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        某一類非線性三點(diǎn)邊值條件的三階奇攝動(dòng)邊值問題

        2018-10-31 08:20:14王國燦
        關(guān)鍵詞:邊值三階邊值問題

        王國燦

        (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)*

        0 引言

        三階非線性微分方程三點(diǎn)邊值問題的奇攝動(dòng)日益被人們所關(guān)注[1-6],但由于上下解理論的限制,目前只看到幾篇討論簡單的三點(diǎn)邊值問題或線性邊值問題的文章,有關(guān)解的唯一性方面的內(nèi)容很少涉及.本文討論以下一般的三階非線性微分方程的非線性三點(diǎn)邊值的奇異攝動(dòng)問題.

        εx?=f(t,x,x′,x″,ε)

        (1)

        (2)

        將研究方程(1)具有非線性邊值條件(2)的解的存在性與唯一性.

        1 引理

        下面考慮三階邊值問題

        x?=f(t,x,x′,x″)

        (3)

        (4)

        定義如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C3[-1,1],使得當(dāng)-1≤t≤1時(shí),α′(t)≤β′(t),β″(t)≤f(t,β(t),β′(t),β″(t)),α?(t)≥f(t,α(t),α′(t),α″(t)),且當(dāng)-1≤t≤0時(shí),

        β(t)≤α(t),當(dāng)0≤t≤1時(shí),α(t)≤β(t),則稱β(t)和α(t)為方程(3)的上下解.

        方程(1)滿足Nagumo條件,如果函數(shù)滿足下述兩個(gè)條件之一者:

        (*)對(duì)正數(shù)N,存在正函數(shù)h=h(N),使得當(dāng)(t,x,x′,x″)∈[0,1]×[-N,N]×R2成立

        |f(t,x,x′,x″)|≤hΦr1(|x′|)Φr2(|x″|),其中0≤r1≤1,r2>0,r1+r2≤3,且Φr(l)=max{1,lr},r>0,0≤l≤+∞

        引理1如果方程(3)與邊界條件(4)滿足

        (1)函數(shù)f(t,x,x′,x″)∈C([-1,1]×R3),滿足Nagumo條件,且當(dāng)-1≤t≤0時(shí),關(guān)于x單調(diào)不減;當(dāng)0≤t≤1時(shí),關(guān)于x單調(diào)不增.

        (2)g(ξ,η),h(ξ,η)∈C(R2),且g(ξ,η),h(ξ,η)對(duì)固定的ξ關(guān)于η單調(diào)不減.

        (3)方程(3)存在上下解β(t)和α(t),且β(0)=A=α(0),g(α′(-1),α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0,h(α′(1),α″(1))≤0,g(β′(1),β″(1))≥0,則邊值問題(3)、(4)有一解x(t)∈C3[-1,1],使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0,α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

        引理2如果滿足

        則邊值問題

        (5)

        (6)

        只有零解.

        引理1與引理2 可以利用文獻(xiàn)[9]的處理方法得到.

        2 結(jié)論

        為方便起見,恒假設(shè)下列條件成立

        (1)函數(shù)f(t,x,x′,x″,ε)及其關(guān)于x,x′,x″,ε的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={(t,x,x′,x″,ε)|-1≤t≤1,-∞

        (2)函數(shù)f(t,x,x′,x″,ε)滿足Nagumo條件.

        (3)邊值問題0=f(t,x,x′,x″,0),x(0)=A有解x0(t)∈C3[0,1].

        (4)函數(shù)g(ξ,η,ε),h(ξ,η,ε)∈C(R2×[0,ε0]),且均關(guān)于η單調(diào)不減.

        (5)當(dāng)(t,x,x′,x″,ε)∈Ω時(shí),fx′(t,x,x′,x″,ε)≥m>0;fx″(t,x,x′,x″,ε)有界;當(dāng)-1≤t≤0時(shí),fx(t,x,x′,x″,ε)≥0,當(dāng)0≤t≤1時(shí),fx(t,x,x′,x″,ε)≤0.

        (6)(i)對(duì)任何的正數(shù)L0,存在正數(shù)N0,使得g(ξ,-N0,ε)≤0,g(ξ,N0,ε)≥0,|ξ|≤L0,0≤ε≤ε0.

        (ii)對(duì)任何的正數(shù)L1,存在正數(shù)N1,使得h(ξ,-N1,ε)≤0,h(ξ,N1,ε)≥0,|ξ|≤L1,0≤ε≤ε0.

        (7)函數(shù)g(ξ,η,ε)及h(ξ,η,ε)在[0,ε0]×R2上連續(xù)可微,且

        gξ(ξ,η,ε)≤0,gη(ξ,η,ε)≥0,gξ2+gη2≠0

        證明由假設(shè),當(dāng)(t,x,x′,ω(ε)x″,ε)∈Ω時(shí),存在正數(shù)k,M,N,使得|fx′(t,x,x′,x″,ε)|≤k,|fε(t,x,x′,x″,ε)|≤M,|x?0(t)|≤N,記

        對(duì)于任何的ε∈[0,ε0],再令β(t,ε)=x0(t)+γ(t,ε),α(t,ε)=x0(t)-γ(t,ε),于是當(dāng)ε>0充分小時(shí),α′(t,ε)≤β′(t,ε),β′(t,ε)>0,-1≤t≤1;β(t,ε)≤0,-1≤t≤0,β(t,ε)≥0,0≤t≤1,且β(0,ε)=0,且

        其中,K滿足 |fx″γ″(t,ε)|≤Kε.

        同理f(t,α(t,ε),α′(t,ε),α″(t,ε),ε)-εα?(t,ε)≤0,由β(t,ε)的構(gòu)造,

        β″(1,ε)≥N1,于是

        定理2如果滿足條件(5)和(7),則當(dāng)ε>0充分小時(shí),邊值問題(1),(2)至多存在一個(gè)解.

        證明在此,只對(duì)足夠小的ε>0進(jìn)行論證,假設(shè)邊值問題(1)、(2)有兩個(gè)不同解x1(t,ε),x2(t,ε),令y(t)=x2(t,ε)-x1(t,ε),則y(t)應(yīng)滿足下述邊值問題

        其中,

        a1≤0,b1≥0,a2≥0,b2≥0,且a1+b1>

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