王國燦

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

三階非線性微分方程三點(diǎn)邊值問題的奇攝動(dòng)日益被人們所關(guān)注[1-6]，但由于上下解理論的限制，目前只看到幾篇討論簡單的三點(diǎn)邊值問題或線性邊值問題的文章，有關(guān)解的唯一性方面的內(nèi)容很少涉及.本文討論以下一般的三階非線性微分方程的非線性三點(diǎn)邊值的奇異攝動(dòng)問題.

εx?=f(t,x,x′,x″,ε)

(1)

(2)

將研究方程(1)具有非線性邊值條件(2)的解的存在性與唯一性.

1 引理

下面考慮三階邊值問題

x?=f(t,x,x′,x″)

(3)

(4)

定義如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，α′(t)≤β′(t)，β″(t)≤f(t,β(t),β′(t),β″(t))，α?(t)≥f(t,α(t),α′(t),α″(t))，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，

β(t)≤α(t)，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，α(t)≤β(t)，則稱β(t)和α(t)為方程(3)的上下解.

方程(1)滿足Nagumo條件，如果函數(shù)滿足下述兩個(gè)條件之一者：

(*)對(duì)正數(shù)N，存在正函數(shù)h=h(N)，使得當(dāng)(t,x,x′,x″)∈[0,1]×[-N,N]×R2成立

|f(t,x,x′,x″)|≤hΦr1(|x′|)Φr2(|x″|)，其中0≤r1≤1，r2>0，r1+r2≤3，且Φr(l)=max{1,lr},r>0，0≤l≤+∞

引理1如果方程(3)與邊界條件(4)滿足

(1)函數(shù)f(t,x,x′,x″)∈C([-1,1]×R3)，滿足Nagumo條件，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不減；當(dāng)0≤t≤1時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不增.

(2)g(ξ,η),h(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)，h(ξ,η)對(duì)固定的ξ關(guān)于η單調(diào)不減.

(3)方程(3)存在上下解β(t)和α(t)，且β(0)=A=α(0)，g(α′(-1),α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0,h(α′(1),α″(1))≤0,g(β′(1),β″(1))≥0,則邊值問題(3)、(4)有一解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

引理2如果滿足

則邊值問題

(5)

(6)

只有零解.

引理1與引理2 可以利用文獻(xiàn)[9]的處理方法得到.

2 結(jié)論

為方便起見，恒假設(shè)下列條件成立

(1)函數(shù)f(t,x,x′,x″,ε)及其關(guān)于x,x′,x″,ε的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={(t,x,x′,x″,ε)|-1≤t≤1,-∞

(2)函數(shù)f(t,x,x′,x″,ε)滿足Nagumo條件.

(3)邊值問題0=f(t,x,x′,x″,0),x(0)=A有解x0(t)∈C3[0,1].

(4)函數(shù)g(ξ,η,ε),h(ξ,η,ε)∈C(R2×[0,ε0])，且均關(guān)于η單調(diào)不減.

(5)當(dāng)(t,x,x′,x″,ε)∈Ω時(shí)，fx′(t,x,x′,x″,ε)≥m>0；fx″(t,x,x′,x″,ε)有界；當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，fx(t,x,x′,x″,ε)≥0，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，fx(t,x,x′,x″,ε)≤0.

(6)(i)對(duì)任何的正數(shù)L0，存在正數(shù)N0，使得g(ξ,-N0,ε)≤0，g(ξ,N0,ε)≥0，|ξ|≤L0，0≤ε≤ε0.

(ii)對(duì)任何的正數(shù)L1，存在正數(shù)N1，使得h(ξ,-N1,ε)≤0，h(ξ,N1,ε)≥0，|ξ|≤L1，0≤ε≤ε0.

(7)函數(shù)g(ξ,η,ε)及h(ξ,η,ε)在[0,ε0]×R2上連續(xù)可微，且

gξ(ξ,η,ε)≤0,gη(ξ,η,ε)≥0,gξ2+gη2≠0

證明由假設(shè)，當(dāng)(t,x,x′,ω(ε)x″,ε)∈Ω時(shí)，存在正數(shù)k,M,N，使得|fx′(t,x,x′,x″,ε)|≤k,|fε(t,x,x′,x″,ε)|≤M,|x?0(t)|≤N，記

對(duì)于任何的ε∈[0,ε0]，再令β(t,ε)=x0(t)+γ(t,ε)，α(t,ε)=x0(t)-γ(t,ε)，于是當(dāng)ε>0充分小時(shí)，α′(t,ε)≤β′(t,ε)，β′(t,ε)>0，-1≤t≤1；β(t,ε)≤0，-1≤t≤0，β(t,ε)≥0，0≤t≤1，且β(0,ε)=0，且

其中,K滿足 |fx″γ″(t,ε)|≤Kε.

同理f(t,α(t,ε),α′(t,ε),α″(t,ε),ε)-εα?(t,ε)≤0，由β(t,ε)的構(gòu)造，

β″(1,ε)≥N1，于是

定理2如果滿足條件(5)和(7)，則當(dāng)ε>0充分小時(shí)，邊值問題(1)，(2)至多存在一個(gè)解.

證明在此，只對(duì)足夠小的ε>0進(jìn)行論證，假設(shè)邊值問題(1)、(2)有兩個(gè)不同解x1(t,ε)，x2(t,ε)，令y(t)=x2(t,ε)-x1(t,ε)，則y(t)應(yīng)滿足下述邊值問題

其中,

a1≤0,b1≥0,a2≥0,b2≥0，且a1+b1>