王曉元,賈利琴

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

調(diào)和數(shù)的研究可以追溯到中世紀(jì)后期，它們在經(jīng)典分析、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用.著名的經(jīng)典調(diào)和數(shù)定義如下：

其中n=1,2,…

關(guān)于調(diào)和數(shù)的一些重要性質(zhì)和相關(guān)研究內(nèi)容可以參看《離散數(shù)學(xué)》[1]的第六章第三節(jié)和第四節(jié).

隨著調(diào)和數(shù)研究的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)家們給出多種廣義調(diào)和數(shù)的定義形式.在過去的二十年里，含有調(diào)和數(shù)和廣義調(diào)和數(shù)的無窮級數(shù)封閉求和公式不斷引起人們的關(guān)注和興趣.證明這些求和公式的方法有很多，比如：將導(dǎo)數(shù)算子應(yīng)用于已知的二項(xiàng)式恒等式和終止的超幾何級數(shù)等式中，Chu和De Donno證明了大量含有調(diào)和數(shù)的求和公式[2]；Boyadzhiev利用Euler變換計算了幾個有限和公式[3]；Wang通過Riordan陣發(fā)現(xiàn)了更多新的含有調(diào)和數(shù)的恒等式[4]；De Doelder則是通過計算雙伽瑪函數(shù)得到大量組合公式[5].

本文設(shè)參數(shù)a和b是兩個任意的正實(shí)數(shù)，定義廣義調(diào)和數(shù)為

將參數(shù)a和b特殊化，得到兩個重要的調(diào)和類型數(shù)

在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中有很多含有上面兩類數(shù)的封閉求和公式.例如歐拉在1775年發(fā)現(xiàn)與歐拉和有關(guān)的兩個重要公式

De Doelder文獻(xiàn)中給出下面的求和表達(dá)式[5]

最近，Chu利用Abel分部求和引理推導(dǎo)出幾個含有調(diào)和數(shù)及變換形式的無窮級數(shù)封閉求和公式[6].本文將在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用Abel方法證明幾個廣義調(diào)和數(shù)的無窮級數(shù)恒等式，同時得到含有經(jīng)典調(diào)和數(shù)的求和公式，其中幾個有趣的求和公式主要是以π2，ln2和卡塔蘭常數(shù)作為結(jié)果建立的.

1 Abel分部求和引理

對于任意的復(fù)數(shù)序列{τk}，分別定義向后和向前差分算子▽和Δ為

▽τk=τk-τk-1與Δτk=τk-τk+1

(需要指出的是，在本文中的Δ與通常的向前差分算子僅相差一個負(fù)號).那么，Abel分部求和引理可表達(dá)為如下等價形式.

證明：根據(jù)向后差分公式的定義，我們有

將上式中的最后一個求和指標(biāo)k換成k+1，得到如下表達(dá)式

令n→∞，Abel分部求和引理得證.

2 含有調(diào)和數(shù)的無窮級數(shù)恒等式

在這一節(jié)中，我們將利用Abel分部求和引理推導(dǎo)涉及廣義調(diào)和數(shù)的求和定理，進(jìn)一步得到含有經(jīng)典調(diào)和數(shù)的封閉求和恒等式.我們事先指出，本節(jié)所有的無窮級數(shù)公式中，序列{Bk}和它的向前差分取作

為了保證準(zhǔn)確度，文中的所有公式均通過適當(dāng)設(shè)計的Mathematica命令進(jìn)行了數(shù)值檢查.

2.1 定義如下序列{Ak}，并計算它的向后差分和極限關(guān)系

根據(jù)Abel分部求和引理，得到下述表達(dá)式

▽Ak

定理1(無窮級數(shù)求和公式)

推論1在定理1中，令a=b=1，則有

上述公式是文獻(xiàn)[7] 中的公式(4).

推論2在定理1中，令a=2和b=1，則有

2.2 定義序列{Ak}，并計算向后差分和極限關(guān)系

根據(jù)Abel分部求和引理，得到下面表達(dá)式

用部分分式分解法計算上式右端求和式，立即可得

定理2(無窮級數(shù)求和公式)

推論3在定理2中，令a=b=1，則有

推論4在定理2中，令a=2和b=1，則有

2.3 定義序列{Ak}，同時驗(yàn)證向后差分和極限關(guān)系

根據(jù)Abel分部求和引理，得到下述表達(dá)式

利用部分分式法計算上式右端求和式，于是推得

定理3(無窮級數(shù)求和公式)

注意到該定理在a=b=1時，可以通過等式右端項(xiàng)減去左端求和第一項(xiàng)再取極限的方法得到下面含有調(diào)和數(shù)的求和公式.

推論5在定理3中，令a=b=1，則有

推論6在定理3中，令a=2和b=1，則有

2.4 定義序列{Ak}，并計算向后差分和極限關(guān)系

根據(jù)Abel分部求和引理，于是有表達(dá)式

利用部分分式分解法計算上式右端求和式，即得

定理4(無窮級數(shù)求和公式)

推論7在定理4中，令a=b=1，則有

推論8在定理4中，令a=2和b=1，則有

2.5 定義序列{Ak}，計算向后差分和極限關(guān)系

根據(jù)Abel分部求和引理，可求下面表達(dá)式

從而得到

定理5(無窮級數(shù)求和公式)

推論9在定理5中，令a=b=1，則有

推論10在定理5中，令a=2和b=1，則有

這里卡塔蘭常數(shù)