【摘要】微積分理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。它的內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線(xiàn)的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分的理論是建立在實(shí)數(shù)數(shù)域的完備性基礎(chǔ)之上，在這篇論文中，我們講從完備化這個(gè)基本概念出發(fā)，去探討如何從有理數(shù)域通過(guò)完備化的過(guò)程擴(kuò)展到實(shí)數(shù)數(shù)域。

【關(guān)鍵詞】有理數(shù)；實(shí)數(shù)

【作者簡(jiǎn)介】肖雨伶，成都七中萬(wàn)達(dá)學(xué)校。

一、動(dòng)機(jī)

實(shí)數(shù)數(shù)域，包含有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，前者如0、-4、81/7，而后者如√2、π等。直觀上說(shuō)，實(shí)數(shù)可以理解成小數(shù)（有限或無(wú)限的）。如果我們把一條直線(xiàn)理解成一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)軸，直線(xiàn)上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)于一個(gè)特定的實(shí)數(shù)，那么它們似乎可以把數(shù)軸“填滿(mǎn)”。但僅僅以枚舉的方式不能準(zhǔn)確地描述實(shí)數(shù)的全體。實(shí)數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。

根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)，有理數(shù)域在實(shí)數(shù)數(shù)軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認(rèn)為用有理數(shù)即能滿(mǎn)足測(cè)量上的實(shí)際需要。以邊長(zhǎng)為1公分的正方形為例，其對(duì)角線(xiàn)有多長(zhǎng)？在規(guī)定的精度下（比如誤差小于0.001公分），總可以用有理數(shù)來(lái)表示足夠精確的測(cè)量結(jié)果（比如1.414公分）。但是，在公元前500年左右，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，只使用有理數(shù)無(wú)法完全精確地表示這條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念；他們?cè)詾椋喝魏蝺蓷l線(xiàn)段（的長(zhǎng)度）的比，可以用自然數(shù)的比來(lái)表示。正因如此，畢達(dá)哥拉斯本人甚至有“萬(wàn)物皆數(shù)”的信念，這里的數(shù)是指自然數(shù)（1 ， 2 ， 3 ，...），而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù)，而有理數(shù)域存在“縫隙”這一事實(shí)，對(duì)當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)可謂極大的打擊，這在數(shù)學(xué)史上被稱(chēng)為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

從古希臘一直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才慢慢接受無(wú)理數(shù)的存在，并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù)；后來(lái)有虛數(shù)概念的引入，為加以區(qū)別而稱(chēng)作“實(shí)數(shù)”，意即“實(shí)在的數(shù)”。在當(dāng)時(shí)，盡管虛數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并廣為使用，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義卻仍然是個(gè)難題，以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀(jì)末的戴德金、康托等人對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。

所有實(shí)數(shù)的集合可稱(chēng)為實(shí)數(shù)數(shù)域。任何一個(gè)完備的阿基米德有序域均可以認(rèn)為“等同于”實(shí)數(shù)數(shù)域。微積分的理論是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無(wú)窮級(jí)數(shù)等的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要組成部分。在歷史上，微積分曾經(jīng)指無(wú)窮小的計(jì)算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門(mén)研究變化的科學(xué)，正如：幾何學(xué)是研究形狀的科學(xué)、代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)運(yùn)算和解方程的科學(xué)一樣。微積分學(xué)又稱(chēng)為“初等數(shù)學(xué)分析”。

微積分學(xué)在科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、商業(yè)管理學(xué)和工業(yè)工程學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，用來(lái)解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)不能有效解決的問(wèn)題。微積分學(xué)在代數(shù)學(xué)和解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)，并包括微分學(xué)、積分學(xué)二大分支。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線(xiàn)的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行演繹。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)基本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以?xún)烧咧腥我庖徽邽槠瘘c(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中一般會(huì)先引入微分學(xué)。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，高等微積分學(xué)通常被稱(chēng)為分析學(xué)，并被定義為研究函數(shù)的科學(xué)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要分支之一。

微積分作為一個(gè)完備的理論，其基礎(chǔ)是建立在有理數(shù)數(shù)是不完備的，而實(shí)數(shù)數(shù)域是完備的這個(gè)條件之上的。實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來(lái)，例如，實(shí)數(shù)可以用通過(guò)收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全，但是本質(zhì)上都是一個(gè)完備化的過(guò)程。在這篇論文中，我們講從完備化這個(gè)基本概念出發(fā)，去探討如何從有理數(shù)域通過(guò)完備化的過(guò)程擴(kuò)展到實(shí)數(shù)數(shù)域。

二、實(shí)數(shù)的完備性

我們知道有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的定義：有理數(shù)為整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)；無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。我們也知道實(shí)數(shù)的定義：實(shí)數(shù)，是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總稱(chēng)。分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)之比產(chǎn)生的不等于整數(shù)的比；有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張，在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為零）4種運(yùn)算通行無(wú)阻。那么問(wèn)題來(lái)了，有理數(shù)是如何擴(kuò)展到實(shí)數(shù)的？

初中我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的3個(gè)性質(zhì)即封閉性，有序性，傳遞性。其實(shí)，在我們還未涉獵的區(qū)域里，實(shí)數(shù)還有其他3個(gè)性質(zhì)。

1.是稠密性：R實(shí)數(shù)集具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無(wú)理數(shù).簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)用刀切數(shù)軸，如果你用兩刀削下來(lái)一個(gè)有長(zhǎng)度的線(xiàn)段（開(kāi)區(qū)間），不管你刀工多精妙，線(xiàn)段長(zhǎng)度再小，只要不為0，其中就一定有至少一個(gè)——甚至可以說(shuō)，有無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)。這個(gè)就叫做有理數(shù)的稠密性。稠密性——無(wú)孔不入。

2.是完備性：所有的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。這里提到的柯西序列意思是這樣一個(gè)序列，它的元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近，更確切地說(shuō)，在去掉有限個(gè)元素后，可以使得余下的元素中任何兩點(diǎn)間的距離的最大值不超過(guò)任意給定的正的常數(shù)。完備性就是孫悟空永遠(yuǎn)跳不出如來(lái)佛的五指山。完備性——密不透風(fēng)。

3.是阿基米德性質(zhì)：對(duì)任意兩正數(shù)x及實(shí)數(shù)y，存在正整數(shù)n，使nx>y.在幾何上這意味著，無(wú)論多長(zhǎng)的線(xiàn)段，都能用有限條不管多短的等長(zhǎng)線(xiàn)段覆蓋；換句話(huà)說(shuō)，無(wú)論采用多短的線(xiàn)段作單位，都能在有限次內(nèi)把無(wú)論多長(zhǎng)的線(xiàn)段量完。

掌握了這些性質(zhì)后，我們就可以展開(kāi)研究了。有理數(shù)從1變到2，中間似乎沒(méi)有跳躍，因?yàn)?與2之間的有理數(shù)是密密麻麻的，找不到一段空白，其實(shí)有理數(shù)從1變到2 并非連續(xù)地變化，因?yàn)橹虚g跨過(guò)了許多無(wú)理數(shù)。有理數(shù)再添加無(wú)理數(shù)，湊成全體實(shí)數(shù)，我們說(shuō)，實(shí)數(shù)是可以連續(xù)變化的，說(shuō)變量從0變到1，是說(shuō)要X取遍0到1之間的一切實(shí)數(shù)。

舉個(gè)例子，實(shí)數(shù)具有連續(xù)性，而有理數(shù)不具有連續(xù)性。如何精確說(shuō)明這里所說(shuō)的連續(xù)性的含義呢？設(shè)想用一把鋒利的刀把數(shù)軸砍成兩截，這一刀一定會(huì)看在某個(gè)點(diǎn)上，即砍中了一個(gè)實(shí)數(shù)。如果能夠看在一個(gè)縫隙上，數(shù)軸就不算連續(xù)的了。設(shè)數(shù)軸是從點(diǎn)A處被砍斷的，這個(gè)點(diǎn)A不是在左半截上，就是在右半截上。這是因?yàn)辄c(diǎn)不可分割，又不會(huì)消失，所以不會(huì)兩邊都有，也不會(huì)兩邊都沒(méi)有。從以上的假象中領(lǐng)會(huì)到所謂數(shù)軸的連續(xù)性，就是不管把它從什么地方分成兩半截，總有半截是帶端點(diǎn)的，而另外半截沒(méi)有端點(diǎn)。

實(shí)數(shù)的連續(xù)性，也就可以照樣搬過(guò)來(lái)：“把全體實(shí)數(shù)分成甲，乙兩個(gè)非空集合，如果甲集里任一個(gè)數(shù)X比乙集里的任一個(gè)數(shù)Y都小，那么，或者甲級(jí)里有最大數(shù)，或者乙集里有最小數(shù)，二者必居其一，且僅居其一，這就叫做實(shí)數(shù)的連續(xù)性。”

而有理數(shù)系不滿(mǎn)足這個(gè)條件。如果把全體負(fù)有理數(shù)和平方不超過(guò)2的非負(fù)有理數(shù)放在一起組成甲集，所有平方超過(guò)2的正有理數(shù)組成乙集，則甲集無(wú)最大數(shù)，乙集也無(wú)最小數(shù)。若從甲乙兩集之間砍一刀，就砍在縫里了。在實(shí)數(shù)系中，這個(gè)縫就是用無(wú)理數(shù)根號(hào)2填起來(lái)的。

這種方法叫做有理數(shù)的一個(gè)戴德金分割，簡(jiǎn)稱(chēng)分割。所以我們需要將無(wú)理數(shù)和有理數(shù)結(jié)合起來(lái)形成一個(gè)連續(xù)的，稠密的數(shù)系，這個(gè)數(shù)系就是實(shí)數(shù)系。有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集，使得正數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算得以完備，任意正數(shù)的開(kāi)方都為實(shí)數(shù)。

例 2.1 （有理數(shù)數(shù)域不是完備的）。

通過(guò)上面的討論，我們已經(jīng)知道完備化的定義是一個(gè)柯西數(shù)列總是收斂的。我們可以構(gòu)造以下這個(gè)例子：X_n = [√2 n]n.

其中符號(hào)[ ]表示取整符號(hào)。容易證明，這個(gè)有理數(shù)數(shù)列是柯西數(shù)列，但是它收斂于√2，并不是一個(gè)有理數(shù)，所以有理數(shù)數(shù)域并不是完備的。

一個(gè)自然的問(wèn)題，便是如何從有理數(shù)數(shù)域出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)“等同于”實(shí)數(shù)數(shù)域的數(shù)系，并且證明它是完備的？我們這樣思考這個(gè)問(wèn)題，考慮有理數(shù)數(shù)域上的所有的柯西數(shù)列，我們定義兩個(gè)柯西數(shù)列等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)他們充分的靠近，即在去掉有限個(gè)元素后，可以使得它們余下的元素中任何兩點(diǎn)間的距離的最大值不超過(guò)任意給定的正的常數(shù)。于是我們可以定義等價(jià)類(lèi)之間的加、減、乘、除，這樣我們就得到了一個(gè)域。一方面，我們可以證明，這個(gè)域代數(shù)上是同構(gòu)于實(shí)數(shù)數(shù)域，即它等同于實(shí)數(shù)數(shù)域。另一方面，我們可以去證明在這個(gè)數(shù)域中，任何一個(gè)柯西數(shù)列總是收斂的。于是，我們得到：定理2.2. 存在一個(gè)唯一的包含有理數(shù)數(shù)域的一個(gè)阿基米德完備域，并且這個(gè)域等同于實(shí)數(shù)數(shù)域。

關(guān)于這個(gè)完備化過(guò)程的更詳細(xì)地證明，我們推薦讀者參看參考文獻(xiàn)。

三、討論

通過(guò)以上的討論，我們可以理解完備、完備化的概念，并且也研究了如何通過(guò)完備化的方法，從有理數(shù)域出發(fā)，構(gòu)造實(shí)數(shù)數(shù)域。從一個(gè)更一般化的角度來(lái)說(shuō)，完備化的過(guò)程依賴(lài)于有理數(shù)數(shù)域上的絕對(duì)值的概念，這個(gè)絕對(duì)值因?yàn)闈M(mǎn)足三角不等式，所以我們一般稱(chēng)它為阿基米德絕對(duì)值。另一方面，我們可以利用素?cái)?shù)，來(lái)定義一個(gè)滿(mǎn)足更強(qiáng)的不等式的絕對(duì)值，成為非阿基米德絕對(duì)值。有了非阿基米德絕對(duì)值的概念，我們相當(dāng)于在有理數(shù)數(shù)上定義了另一種度量，于是我們可以完全仿造第二節(jié)中所討論的方法，來(lái)定義有理數(shù)的完備化過(guò)程，這樣我們會(huì)得到無(wú)窮多個(gè)新的完備數(shù)域，我們稱(chēng)他們?yōu)閜-adic數(shù)域，在這樣的數(shù)域上，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多奇妙的性質(zhì)，比如，我們可以很容易地構(gòu)造一個(gè)平面圓，使得這個(gè)圓里面的每一點(diǎn)都是它的圓心！關(guān)于非阿基米德絕對(duì)值所帶來(lái)的這些有趣的性質(zhì)，我們推薦讀者參看進(jìn)一步的文獻(xiàn)，例如參考文獻(xiàn)[1].

參考文獻(xiàn)：

[1]馮克勤.代數(shù)數(shù)論簡(jiǎn)史[M].湖南教育出版社，湖南，2002.

[2]沈燮昌.數(shù)學(xué)分析，第2冊(cè)[M].高等教育出版社，北京，2014.

[3]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講，第一冊(cè)，第1版[M].北京大學(xué)出版社北京， 1990.