王麗馨

(東北電力大學(xué) 電氣工程學(xué)院，吉林 吉林 132012)

0 引 言

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷增大，低頻振蕩已成為制約大規(guī)模電能遠(yuǎn)距離外送、威脅現(xiàn)代互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定的關(guān)鍵問題之一?？焖贉?zhǔn)確地獲取系統(tǒng)機(jī)電振蕩模式及模態(tài)信息對(duì)于大電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義[1]。

電力系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)以負(fù)荷投切等隨機(jī)擾動(dòng)為激勵(lì)，數(shù)據(jù)量豐富，且蘊(yùn)含大量系統(tǒng)實(shí)際工況的振蕩信息。隨著廣域測(cè)量系統(tǒng)在電力系統(tǒng)中迅速發(fā)展，以隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的低頻振蕩分析法越來越受到學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注[2-3]。文獻(xiàn)[4]利用頻域分解法從隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)中提取振蕩頻率、阻尼比和模態(tài)振型等信息。但對(duì)于阻尼良好的系統(tǒng)，該方法無法準(zhǔn)確辨識(shí)系統(tǒng)阻尼比，同時(shí)對(duì)于頻率接近的模式區(qū)分存在困難。Zhou N[5]等人以隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用改進(jìn)的遞歸最小二乘法提取系統(tǒng)機(jī)電振蕩信息。但該方法數(shù)值穩(wěn)定性較差。Khalilinia H[6]等人通過對(duì)獲得的隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波尺度分解從而得到系統(tǒng)模態(tài)信息。但小波函數(shù)及其參數(shù)的選擇對(duì)辨識(shí)結(jié)果影響較大。隨機(jī)子空間算法直接作用于時(shí)域數(shù)據(jù)，因而具有較好的頻率分辨率，同時(shí)在處理數(shù)據(jù)量較大以及動(dòng)態(tài)過程較復(fù)雜的系統(tǒng)方面具有較好的適應(yīng)性，成為基于量測(cè)信息參數(shù)辨識(shí)的常用方法[7-9]。但現(xiàn)有的隨機(jī)子空間算法大都需要對(duì)高維Hankel矩陣進(jìn)行SVD分解，計(jì)算量大，同時(shí)計(jì)算過程相對(duì)復(fù)雜，計(jì)算耗時(shí)長，嚴(yán)重影響了SSI算法的在線應(yīng)用。

為了進(jìn)一步提高隨機(jī)子空間算法在電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩參數(shù)識(shí)別方面的計(jì)算速率，本文提出了基于快速隨機(jī)子空間辨識(shí)法的電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩參數(shù)識(shí)別方法。利用LQ分解取代了傳統(tǒng)隨機(jī)子空間算法中的SVD分解過程，在保證模態(tài)參數(shù)辨識(shí)精度的基礎(chǔ)上，極大提高了辨識(shí)速率。仿真算例表明本文所提方法在保證了辨識(shí)精度的同時(shí)極大提高了計(jì)算速度。

1 環(huán)境激勵(lì)下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征

系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過程中，負(fù)荷波動(dòng)、新能源有功輸出的隨機(jī)性等均會(huì)給系統(tǒng)帶來隨機(jī)擾動(dòng)。以負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)為例，電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型可以用如下的隨機(jī)微分代數(shù)方程形式描述[10]：

(1)

0=g(x,y,u)

(2)

式(1)為系統(tǒng)微分方程，描述了系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)及相應(yīng)的控制裝置、負(fù)荷等的動(dòng)態(tài)過程，式(2)為系統(tǒng)的代數(shù)方程，一般由系統(tǒng)潮流方程及發(fā)電機(jī)、負(fù)荷等靜態(tài)方程組成。f和g為連續(xù)函數(shù)；x(x∈Rnx)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，如發(fā)電機(jī)功角等，y(y∈Rny)為系統(tǒng)的代數(shù)變量，如母線電壓，母線相角等，u為隨機(jī)波動(dòng)變量。

假設(shè)負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)服從(Ornstein-Uhlenbeck，OU)分布，建立負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型[11-12]：

(3)

隨機(jī)擾動(dòng)過程中，電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)未發(fā)生變化，即各臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行平衡點(diǎn)不變，則可以通過線性化系統(tǒng)狀態(tài)來近似分析系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)過程。線性化式(1)～式(3)，同時(shí)消掉代數(shù)變量y，則：

(4)

式中fx、fy分別為式(1)中對(duì)應(yīng)于x、y的雅可比矩陣；gx，gy，gu分別為式(2)中與變量x，y，u對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣。

(5)

式(5)即為負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)下，電力系統(tǒng)線性化狀態(tài)空間模型。求解得到系統(tǒng)n個(gè)振蕩模式對(duì)應(yīng)的特征值λi=σi+jωi(i=1, 2, …,n)，則系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域解析表達(dá)式為：

(6)

一般地負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)幅值較小，加之系統(tǒng)中調(diào)速器等控制器的作用，使得系統(tǒng)狀態(tài)變量中的振蕩分量幅值亦非常小，使得測(cè)量得到的系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)外在表征為雜亂無章類似噪聲的信號(hào)。但通過對(duì)式(6)分析可知，表面看似雜亂無章的類似噪聲的隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)是環(huán)境激勵(lì)驅(qū)動(dòng)下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和量測(cè)噪聲疊加的類噪聲信號(hào)，其中蘊(yùn)含了豐富的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)信息，采用合適的技術(shù)手段可以從中提取系統(tǒng)的機(jī)電振蕩信息參數(shù)，及時(shí)掌握系統(tǒng)運(yùn)行動(dòng)態(tài)。

2 基于FSSI的機(jī)電振蕩特征參數(shù)識(shí)別

在實(shí)際應(yīng)用中，量測(cè)數(shù)據(jù)在時(shí)間上都是離散的，經(jīng)離散采樣后，可得如下隨機(jī)狀態(tài)空間系統(tǒng)[13]：

(7)

式中xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量；yk∈Rl為測(cè)量得到的輸出量；wk∈Rn和vk∈Rl均為假定白噪聲，且E(wk)=E(vk)=0；A∈Rn×n和C∈Rl×n分別代表系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和輸出矩陣；Δt為采樣間隔。

對(duì)式(7)所示的隨機(jī)系統(tǒng)，由采樣時(shí)序數(shù)據(jù)組成Hankel矩陣：

(8)

式中Yp表示過去時(shí)刻數(shù)據(jù)，Yf為將來時(shí)刻數(shù)據(jù)；H∈R2li×j，i為塊矩陣行數(shù)，且要大于系統(tǒng)階數(shù)2n；j為Hankel矩陣列數(shù)；若l為系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)，則Hankel矩陣共有2li行；若量測(cè)數(shù)據(jù)樣本采樣點(diǎn)數(shù)為r，為了保證所有數(shù)據(jù)均能被放入Hankel矩陣中，必須滿足關(guān)系式j(luò)=r-2i+1。

高維Hankel矩陣的分解是影響隨機(jī)子空間辨識(shí)方法計(jì)算速率的關(guān)鍵因素，傳統(tǒng)隨機(jī)子空間利用SVD分解來處理Hankel矩陣，計(jì)算效率較低，影響了隨機(jī)子空間算法的計(jì)算速度。本文引入LQ分解代替SVD分解，有效的提高了計(jì)算效率。

將Yf投影到Y(jié)p得到正交投影矩陣，即：

Yf/Yp≡YfYp(YpYp)?Yp=Oi

(9)

式中，Oi正交投影矩陣，?表示相應(yīng)矩陣的偽逆。

利用正交投影計(jì)算得到延伸觀測(cè)矩陣，即：

(10)

以Hankel矩陣LQ分解來代替式(8)投影計(jì)算：

lilij

(11)

(12)

由式(12)可知，L21與Γi列空間是同構(gòu)的，因此在求得Hankel矩陣LQ分解的下三角矩陣L21后，即可計(jì)算出延伸觀測(cè)矩陣Γi。

進(jìn)而計(jì)算L21奇異值(SVD)分解：

(13)

延伸觀測(cè)矩陣Γi可由矩陣U的前N列確定：

Γi=U1

(14)

計(jì)算求得連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Ac及輸出矩陣Cc：

(15)

(16)

輸出矩陣Cc為延伸觀測(cè)矩陣Γi的第1行，即：

Cc=Γi(1,:)

(17)

連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Ac確定之后，對(duì)其進(jìn)行特征值分解：

Ac=ψΛψ-1

(18)

式中Λ=diag(λk)∈Rn×n，k=1,2,…,n；λk為第k階模態(tài)特征值；ψ為系統(tǒng)特征向量。

特征值與振蕩頻率和阻尼比存在下列關(guān)系：

(19)

式中：λk為系統(tǒng)第k個(gè)特征值；ωk為第k個(gè)振蕩模式的振蕩頻率；ζk為第k個(gè)振蕩模式的阻尼比。

進(jìn)而求得系統(tǒng)第k個(gè)振蕩模式的振蕩頻率及阻尼比[14]：

(20)

式中ak=Re(λk),bk=lm(λk)

系統(tǒng)的模態(tài)振型定義為輸出點(diǎn)處的系統(tǒng)特征向量：

φ=Ccψ

(21)

利用快速隨機(jī)子空間算法辨識(shí)系統(tǒng)機(jī)電振蕩模態(tài)參數(shù)，及時(shí)掌握系統(tǒng)當(dāng)前的運(yùn)行動(dòng)態(tài)，對(duì)于調(diào)度運(yùn)行人員進(jìn)行準(zhǔn)確有效的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析具有重要意義。

3 仿真分析

3.1 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)計(jì)算與分析

本節(jié)以IEEE 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)為例，對(duì)提出的基于FSSI算法的電力系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)快速識(shí)別方法進(jìn)行仿真分析。IEEE 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[15]。

圖1 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)接線

利用小干擾穩(wěn)定分析算法(Small Signal Analysis Stability, SSAT)計(jì)算系統(tǒng)基礎(chǔ)運(yùn)行方式下的機(jī)電振蕩模式，分析結(jié)果如表1所示。三個(gè)機(jī)電振蕩模式對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型如圖2所示。

表1 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)特征值分析結(jié)果

圖2 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)模態(tài)振型圖

為了驗(yàn)證本文所提方法在電力系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面的準(zhǔn)確性和有效性，為模擬實(shí)際系統(tǒng)的負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)，本文假設(shè)節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)14處的負(fù)荷以基礎(chǔ)運(yùn)行值的5%隨機(jī)波動(dòng)。

以系統(tǒng)各臺(tái)發(fā)電機(jī)的角頻率隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，在惠普Z820(CPU：2*Intel至強(qiáng)E5-2600v3，2.6 GHz；內(nèi)存：32 GB)工作站上分別利用傳統(tǒng)隨機(jī)子空間算法和本文提出的快速隨機(jī)子空間算法，針對(duì)不同長度時(shí)間段的隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。各長度數(shù)據(jù)段的CPU計(jì)算時(shí)間如表2所示。以120 s長度的發(fā)電機(jī)角頻率隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)段為例，分別利用傳統(tǒng)SSI算法和本文提出的FSSI算法辨識(shí)系統(tǒng)模態(tài)機(jī)電振蕩模態(tài)參數(shù)，分析結(jié)果如表3所示。

表2 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)CPU計(jì)算時(shí)間

表3 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

結(jié)合表2、表3及圖3分析可知，利用本文提出的FSSI算法能夠準(zhǔn)確辨識(shí)出系統(tǒng)3個(gè)機(jī)電振蕩模式，相對(duì)于傳統(tǒng)SSI算法，辨識(shí)得到的三種模式振蕩頻率及阻尼比結(jié)果與基礎(chǔ)運(yùn)行方式的機(jī)電振蕩參數(shù)更加接近；在計(jì)算速度方面，對(duì)于相同長度數(shù)據(jù)段，若數(shù)據(jù)較短，兩種方法的計(jì)算時(shí)間相差不明顯，但對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較多的情況，本文提出的方法具有較大的優(yōu)勢(shì)，CPU計(jì)算時(shí)間更少，具有更快的計(jì)算速率，能夠更好的滿足現(xiàn)代電力系統(tǒng)對(duì)安全穩(wěn)定評(píng)估快速性的要求。

以系統(tǒng)角頻率隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用本文提出的快速隨機(jī)子空間算法辨識(shí)得到系統(tǒng)振蕩頻率、阻尼比及模態(tài)振型信息。選取時(shí)長為20min隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，以10s為數(shù)據(jù)窗口，每6s滑動(dòng)一次計(jì)算窗口數(shù)據(jù)，20min內(nèi)計(jì)算統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示，三個(gè)機(jī)電振蕩模式的頻率-阻尼比關(guān)系如圖4所示。

圖3 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)CPU計(jì)算時(shí)間變化圖

表4 機(jī)電振蕩參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

結(jié)合表1和表4分析可知，利用本文提出的FSSI算法辨識(shí)得到系統(tǒng)3個(gè)機(jī)電振蕩模式的振蕩頻率分別為：0.520 8 Hz、1.173 8 Hz、0.532 2 Hz、1.203 1 Hz，基礎(chǔ)運(yùn)行方式下振蕩頻率分別為：0.532 2 Hz、1.185 6 Hz、1.194 7 Hz，統(tǒng)計(jì)均值與基礎(chǔ)運(yùn)行方式值十分接近，且標(biāo)準(zhǔn)差很??；同樣，辨識(shí)得到的阻尼比分別為1.87%、11.26%、11.69%與基礎(chǔ)運(yùn)行方式值1.68%、11.85%、11.18%接近，標(biāo)準(zhǔn)差小。

快速隨機(jī)子空間20 min內(nèi)辨識(shí)得到的頻率-阻尼比關(guān)系如圖4所示。分析圖4可知，系統(tǒng)各振蕩模式每次滑動(dòng)窗內(nèi)辨識(shí)得到的頻率和阻尼比均以基礎(chǔ)運(yùn)行值為中心分布，辨識(shí)得到的結(jié)果與基礎(chǔ)運(yùn)行值接近，辨識(shí)結(jié)果良好。

同時(shí)，圖5所示的基于角頻率隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到的模態(tài)振型反映的機(jī)組參與振蕩的信息與圖2所示的基礎(chǔ)運(yùn)行方式的模態(tài)振型形基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的快速隨機(jī)子空間方法的有效性。

圖4 4機(jī)2區(qū)域頻率-阻尼比辨識(shí)結(jié)果

圖5 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)模態(tài)辨識(shí)結(jié)果

3.2 IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[16]。

同樣，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行小干擾穩(wěn)定分析，獲取基礎(chǔ)運(yùn)行方式下系統(tǒng)機(jī)電振蕩模式。就實(shí)際系統(tǒng)而言，區(qū)間振蕩影響更為廣泛，是調(diào)度運(yùn)行人員主要關(guān)心的振蕩模式。因此，本文主要針對(duì)16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的區(qū)間振蕩模式進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)4個(gè)區(qū)間振蕩模式參數(shù)如表5所示，模態(tài)振型如圖6所示。

與IEEE 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)分析類似，假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)所有負(fù)荷均以基礎(chǔ)運(yùn)行值的5%隨機(jī)波動(dòng)，分別利用傳統(tǒng)SSI算法和本文提出的FSSI算法，以角頻率隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)辨識(shí)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。不同長度數(shù)據(jù)段的CPU計(jì)算時(shí)間如表6所示。

表5 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)特征值分析結(jié)果

表6 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)CPU計(jì)算時(shí)間

圖7 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)CPU計(jì)算時(shí)間變化圖

結(jié)合表6和圖7分析可知，由于16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)相對(duì)于4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)的系統(tǒng)規(guī)模大，兩種辨識(shí)算法所需的時(shí)間均有所增加，但本文提出的快速隨機(jī)子空間法相對(duì)于傳統(tǒng)的隨機(jī)子空間法的計(jì)算時(shí)間要少，計(jì)算速度快。

以20 min角頻率隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，10 s為數(shù)據(jù)窗口，6s滑動(dòng)一次窗口數(shù)據(jù)，16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)20 min辨識(shí)得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表7所示，頻率-阻尼比關(guān)系如圖8所示。

分析表7可知，快速SSI辨識(shí)得到的4個(gè)區(qū)間振蕩的振蕩頻率和阻尼比與基礎(chǔ)運(yùn)行方式下的模態(tài)參數(shù)十分接近，同時(shí)結(jié)合圖8亦可以看出，每次滑動(dòng)窗內(nèi)辨識(shí)得到的頻率和阻尼比以基礎(chǔ)運(yùn)行值為中心，在其周圍分布，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提方法在系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方面的有效性和準(zhǔn)確性。

表7 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖8 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)頻率-阻尼比辨識(shí)結(jié)果

4 結(jié)束語

本文推導(dǎo)了環(huán)境激勵(lì)下電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式，利用快速隨機(jī)子空間算法辨識(shí)系統(tǒng)振蕩頻率、阻尼比及模態(tài)振型，仿真分析與計(jì)算表明：

(1)環(huán)境激勵(lì)作用下的系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)蘊(yùn)含豐富的動(dòng)態(tài)信息，采用合適的參數(shù)識(shí)別技術(shù)能夠從中提取出系統(tǒng)機(jī)電振蕩參數(shù)；

(2)與傳統(tǒng)隨機(jī)子空間相比，本文提出的快速隨機(jī)子空間算法以LQ分解法為基礎(chǔ)，降低了CPU計(jì)算時(shí)間，有效提高了辨識(shí)速度，更好的滿足了電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定評(píng)估快速性的要求；

(3)快速辨識(shí)系統(tǒng)機(jī)電振蕩參數(shù)，及時(shí)掌握系統(tǒng)動(dòng)態(tài)信息，為調(diào)度運(yùn)行人員采取及時(shí)有效的控制措施提供依據(jù)。

電力系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的結(jié)果是為了更好的實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析控制，如何根據(jù)辨識(shí)結(jié)果采取有針對(duì)性的控制措施是下一步需要考慮的問題。