框架，用來評價學(xué)生在解答熟悉的現(xiàn)實(shí)背景問題時表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)推理能力[10]．另一方面，Hoyles和Küchemann考察了學(xué)生對假言命題的認(rèn)識、對假言推理的直接運(yùn)用以及對假言命題的證明（證偽）[11]；美國全國教育進(jìn)展評估項(xiàng)目（NAEP）中，包括了選擇給定命題的反例、對于公理和定理的理解、現(xiàn)實(shí)背景的邏輯問題等[12]；Jansson研究了初中生在假言命題、選言命題、聯(lián)言命題、否命題等不同邏輯形式的任務(wù)上發(fā)展的先后層級[13]．

對于歸納推理，林崇德將小學(xué)運(yùn)算中歸納推理能力區(qū)分為直接歸納和間接歸納推理[14]．類似的，田中等將歸納推理劃分為一步推理和二步推理[15]．顯然，這些都并未深入考察歸納推理的具體形式，而更看重在解決不同復(fù)雜程度問題時運(yùn)用歸納推理的能力．另一些研究則對歸納推理的形式進(jìn)行了細(xì)致的劃分．例如Christou等把歸納推理區(qū)分為2種類型（屬性歸納和關(guān)系歸納）和3種過程（識別相似性、識別差異性以及綜合）[16]；Radford指出應(yīng)當(dāng)區(qū)分嘗試錯誤型的歸納和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的歸納[17]．此外，有的研究采取了縱向的劃分．Styliandes把歸納推理的過程區(qū)分為了兩個階段[18]：識別模式和提出猜想，前者只需符合所給的有限信息，是絕對正確的；后者則超越了給定信息，是一種推測，有待驗(yàn)證．武錫環(huán)、李祥兆按照歸納推理的認(rèn)知過程劃分為信息表征、歸納識別、形成猜想、假設(shè)檢驗(yàn)4個階段，并以此為框架編制測驗(yàn)[19]．

對于類比推理的評價，常用的問題形式有兩種：問題解決中的類比、經(jīng)典類比問題．前者需要被試在原問題和靶問題的結(jié)構(gòu)間建立一種聯(lián)系，利用對原問題的理解來解決靶問題，后者指形如A︰B︰︰C︰D（例如樹︰樹枝︰︰身體︰胳膊）的問題[20]．顯然，這一區(qū)分同演繹推理、歸納推理中的區(qū)分十分相近．Alexander等使用經(jīng)典類比問題構(gòu)造了類比推理測驗(yàn)，并用于研究類比推理和數(shù)學(xué)推理間的關(guān)系[20]．

總結(jié)已有研究，可以發(fā)現(xiàn)幾個問題．第一，心理學(xué)的研究比較成熟，研究方法規(guī)范，但是研究范圍主要是一般的推理而不太關(guān)注數(shù)學(xué)中的邏輯推理；第二，數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?qū)壿嬐评淼脑u價研究中，很少看到測量工具的詳細(xì)編制過程，而且許多研究的樣本數(shù)量偏??；第三，許多智力測驗(yàn)量表都是把邏輯推理作為子量表，例如韋克斯勒量表、斯坦?！燃{量表等，缺少專門針對初中生邏輯推理的測驗(yàn)量表．

遵循推理評價研究的兩種基本傾向，具體的研究思路如下．第一，編制一套測量初中3個年級邏輯推理的工具，這個工具偏重測量學(xué)生的形式邏輯思維，涉及的數(shù)學(xué)知識不超出初一教材水平，記為測驗(yàn)A．這個測驗(yàn)可用于初中生（數(shù)學(xué)背景中）邏輯推理的發(fā)展研究．第二，編制初中每個年級的數(shù)學(xué)推理測驗(yàn)B1、B2、B3，這3套測驗(yàn)題分別以本年級的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)編制，偏重于考察邏輯推理在數(shù)學(xué)問題解決中的運(yùn)用，故使用“數(shù)學(xué)推理”以示區(qū)別，分為知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新3級水平[21]，在關(guān)鍵能力層面考察每個年級學(xué)生的數(shù)學(xué)推理水平．第三，考察測驗(yàn)A與測驗(yàn)B1、B2、B3之間的關(guān)系，即學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)推理的關(guān)系．這里只研究測驗(yàn)A．

2 測題編制

2.1 因素初步擬定

首先，根據(jù)“2017版標(biāo)準(zhǔn)”的定義，可以將邏輯推理分為從一般到特殊的演繹推理，以及從特殊到一般的歸納、類比推理，即合情推理．這也符合傳統(tǒng)上的分類．

進(jìn)一步地，演繹推理可以區(qū)分為兩個層面——命題與推理．推理由命題組成，能夠推理的前提是理解命題，命題的不同也決定了推理類型的不同．命題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中廣泛存在，概念、定理是命題，證明題即是解釋一個命題何以為真．結(jié)合形式邏輯中對命題的分類，這里把命題層面分為簡單命題與復(fù)合命題，前者主要是性質(zhì)命題，后者包括合取式（聯(lián)言命題）、析取式（選言命題）、蘊(yùn)含式（充分條件假言命題）、等值式（充分必要條件假言命題）、否命題（包括簡單命題與復(fù)合命題的否定）5種命題演算．

推理層面維度的選取和命題層面保持一定的對應(yīng)關(guān)系．由簡單命題構(gòu)成的推理是三段論，復(fù)合命題中的析取式構(gòu)成選言推理，蘊(yùn)含式構(gòu)成假言推理，這3種推理組成了推理層面的基本分類．這幾類推理在中學(xué)數(shù)學(xué)中十分常見，同時在心理學(xué)關(guān)于推理的研究中也占據(jù)了重要的位置．進(jìn)一步分析，對簡單命題的考察不可避免涉及性質(zhì)命題的直接推理，這與三段論同樣都是基于性質(zhì)命題的推理，因此將它們納入同一個維度也是合理的，稱為簡單推理．至于合取式構(gòu)成的聯(lián)言推理，其推理形式和對應(yīng)的命題演算形式差別極小，因此不再另作考慮．

對于歸納推理，借鑒Christou等的框架，包括屬性歸納和關(guān)系歸納兩類[16]．對于類比推理，采用評價類比推理的兩種常用問題模式：經(jīng)典類比問題和類比問題解決．

基于以上分析，邏輯推理測驗(yàn)由演繹推理和合情推理兩個分測驗(yàn)組成，其中演繹推理分為簡單推理、命題演算、選言推理、假言推理等4個子測驗(yàn)，合情推理分為歸納推理、類比推理兩個子測驗(yàn)．以上分析的過程本身也顯示出推理形式間復(fù)雜的關(guān)系，這一框架是否合適還依賴于因素分析的檢驗(yàn)．

2.2 編制題項(xiàng)

設(shè)計(jì)題項(xiàng)的內(nèi)容，要考慮問題的知識背景．在心理學(xué)關(guān)于邏輯推理的研究中，問題背景始終是一個重點(diǎn)變量，這反映在很多研究中，這些背景涉及熟悉與不熟悉[22]．具體與抽象，幾何與算術(shù)，與常識沖突的背景，假想背景等[23]．為了使測驗(yàn)?zāi)苓m用于初中3個年級，研究中涉及的數(shù)學(xué)知識不超出初一年級教材的水平．為了探索學(xué)生在解答數(shù)學(xué)背景推理問題時是否存在某種特殊性，作為對照，也考慮設(shè)置現(xiàn)實(shí)背景和不具有意義的符號背景問題．

根據(jù)初步擬定的初中生邏輯推理能力評價框架，在每個維度編制題項(xiàng)．題項(xiàng)的編制參考國內(nèi)外文獻(xiàn)及其中的量表、相關(guān)領(lǐng)域書籍中的典型例題、近年來的中考題等[4，11]，全部采用選擇題的形式．邀請數(shù)學(xué)教育專業(yè)教授、研究生分別對每個維度的題項(xiàng)進(jìn)行討論、篩選，獲得27道題的初始測驗(yàn)．初擬的6個維度題項(xiàng)數(shù)量分別為：簡單推理6道，命題演算6道，選言推理4道，假言推理3道，歸納推理4道，類比推理4道．其中數(shù)學(xué)背景題15道，現(xiàn)實(shí)背景9道，符號背景3道．該測驗(yàn)記為測驗(yàn)1，結(jié)構(gòu)見表1．下面以一道題為例，對所編制的題項(xiàng)進(jìn)行介紹．

例：如果兩個長方形的長與寬分別相等，那么它們的面積相等；現(xiàn)在長方形與長方形的面積相等，則一定有（ ）．

A．它們的長與寬一定分別相等

B．它們的長與寬可能都不相等

C．它們的長一定相等

D．它們的寬一定相等

該題在形式上屬于假言推理，內(nèi)容上涉及長方形面積．正確的（充分條件）假言推理形式有兩種：如果肯定前件就肯定后件，如果否定后件就否定前件，而否定前件或肯定后件都無法做出確定的推理．初中生并沒有接受過形式邏輯的訓(xùn)練，不可能自覺運(yùn)用邏輯規(guī)則得到結(jié)果，因此做出選擇需要依靠數(shù)學(xué)知識，測驗(yàn)中的大多數(shù)數(shù)學(xué)背景問題都具有這一特點(diǎn)．與此同時，邏輯因素也在發(fā)揮著作用．首先，雖然不同于標(biāo)準(zhǔn)的形式邏輯，但初中生擁有一套經(jīng)驗(yàn)的法則，這套法則會影響到他們的判斷，具體到該題中，一些學(xué)生可能會傾向于認(rèn)為“如果肯定后件，就肯定前件”．其次，題干的表述采取的是假言命題的形式，理解假言命題是做出正確選擇的必要條件．從而，測驗(yàn)題考查的既非純粹形式邏輯，也非純粹數(shù)學(xué)知識，而是數(shù)學(xué)知識與邏輯的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中推理的特點(diǎn)，又由于測驗(yàn)中涉及到的數(shù)學(xué)知識比較簡單，更多是反映出學(xué)生形式邏輯方面存在的問題．

評分標(biāo)準(zhǔn)為每題有兩個答案或者每題有兩個括號的，每個答案計(jì)1分；每題只有一個答案的計(jì)2分．

3 測題修訂

3.1 樣本

研究先后調(diào)查了兩組樣本．第1次測試：選擇樣本1為預(yù)測樣本，在江蘇、浙江的兩所初中發(fā)放測試卷222份，刪除空白或有較多題項(xiàng)未作答、回答呈現(xiàn)規(guī)律性的試卷后，回收有效試卷211份．其中初一79份，初二95份，初三37份；樣本中男生110人，女生101人．第2次測試：選擇樣本2為再測樣本，主要來自江西、江蘇兩省中有代表性的3所初中，其中一部分為通過網(wǎng)絡(luò)測試的形式收集的南京地區(qū)樣本．由于樣本2的施測時間正值9月初，考慮到初一學(xué)生剛升學(xué)不久，因此僅在初二、初三年級發(fā)放試卷．回收有效試卷503份，其中初二236份，初三267份；樣本中男生246人，女生257人．

3.2 數(shù)據(jù)處理

使用SPSS19軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)管理及項(xiàng)目分析、探索性因素分析和信度檢驗(yàn)．

3.3 預(yù)測與修訂原始測驗(yàn)

第一，采用測驗(yàn)1對樣本1進(jìn)行測試，對測試數(shù)據(jù)依次進(jìn)行項(xiàng)目分析與探索性因素分析，刪除10道題后，得到一個5因素的結(jié)構(gòu)．雖然該結(jié)果與理論框架較為一致，但存在一些缺陷．首先，部分因素題項(xiàng)較少．探索性因素分析的結(jié)果一般要求單個因素的題項(xiàng)數(shù)目至少為3，而結(jié)果中的假言推理、歸納推理維度都僅有兩道題．其次，刪除題項(xiàng)數(shù)量偏多，剩余的題項(xiàng)作為一個測驗(yàn)數(shù)量稍顯不足．

由于因素分析的過程主要依靠數(shù)據(jù)驅(qū)動，研究者決定對所刪除的題項(xiàng)重新進(jìn)行審視，判斷這些題項(xiàng)究竟是否存在問題．因此，邀請數(shù)學(xué)教育專業(yè)教授、初中數(shù)學(xué)教師圍繞題項(xiàng)內(nèi)容再次進(jìn)行討論，綜合考慮內(nèi)容的全面性、表述的適切性等因素，在所刪除的10道題中，對4道題進(jìn)行了修改，并重新編制了1道題替換原題項(xiàng)，剩余5道仍然保留．以t8為例，原題干為“如果生物體有生命活動，那么生物體必然有呼吸運(yùn)動；乳酸菌是一種生物，適合在無氧條件下生存．據(jù)此可以推斷（ ）”．該題考查假言推理，但涉及的知識點(diǎn)學(xué)生比較陌生，語言表述脫離日常習(xí)慣，實(shí)際上考查的可能并非推理能力，因此將題干簡化為“如果生物要生存，就需要進(jìn)行呼吸運(yùn)動；乳酸菌是一種生物，可以在無氧條件下生存．根據(jù)以上描述，可以推斷（ ）”．又如，原t20為“觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……根據(jù)上述算式的規(guī)律，請你猜想210的末位數(shù)字”．該題考查學(xué)生的歸納推理，但即便不使用歸納推理，直接計(jì)算也能得出答案，因此將“210”修改為“22017”．修訂后的測驗(yàn)依然有27道題，記作測驗(yàn)2．

第二，采用測驗(yàn)2對樣本2進(jìn)行測試．

3.4 項(xiàng)目分析

對測試2的數(shù)據(jù)進(jìn)行項(xiàng)目分析．首先，作鑒別度分析．依據(jù)總分高低把樣本分為3組，每組各占總?cè)藬?shù)的三分之一．運(yùn)用獨(dú)立樣本檢驗(yàn)，求出高分組和低分組樣本在每道題得分上的均值差異，規(guī)定顯著性水平為0.01．結(jié)果表明：所有題項(xiàng)的差異均達(dá)到顯著水平．其次，作同質(zhì)性檢驗(yàn)．分別計(jì)算每道題與總測驗(yàn)得分、所屬分測驗(yàn)得分的積差相關(guān)系數(shù)，結(jié)果表明：所有題項(xiàng)與總測驗(yàn)及所屬分測驗(yàn)得分都在0.01的顯著水平上相關(guān)，從而保留全部題項(xiàng)．

3.5 效度分析

3.5.1 結(jié)構(gòu)效度

結(jié)構(gòu)效度指能夠測量出理論的特質(zhì)的程度．對測驗(yàn)進(jìn)行探索性因素分析，可以抽取測驗(yàn)的共同因素，通過與理論建構(gòu)的維度比較，達(dá)到檢驗(yàn)測驗(yàn)結(jié)構(gòu)效度的目的．由于演繹推理與合情推理的劃分在理論上已十分明確，因此分別對這兩個分測驗(yàn)進(jìn)行探索性因素分析．

（1）演繹推理分測驗(yàn)的探索性因素分析．

首先，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)取樣適當(dāng)性指標(biāo)為0.926，Bartlett球形度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2=2?810.696，=0.000，數(shù)據(jù)非常適合進(jìn)行因素分析．其次，采用主成分分析法提取因素，考慮到預(yù)設(shè)的維度之間具有相關(guān)性，選擇斜交旋轉(zhuǎn)法對因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若規(guī)定基于特征值提取因素，按照特征值大于1的標(biāo)準(zhǔn)，只能提取3個因子，解釋變異量46.1%．另一方面，因素?cái)?shù)量的選擇也要考慮到解釋變異量的百分比以及自身的理論建構(gòu)[24]．結(jié)合理論建構(gòu)與預(yù)測的結(jié)果，固定提取4個因子，再次進(jìn)行探索性因素分析．刪除在兩個及以上因素都有較高負(fù)荷的題項(xiàng)，刪除共同度低于0.3的題項(xiàng)，因此逐個刪除t4、t7、t8、t9等4題．最終保留15題，解釋變異量達(dá)到58.6%，題項(xiàng)的因素負(fù)荷全部大于0.5，共同度基本都大于0.4，詳細(xì)結(jié)果見表2．

對因素進(jìn)行命名．因素1的題項(xiàng)來自選言推理維度，因素2的題項(xiàng)來自命題演算維度，這兩個因素直接沿用維度名稱．因素3中，t1、t2考查的是簡單命題，t3、t5屬于三段論推理，故該因素命名還是用簡單推理．因素4中，t10、t11都來自假言推理維度，t19雖然來自命題演算維度，但考察的是假言命題的否定，歸入假言推理維度中也是合理的．總體而言，探索性因素分析的結(jié)果和預(yù)先建構(gòu)的結(jié)構(gòu)基本一致，說明演繹推理分測驗(yàn)具有較好的結(jié)構(gòu)效度．

表2 演繹推理分測驗(yàn)的探索性因素分析（N=503）

（2）合情推理分測驗(yàn)的探索性因素分析．

取樣適當(dāng)性指標(biāo)為0.851，Bartlett球形度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2=644.779，=0.000，數(shù)據(jù)適合進(jìn)行因素分析．采用主成分分析法提取因素，考慮到預(yù)設(shè)的維度之間具有相關(guān)性，選擇斜交旋轉(zhuǎn)法對因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若規(guī)定基于特征值提取因素，按照特征值大于1的標(biāo)準(zhǔn)，提取1個因子，解釋變異量36.8%．根據(jù)理論框架，合情推理應(yīng)當(dāng)包括歸納和類比推理兩個維度．因此，在固定因子數(shù)量為2的情況下再次嘗試探索性因素分析．結(jié)果顯示在兩個因素中都混合有歸納和類比推理的題項(xiàng)．從而，不再區(qū)分合情推理的兩個維度，并刪除因子載荷及共同度最低的t22，再次進(jìn)行探索性因素分析，解釋變異量提升為39.7%．保留剩余的7道題作為合情推理維度，7道題的因子載荷都接近或大于0.6，表示抽取出的共同因素可以有效反映7個指標(biāo)變量．詳細(xì)結(jié)果見表3．

表3 合情推理分測驗(yàn)的探索性因素分析（N=503）

（3）總測驗(yàn)的結(jié)構(gòu)效度分析．

以上分別檢驗(yàn)了演繹推理與合情推理這兩個分測驗(yàn)的結(jié)構(gòu)效度，接下來運(yùn)用相關(guān)系數(shù)法對二者合并而成的總測驗(yàn)的結(jié)構(gòu)效度進(jìn)行分析．將演繹推理的4個子測驗(yàn)得分相加，得到演繹推理維度分?jǐn)?shù)，并考察各子測驗(yàn)、分測驗(yàn)、總測驗(yàn)之間的相關(guān)系數(shù)，詳細(xì)結(jié)果見表4．可以看出，演繹推理內(nèi)部4個維度間的相關(guān)系數(shù)小于各自與演繹推理間的相關(guān)系數(shù)；演繹推理內(nèi)部4個維度與演繹推理間的相關(guān)系數(shù)，除命題演算略小外，大于各自與總測驗(yàn)的相關(guān)系數(shù)；演繹推理與合情推理間的相關(guān)系數(shù)小于各自與總測驗(yàn)的相關(guān)系數(shù)．從而，總測驗(yàn)具有較好的結(jié)構(gòu)效度．

表4 各分測驗(yàn)及總測驗(yàn)的相關(guān)系數(shù)矩陣

注：表中**表示在0.01水平上具有顯著相關(guān)性

由于對測驗(yàn)作探索性因素分析得到的結(jié)果與事先設(shè)計(jì)的理論框架高度吻合，因此不再對其作驗(yàn)證性因素分析．

3.5.2 內(nèi)容效度

內(nèi)容效度指測驗(yàn)題目的適切性與代表性，即測驗(yàn)內(nèi)容能否反應(yīng)所要測量的心里特質(zhì)，以題目分布的合理性來判斷．研究者主要從兩個方面來確保測驗(yàn)的內(nèi)容效度．一方面，測驗(yàn)題具有較好的代表性．研究基于邏輯學(xué)、心理學(xué)的研究成果提出了一個評價初中生邏輯推理的框架，在此基礎(chǔ)上編制題項(xiàng)，不僅全面地考查到了各種推理形式，而且也兼顧了不同類型的問題背景，因此能夠全面反映出學(xué)生的邏輯推理能力．另一方面，在測驗(yàn)的編制、修訂過程中邀請專家參與研討．參與者包括數(shù)學(xué)教育專業(yè)教授、研究生，以及一線初中教師等，分別從不同角度對題項(xiàng)的取舍提出了意見．例如部分題項(xiàng)背景對學(xué)生來說存在理解困難，不一定能考查到所設(shè)想的推理要素，表述較繁，等等．測驗(yàn)2正是在測驗(yàn)1預(yù)測的基礎(chǔ)上，基于專家的意見修訂形成．

3.6 信度分析

信度是對測量一致性程度的估計(jì)．對各子測驗(yàn)、分測驗(yàn)及總測驗(yàn)分別計(jì)算克倫巴赫系數(shù)，結(jié)果見表5．演繹推理與其各子測驗(yàn)的內(nèi)部一致性系數(shù)在0.549~0.868之間，除了簡單推理略低外，其余維度內(nèi)部題項(xiàng)都有較高的同質(zhì)性程度；合情推理的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.737；總測驗(yàn)的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.898．總體而言，編制的邏輯推理測驗(yàn)具有較高的信度．

表5 邏輯推理測驗(yàn)各維度信度

最終版的邏輯推理測驗(yàn)題包含5個維度，總計(jì)22道題．題項(xiàng)分布見表6．測題見附錄（總分44分）．

表6 初中生邏輯推理能力測驗(yàn)題結(jié)構(gòu)及題項(xiàng)分布

4 討論與結(jié)論

4.1 測驗(yàn)框架的構(gòu)建

在6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象這3種能力具有一般性．事實(shí)上，這是傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)3大能力，它們的一般性表現(xiàn)在幾乎整個學(xué)習(xí)活動之中．其中邏輯推理和直觀想象更具共性，它們可以脫離數(shù)學(xué)材料而獨(dú)立地表現(xiàn)出來，自然科學(xué)和人文社會學(xué)科都需要這兩種思維．因此，研究邏輯推理和直觀想象，可以從兩個層面切入，先探討共性再研究特性．研究者所編制的測驗(yàn)偏重對邏輯推理共性層面的考查，亦即關(guān)注推理的邏輯形式，在內(nèi)容上則以較簡單的數(shù)學(xué)知識為主．

當(dāng)前的許多研究都是就某一種邏輯形式開展的．李丹等人研究了小學(xué)生關(guān)于三段論推理的發(fā)展情況，采用的方法是由主試把三段論的兩個前提念給被試聽，然后要求被試說出結(jié)論，主要是考察被試的反應(yīng)類型[5]．胡竹菁等人對中學(xué)生三段論推理的現(xiàn)狀作了調(diào)查，問卷由20道第一格至第四格的范疇三段論題目組成，主要考察從初一到高三年級學(xué)生三段論推理水平的發(fā)展以及性別差異[5]．李丹等人研究了小學(xué)三年級到初中三年級學(xué)生的假言推理發(fā)展水平；吳榮先對小學(xué)三年級到初中三年級學(xué)生作了選言推理的研究[5]．與這些研究不同，研究者將各種邏輯形式作為一個整體設(shè)計(jì)，基于數(shù)據(jù)得到了一個包含簡單推理、選言推理、假言推理、命題演算、合情推理的初中生邏輯推理框架．這不僅可以對學(xué)生的邏輯推理進(jìn)行全面考察，同時可以比較學(xué)生在邏輯推理不同維度上的發(fā)展差異．

4.2 測驗(yàn)的信效度

探索性因素分析的結(jié)果與理論框架基本一致，表明測驗(yàn)具有較好的結(jié)構(gòu)效度，證明了基于推理形式的框架這樣一種心理特質(zhì)的存在．對于歸納推理與類比推理，分別都進(jìn)一步分為兩類來編制題項(xiàng)，這種過細(xì)的劃分或許導(dǎo)致了二者難以形成兩個獨(dú)立的維度，也反映出合情推理的這兩個類型間確實(shí)存在著緊密的聯(lián)系．信度方面，簡單推理維度的內(nèi)部一致性系數(shù)略低，這反映出簡單命題與三段論作為同一個維度雖然是合理的，但依然存在著某些差異．其余維度及總測驗(yàn)都有較高的信度．總體而言，測驗(yàn)結(jié)構(gòu)基本合理，并具有較好的內(nèi)部一致性，可作為初中生邏輯推理能力評價的工具．

4.3 研究的局限性

研究也存在一些問題．第一，簡單推理的兩道三段論都屬于三段論的第一格，相對于第二格或第三格，在推理方面較為簡單．一般說來，三段論的第二格與第三格應(yīng)當(dāng)在測驗(yàn)中有體現(xiàn)，這個問題需要在進(jìn)一步的修訂測驗(yàn)中加以解決．第二，表4中演繹推理與命題演算的相關(guān)略小于命題演算與總測驗(yàn)的相關(guān)，這是一個缺陷，但對整個測驗(yàn)沒有產(chǎn)生太大的損害．第三，王光明教授等在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略問卷編制中，對量表作了驗(yàn)證性因素分析，這是一種更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇╗25-42]．研究者沒有做這個工作，是由于探索性因素分析得到的數(shù)據(jù)與事前的理論建構(gòu)高度一致，故省略了驗(yàn)證性因素分析．

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附錄：初中生邏輯推理測驗(yàn)

同學(xué)們好！下面是一些有趣的問題，請你完成解答．注意：除了1、2題可以多選外，其余各題都是單項(xiàng)選擇．

學(xué)校年級性別

1．下列說法正確的是（ ）．（可多選）

A 所有的等邊三角形都是等腰三角形 B 所有的等邊三角形都不是等腰三角形

C 有些等邊三角形是等腰三角形 D 有些等邊三角形不是等腰三角形

2．初一（3）班有50名同學(xué)，其中有10名共青團(tuán)員．下列說法正確的是（ ）．（可多選）

A 初一（3）班所有的同學(xué)都是共青團(tuán)員 B 初一（3）班有些同學(xué)是共青團(tuán)員

C 初一（3）班所有的同學(xué)都不是共青團(tuán)員 D 初一（3）班有些同學(xué)不是共青團(tuán)員

3．犯罪行為不是合法行為，故意殺人罪是犯罪行為．由此可以推出（ ）．

A 故意殺人罪不是合法行為 B 不合法行為是犯罪行為

C 不是犯罪行為一定合法 D 有的犯罪行為是合法行為

4．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)．故此我們可以推出（ ）．

A 無理數(shù)不是無限小數(shù) B 無限小數(shù)是無理數(shù)

C 無理數(shù)是無限小數(shù) D 無限小數(shù)不是無理數(shù)

5．一件事的情況或者是，或者是，也有可能既是又是．

（1）如果事情的情況是，那么事情的情況也是嗎？（ ）

（2）如果事情的情況不是，那么事情的情況是嗎？（ ）

A 肯定是B 肯定不是C 不確定是不是D 不會做

6．如果=，則2=2．下列選項(xiàng)正確的是（ ）．

A 如果≠，則2=2B 如果≠，則2≠2

C 如果2≠2，則≠D 如果2≠2，則=

7．如果兩個長方形的長與寬分別相等，那么它們的面積相等；現(xiàn)在長方形與長方形的面積相等，則一定有（ ）．

A 它們的長與寬一定分別相等 B 它們的長與寬可能都不相等

C 它們的長一定相等 D 它們的寬一定相等

8．五一長假期間學(xué)校組織去爬山，或者去爬泰山，或者去爬黃山；也可以兩座山都爬．

（1）如果五一期間同學(xué)們爬了泰山，那么爬黃山了嗎？（ ）

（2）如果五一期間同學(xué)們沒有爬泰山，那么爬黃山了嗎？（ ）

A 肯定爬了 B 肯定沒有爬

C 不能確定有沒有爬 D 不會做

9．現(xiàn)有一個四邊形，已知它要么是梯形，要么是平行四邊形．

（1）若有兩組對邊相等，這個四邊形（ ）．

（2）若至少有一組對邊不相等，這個四邊形（ ）．

A 肯定是梯形，不是平行四邊形 B 肯定是平行四邊形，不是梯形

C 有可能是梯形，也有可能是平行四邊形 D 不會做

10．一件事的情況要么是，要么是，不可能既是又是．

（1）如果事情的情況是，那么事情的情況也是嗎？（ ）

（2）如果事情的情況不是，那么事情的情況是嗎？（ ）

A 肯定是B 肯定不是

C 不確定是不是D 不會做

11．如果兩個自然數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么他們的和是偶數(shù)．以下情況錯誤的是（ ）．

A 兩個自然數(shù)的乘積是奇數(shù)，它們的和是偶數(shù)

B 兩個自然數(shù)的乘積是奇數(shù)，它們的和是奇數(shù)

C 兩個自然數(shù)的乘積是偶數(shù)，它們的和有可能是偶數(shù)

D 兩個自然數(shù)的乘積是偶數(shù)，它們的和有可能是奇數(shù)

12．姚明不但參加過亞運(yùn)會，而且參加過奧運(yùn)會．這表明（ ）．

A 姚明參加過亞運(yùn)會，可能參加了奧運(yùn)會，也可能沒參加

B 姚明參加了奧運(yùn)會，可能參加了亞運(yùn)會，也可能沒參加

C 姚明參加過亞運(yùn)會或奧運(yùn)會

D 姚明兩個都參加了

13．已知：一個四邊形是矩形當(dāng)且僅當(dāng)四個角都是直角，那么以下情況正確的是（ ）．

A 一個四邊形是矩形，它的四個角并非都是直角

B 一個四邊形不是矩形，它的四個角都是直角

C 一個四邊形不是矩形，它的四個角有可能都是直角

D 一個四邊形不是矩形，它的四個角并非都是直角

14．公園里，小明指著湖面上的一群天鵝，說：“那些天鵝全部都是白色的．”小張仔細(xì)看了看，反對道：“不對，角落里有一只天鵝是黑色的．”以下說法正確的是（ ）．

A 只有一只黑天鵝，是個別情況，小明說的沒錯

B 有一只黑天鵝，說明小明的說法是錯誤的

C 黑天鵝只有一只，不能斷定小明錯了，除非能發(fā)現(xiàn)2、3只

D 黑天鵝只有一只，不能斷定小明錯了，除非一眼望去黑天鵝不比白天鵝少

15．小明說：“一個四邊形，如果至少有兩個角為90°，則它至少有一組對邊平行．”為了證明小明的說法是錯誤的，需要找到一個四邊形，滿足（ ）．

A 只有一個角為90°，且有一組對邊平行 B 沒有90°的角，且有一組對邊平行

C 有兩個角為90°，兩組對邊都不平行 D 只有一個角為90°，兩組對邊都不平行

16．觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……根據(jù)上述算式的規(guī)律，請你猜想22017的末位數(shù)字是（ ）．

A 2 B 4 C 6 D 8

17．我們知道，三角形是平面圖形中邊數(shù)最少的多邊形．而在空間中，四面體（如圖所示）是面數(shù)最少的多面體．這兩者的性質(zhì)之間有一些共通之處．根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)，可以推斷在四面體中（ ）．

A 任意兩個面的面積之和大于第三個面的面積

B 任意三個面的面積之和大于第四個面的面積

C 三個面的面積之和有可能等于第四個面的面積

D 三個面的面積之和有可能小于第四個面的面積

18．如果“殺人”對應(yīng)“犯罪”，那么以下哪一組詞的對應(yīng)關(guān)系與此類似（ ）．

A 書法∶藝術(shù) B 美麗∶漂亮 C 魯迅∶周樹人 D 歷史∶通史

19．如圖所示，按一定規(guī)律用火柴棍擺放圖案：一層的圖案用火柴棍2支，二層的圖案用火柴棍7支，三層的圖案用火柴棍15支，……，二十層的圖案用火柴棍（ ）支．

A 590 B 600

C 610 D 620

20．根據(jù)以下圖中的凸多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù),以下結(jié)論中哪個是正確的（ ）.

A 可以猜測+-=10 B 可以猜測+-=2

C 可以猜測+-=6 D 無法判斷

21．如果有一組詞是“寺廟—佛像—游客”，那么以下最為貼切的對應(yīng)是（ ）．

A 商場—商品—營業(yè)員 B 畫廊—展品—參觀者

C 公園—城市—市民 D 學(xué)?！淌摇忌?/p>

22．把1，3，6，10，15，21，……這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正三角形，那么第七個三角形數(shù)是（ ）．

A 25 B 26 C 27 D 28

Research on Test of Mathematical Reasoning of Junior High School Students

YAN Qing1, HUANG You-chu1,2, LUO Yu-hua3, CHEN Hao4, YU Ping1

(1. Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China;2. College of Education, Shanghai Normal University, Shanghai 200235, China;3. School of Education Science, Jiangsu Second Normal University, Jiangsu Nanjing 210013, China;4. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

After a comprehensive analysis of existing literatures about mathematical reasoning, basing on classification of logic inference and research findings of reasoning ability in psychology, and also giving consideration to mathematical knowledge of junior high school, we proposed a framework which can be used to evaluate mathematical reasoning ability of junior high students, and designed a test. This test took into account both form and content of mathematical reasoning. With the result of exploratory factor analysis, we examined construct validity of the test and revised the test. The final dimensions were “plausible reasoning” and “deductive reasoning” which includes “simple proposition and inference”, “disjunctive inference”, “propositional calculus”, “hypothetical inference”. The test was good in construct validity and reliability.

mathematical reasoning; mathematical proposition; key competencies

G632.0

A

1004–9894（2018）05–0025–08

嚴(yán)卿，黃友初，羅玉華，等．初中生邏輯推理的測驗(yàn)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（5）：25-32．

2018–09–20

國家社會科學(xué)基金教育學(xué)一般項(xiàng)目——中學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的評價研究（BHA170150）

嚴(yán)卿（1987—），男，湖北武漢人，博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]