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        含有調(diào)和數(shù)的無窮級(jí)數(shù)恒等式

        2018-10-31 08:20:28王曉元賈利琴
        關(guān)鍵詞:恒等式分部級(jí)數(shù)

        王曉元,賈利琴

        (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)

        0 引言

        調(diào)和數(shù)的研究可以追溯到中世紀(jì)后期,它們?cè)诮?jīng)典分析、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用.著名的經(jīng)典調(diào)和數(shù)定義如下:

        其中n=1,2,…

        關(guān)于調(diào)和數(shù)的一些重要性質(zhì)和相關(guān)研究內(nèi)容可以參看《離散數(shù)學(xué)》[1]的第六章第三節(jié)和第四節(jié).

        隨著調(diào)和數(shù)研究的不斷發(fā)展,數(shù)學(xué)家們給出多種廣義調(diào)和數(shù)的定義形式.在過去的二十年里,含有調(diào)和數(shù)和廣義調(diào)和數(shù)的無窮級(jí)數(shù)封閉求和公式不斷引起人們的關(guān)注和興趣.證明這些求和公式的方法有很多,比如:將導(dǎo)數(shù)算子應(yīng)用于已知的二項(xiàng)式恒等式和終止的超幾何級(jí)數(shù)等式中,Chu和De Donno證明了大量含有調(diào)和數(shù)的求和公式[2];Boyadzhiev利用Euler變換計(jì)算了幾個(gè)有限和公式[3];Wang通過Riordan陣發(fā)現(xiàn)了更多新的含有調(diào)和數(shù)的恒等式[4];De Doelder則是通過計(jì)算雙伽瑪函數(shù)得到大量組合公式[5].

        本文設(shè)參數(shù)a和b是兩個(gè)任意的正實(shí)數(shù),定義廣義調(diào)和數(shù)為

        將參數(shù)a和b特殊化,得到兩個(gè)重要的調(diào)和類型數(shù)

        在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中有很多含有上面兩類數(shù)的封閉求和公式.例如歐拉在1775年發(fā)現(xiàn)與歐拉和有關(guān)的兩個(gè)重要公式

        De Doelder文獻(xiàn)中給出下面的求和表達(dá)式[5]

        最近,Chu利用Abel分部求和引理推導(dǎo)出幾個(gè)含有調(diào)和數(shù)及變換形式的無窮級(jí)數(shù)封閉求和公式[6].本文將在此基礎(chǔ)上,繼續(xù)利用Abel方法證明幾個(gè)廣義調(diào)和數(shù)的無窮級(jí)數(shù)恒等式,同時(shí)得到含有經(jīng)典調(diào)和數(shù)的求和公式,其中幾個(gè)有趣的求和公式主要是以π2,ln2和卡塔蘭常數(shù)作為結(jié)果建立的.

        1 Abel分部求和引理

        對(duì)于任意的復(fù)數(shù)序列{τk},分別定義向后和向前差分算子▽和Δ為

        ▽?duì)觡=τk-τk-1與Δτk=τk-τk+1

        (需要指出的是,在本文中的Δ與通常的向前差分算子僅相差一個(gè)負(fù)號(hào)).那么,Abel分部求和引理可表達(dá)為如下等價(jià)形式.

        證明:根據(jù)向后差分公式的定義,我們有

        將上式中的最后一個(gè)求和指標(biāo)k換成k+1,得到如下表達(dá)式

        令n→∞,Abel分部求和引理得證.

        2 含有調(diào)和數(shù)的無窮級(jí)數(shù)恒等式

        在這一節(jié)中,我們將利用Abel分部求和引理推導(dǎo)涉及廣義調(diào)和數(shù)的求和定理,進(jìn)一步得到含有經(jīng)典調(diào)和數(shù)的封閉求和恒等式.我們事先指出,本節(jié)所有的無窮級(jí)數(shù)公式中,序列{Bk}和它的向前差分取作

        為了保證準(zhǔn)確度,文中的所有公式均通過適當(dāng)設(shè)計(jì)的Mathematica命令進(jìn)行了數(shù)值檢查.

        2.1 定義如下序列{Ak},并計(jì)算它的向后差分和極限關(guān)系

        根據(jù)Abel分部求和引理,得到下述表達(dá)式

        ▽Ak

        定理1(無窮級(jí)數(shù)求和公式)

        推論1在定理1中,令a=b=1,則有

        上述公式是文獻(xiàn)[7] 中的公式(4).

        推論2在定理1中,令a=2和b=1,則有

        2.2 定義序列{Ak},并計(jì)算向后差分和極限關(guān)系

        根據(jù)Abel分部求和引理,得到下面表達(dá)式

        用部分分式分解法計(jì)算上式右端求和式,立即可得

        定理2(無窮級(jí)數(shù)求和公式)

        推論3在定理2中,令a=b=1,則有

        推論4在定理2中,令a=2和b=1,則有

        2.3 定義序列{Ak},同時(shí)驗(yàn)證向后差分和極限關(guān)系

        根據(jù)Abel分部求和引理,得到下述表達(dá)式

        利用部分分式法計(jì)算上式右端求和式,于是推得

        定理3(無窮級(jí)數(shù)求和公式)

        注意到該定理在a=b=1時(shí),可以通過等式右端項(xiàng)減去左端求和第一項(xiàng)再取極限的方法得到下面含有調(diào)和數(shù)的求和公式.

        推論5在定理3中,令a=b=1,則有

        推論6在定理3中,令a=2和b=1,則有

        2.4 定義序列{Ak},并計(jì)算向后差分和極限關(guān)系

        根據(jù)Abel分部求和引理,于是有表達(dá)式

        利用部分分式分解法計(jì)算上式右端求和式,即得

        定理4(無窮級(jí)數(shù)求和公式)

        推論7在定理4中,令a=b=1,則有

        推論8在定理4中,令a=2和b=1,則有

        2.5 定義序列{Ak},計(jì)算向后差分和極限關(guān)系

        根據(jù)Abel分部求和引理,可求下面表達(dá)式

        從而得到

        定理5(無窮級(jí)數(shù)求和公式)

        推論9在定理5中,令a=b=1,則有

        推論10在定理5中,令a=2和b=1,則有

        這里卡塔蘭常數(shù)

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