侯代忠 喻 平

(1.廣西師范學(xué)院 530001 2.南京師范大學(xué) 210097)

教育部頒發(fā)了《普通高中課程方案(2017年版)》，指出各學(xué)科基于學(xué)科本質(zhì)凝練本學(xué)科的核心素養(yǎng)，明確學(xué)生在學(xué)習(xí)了該學(xué)科課程后應(yīng)達(dá)到的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.在同時頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，提出了6個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.如何在課程實施中實現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)，成為當(dāng)下教學(xué)研究一個高度關(guān)注的問題.

學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，是從以知識為中心的教學(xué)目標(biāo)向能力為核心的教學(xué)目標(biāo)的轉(zhuǎn)型，因而教學(xué)不應(yīng)當(dāng)是一種單純的知識教學(xué)，而應(yīng)當(dāng)是一種以發(fā)展學(xué)生能力為主導(dǎo)的教學(xué)，其中，文化元素起著十分重要的作用.在這個教育背景下，教學(xué)應(yīng)當(dāng)做到知識教學(xué)與文化教學(xué)的結(jié)合.[1]在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須考慮數(shù)學(xué)文化，因為它扮演著一個不可缺少的角色.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中明確指出：“數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動.在教學(xué)活動中，教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)；將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生的視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”

如何將數(shù)學(xué)文化元素融入教學(xué)中？我們認(rèn)為，教師在教學(xué)設(shè)計時要思考三個問題：①為什么要研究這個知識？②是怎么研究這個知識的？③這個知識有什么價值和意義？思考這三個問題，就能有效地提練數(shù)學(xué)文化.[2]

第一，為什么要研究這個問題？必然與數(shù)學(xué)史相關(guān)，你就會在數(shù)學(xué)史中去尋求答案.尋找產(chǎn)生這個問題的緣由，從社會需求還是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展需求兩個方面來思考，從而揭示呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化.第二，怎么研究這個問題的？這當(dāng)然與數(shù)學(xué)思想方法相關(guān)，數(shù)學(xué)思想方法是文化的精髓，通過揭示數(shù)學(xué)思想方法，宣揚(yáng)科學(xué)家的理性精神、求實態(tài)度，從而彰顯深邃的數(shù)學(xué)文化.第三，這個知識有什么價值和意義？你就會思考這個知識有什么科學(xué)價值？有什么社會、經(jīng)濟(jì)建設(shè)應(yīng)用價值？有什么學(xué)科美學(xué)價值？有什么思維訓(xùn)練價值等等，從而散發(fā)濃郁的數(shù)學(xué)文化.

1 教學(xué)設(shè)計中自問1：為什么要研究這個問題

教師在教學(xué)設(shè)計時要思考的第一個問題是：為什么要研究這個問題？或者說人們?yōu)槭裁匆芯窟@個問題？追根溯源，自然會回歸到數(shù)學(xué)的歷史中去尋因.

數(shù)學(xué)史是一部記錄，它描繪了數(shù)學(xué)這顆大樹的主干與枝葉，記載了這顆大樹成長的歷程，銘刻了這顆大樹經(jīng)歷的風(fēng)風(fēng)雨雨；數(shù)學(xué)史是一部傳記，一部數(shù)學(xué)思想史，它記錄著數(shù)學(xué)家探究問題的歷程和艱辛，飽含著數(shù)學(xué)家追求真理的信念和精神，貫穿著潛在于數(shù)學(xué)理論深層的數(shù)學(xué)思想，涵蓋著發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的方法.同時，數(shù)學(xué)史又留下了許多美麗的故事.將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識的有機(jī)融合，是實施數(shù)學(xué)文化教學(xué)的極佳材料.這種滲透可以體現(xiàn)在概念教學(xué)、命題教學(xué)和解題教學(xué)的各個層面，也可以在課外活動中進(jìn)行.

教材的編制往往是從知識的邏輯結(jié)構(gòu)來組織內(nèi)容的，教材中的知識都是以結(jié)果的形式陳述，并不反映這個知識的產(chǎn)生過程.因此，教材中知識展示的順序，往往與歷史上產(chǎn)生這個知識的順序是相反的.在教學(xué)設(shè)計中，教師從“為什么要研究這個問題”的角度思考，就能厘清知識產(chǎn)生緣由，還原知識形成的過程.

例如，“合并同類項”的教學(xué)，按照教材的結(jié)構(gòu)，一般是先講“同類項”概念，然后再講合并同類項的方法.如果按照教材上的順序處理教學(xué)內(nèi)容，那么教學(xué)設(shè)計就是注重知識的“科學(xué)性”而忽視了知識的“文化性”.下面的教學(xué)設(shè)計反其道而行之，彰顯了知識的文化特色.

案例1合并同類項的教學(xué)

1．設(shè)置問題情境

教師提出問題：能不能使解題過程簡捷些？

學(xué)生討論后得到思路：把x2y看成整體，即先計算x2y的值再代入.(解略)

教師再問：能不能使上面的解題過程再簡化呢？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：-4x2y，2x2y，-7x2y中的字母部分完全相同，不論x，y取什么樣的值，不同項中的x，y都表示同一個數(shù)，于是用□表示x2y，那么原式即為：-4□+2□-7□.

根據(jù)乘法對于加法的分配律，可以化簡為：(-4+2-7)□=-9x2y.然后再代入計算，即先合并，再計算.(至此，學(xué)生已發(fā)現(xiàn)了合并同類項法則)

2．揭示同類項概念的內(nèi)涵

圍繞以下問題討論本題的解法：怎樣才能得到簡捷的解法？(使用“先合并，再代入”的方法)

教師提問；為什么能把3x3，9x3，-4x3合并處理呢？為什么不能把x與x3合并處理呢？那么什么樣的項才能“合并”呢？(字母部分完全相同)

教師追問：什么叫做“字母部分完全相同”？為什么要求字母部分完全相同？(因為只有這樣，才能保證字母部分表示同一個數(shù))

3．課堂練習(xí)

把下列式中可以合并的項盡可能地合并起來，并對解題過程進(jìn)行討論(哪些項可以合并？判別標(biāo)準(zhǔn)是什么？怎樣合并？合并的根據(jù)是什么？)(題目略)

4．概括并給出同類項的定義和合并同類項的法則

練習(xí)(略).

這個教案似乎沒有情境，但數(shù)學(xué)問題本身就是情境，而教案的鮮明特征是它顛覆了傳統(tǒng)教學(xué)中先講“同類項”概念，然后再講“合并同類項”法則的模式，而這樣的順序其實并不是知識發(fā)生的順序，而且知識表述的邏輯順序.這種表述方式掩蓋了概念產(chǎn)生的問題背景，使學(xué)生難以投入到學(xué)習(xí)活動中去，在很多時候?qū)W生只能通過死背和大量的練習(xí)來代替理解.

上面教案的成功之處就在于通過設(shè)計一個初始問題，讓學(xué)生在解決這個問題的過程中，進(jìn)行思考、創(chuàng)造，在得到“先合并，再代入”的方法后，進(jìn)一步抽象出同類項的概念，從而再現(xiàn)了知識產(chǎn)生的過程.同類項概念產(chǎn)生，是在為了簡化解決問題的方案中產(chǎn)生的，并不是先定義了同類項概念，再研究怎樣合并同類項，從而使學(xué)生明白了“概念是為了解決問題而定義的”道理.這樣的教學(xué)設(shè)計理念，不是把知識的結(jié)果直接交給學(xué)生，而是在揭示隱含在知識中的歷史文化，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶.

一般說來，思考“為什么要研究這個問題”有兩種途徑，一是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需求，即隨著知識的發(fā)展而創(chuàng)生新的知識；二是解決問題的需要，即為了解決一個問題而引入新的概念.這兩種途徑都與數(shù)學(xué)史息息相關(guān)，而且，數(shù)學(xué)史往往有許多有趣的故事，將這些故事融入課堂，就是數(shù)學(xué)文化的再現(xiàn)，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有積極的作用.

幾何定理的產(chǎn)生，有很多情形是由圖形的變式得來的.這種變式，往往會把看起來不相關(guān)的兩個命題聯(lián)系到了一起，從而溝通了兩個命題之間的聯(lián)系，同時也喑示了“為什么要研究這個問題”的一種思考.

案例2弦切角定理的教學(xué)[3]

1.問題引入

觀察 如圖1，以點D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)直線DE，同時保證直線BC與DE的交點落在圓周上.當(dāng)DE變?yōu)閳A的切線時(如圖2)，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

圖1

圖2

2.學(xué)生探究

學(xué)生圍繞下面問題思考：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圖1中∠BCE=∠A.在圖2中，DE是切線，∠BCE=∠A仍然成立嗎？

由于圖2是圖1的極限情形，于是可以得到猜想：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CE是⊙O的切線，則∠BCE=∠A.

3.證明猜想(略)

4.定義弦切角(略)

對于一些著名的定理，為什么人們不厭其煩地研究對它的證明？這是因為這個定理太美，它的證明本身就蘊(yùn)涵了深遂的思想和奇異的方法.譬如“勾股定理”的教學(xué)，許多教師會考慮設(shè)計一條發(fā)現(xiàn)該定理之路.在課堂上發(fā)給學(xué)生一些工作單，邊長為3，4，5等一系列直角三角形，讓學(xué)生通過測量、計算、填表的實驗方法去發(fā)現(xiàn)直角三角形三條邊之間的平方關(guān)系.但是反思這種設(shè)計會發(fā)現(xiàn)它并不是真正意義上的發(fā)現(xiàn)，而是教師事先設(shè)計的一條路讓學(xué)生去走，毫無探究的元素.其實，勾股定理的教學(xué)重點應(yīng)當(dāng)放到證明方面，因為它的證明方法、文化內(nèi)涵才是真正有價值的東西，學(xué)生在學(xué)習(xí)中可以去探究不同的證明方法，可以欣賞中國數(shù)學(xué)家做出的面積出入相補(bǔ)方法，趙爽的代數(shù)證明方法，并與幾何原本中的面積證明方法進(jìn)行比較，不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的思維，同時也能感受數(shù)學(xué)文化，提高民族自豪感.

2 教學(xué)設(shè)計中的自問2：這個問題是怎么研究的

教師在教學(xué)設(shè)計時要思考的第二個問題是：這個問題是怎么研究的？或者說人們是怎么研究這個問題的？研究數(shù)學(xué)問題必然與數(shù)學(xué)方法有關(guān)，與數(shù)學(xué)思想相聯(lián).在教學(xué)中通過知識的生成過程或者命題的證實過程，充分揭示蘊(yùn)涵在知識中的數(shù)學(xué)思想方法，就是在展示數(shù)學(xué)的文化元素.

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法往往伴隨著個別知識而出現(xiàn)，但它更多的表現(xiàn)則是扮演著對一類知識的統(tǒng)攝和引領(lǐng)角色，是一類知識共性的理性抽象.如果把數(shù)學(xué)理論知識比喻為一顆大樹，那么這顆樹的根就是數(shù)學(xué)思想，它為大樹的生成提供營養(yǎng)，支撐著大樹的成長.事實上，數(shù)學(xué)思想的功能已不囿于數(shù)學(xué)自身體系內(nèi)部，它的許多功能本身就具有一般科學(xué)方法論的意義，譬如：化歸思想、極限思想、函數(shù)思想、統(tǒng)計思想等，領(lǐng)悟這些思想，對于學(xué)習(xí)知識能力的遷移、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展都是十分有益的.

例如，初中一年級在講有理數(shù)內(nèi)容過程中，實際上是由兩條線展開的，一條是從代數(shù)角度討論“數(shù)”的性質(zhì)，一條是從幾何角度討論“點”的性質(zhì).通過建立數(shù)軸將兩者聯(lián)系起來，于是研究有理數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為研究圖形中對應(yīng)點的問題，反之亦然.這里面蘊(yùn)涵的是化歸、轉(zhuǎn)化思想，它不僅揭示了研究有理數(shù)的方法，而且體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.在教學(xué)中，如果教師不揭開這層面紗，就難以使學(xué)生領(lǐng)略到潛藏在知識深層的文化元素.

案例3虛數(shù)的產(chǎn)生

教師提出問題：在解一元二次或一元三次方程時，出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開方的問題，也就是說，是否存在一種數(shù)，它的平方為負(fù)數(shù).這個問題的本質(zhì)是：是否存在一個數(shù)，它的平方為-1？

教師講述歷史：笛卡爾對這個概念給出了明確的界定，他在其著作《幾何學(xué)》中將負(fù)數(shù)開平方后得到的數(shù)稱為“imaginary figure”，意為“虛無縹緲的數(shù)”.1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其論文中首次用字母i，它滿足：i2=-1，把i稱為虛數(shù)單位.虛數(shù)也就由此而來，從而產(chǎn)生了復(fù)數(shù)a+bi的概念.

那么，復(fù)數(shù)與實數(shù)有什么關(guān)系呢？

高斯在平面直角系中建立了點與復(fù)數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，提出用數(shù)偶(a,b)來表示a+bi，這樣就使平面直角坐標(biāo)中每一個點對應(yīng)一個復(fù)數(shù),于是溝通了實數(shù)與復(fù)數(shù)的聯(lián)系.1797年，挪威數(shù)學(xué)家韋賽爾引入向量來表示復(fù)數(shù)，高斯對其進(jìn)一步完善，得到了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法法則，最后由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓給出了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，并驗證運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律和分配律.

復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史，反映出了這個概念產(chǎn)生緣由，同時看到對這個概念研究的方法，它是一種典型的化歸思想，將虛數(shù)與實數(shù)之間通過坐標(biāo)建立聯(lián)系，從而將復(fù)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運(yùn)算，這是教學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)的思想方法主線.

汪曉勤教授對函數(shù)奇偶性概念的產(chǎn)生作了考源.[4]1727年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在提交給圣彼得堡科學(xué)院的旨在解決“反彈道問題”的一篇論文中，首次提出了奇、偶函數(shù)的概念.若用-x代替x，函數(shù)保持不變，則稱這樣的函數(shù)為偶函數(shù).歐拉列舉了三類偶函數(shù)：

若用-x代替x，函數(shù)變號，則稱這樣的函數(shù)為奇函數(shù).歐拉也列舉了三類奇函數(shù)：

接下來，歐拉討論了奇偶函數(shù)的性質(zhì)：

盡管歐拉在1748年出版的名著《無窮分析引論》中對函數(shù)奇偶性概念有所擴(kuò)充，但只是針對代數(shù)函數(shù)而言，未涉及三角函數(shù)、反三角函數(shù)等，即沒有把這個概念一般化.

從這個案例可以看到，大數(shù)學(xué)家在研究問題時也是從特殊情形入手的，從特殊到一般的研究問題方法，應(yīng)當(dāng)滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，這既符合概念產(chǎn)生的歷史過程，也符合學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，同時也是訓(xùn)練和提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效手段.因此，在教學(xué)設(shè)計時首先要思考一個問題：是否可以先將問題特殊化再引申為一般情形？

3 教學(xué)設(shè)計中自問3：這個知識的價值何在

除了數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法之外，數(shù)學(xué)文化還包括數(shù)學(xué)精神與信念、數(shù)學(xué)價值觀、數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)應(yīng)用.數(shù)學(xué)精神、信念是數(shù)學(xué)家共同體在追求真理、逼進(jìn)真理的科學(xué)活動中所形成的獨(dú)特的精神氣質(zhì)和堅定信念；數(shù)學(xué)價值觀是人們對數(shù)學(xué)本體功能和外在功能的認(rèn)識，是人們對數(shù)學(xué)的價值判斷；數(shù)學(xué)的審美既是一種理性的精神也是一種人文素養(yǎng)，它能使人們?nèi)ヮI(lǐng)略數(shù)學(xué)知識的深刻性，欣賞數(shù)學(xué)知識的完美性.數(shù)學(xué)應(yīng)用表現(xiàn)在數(shù)學(xué)文化向社會滲透而生成其他亞文化，數(shù)學(xué)及其轉(zhuǎn)化后的技術(shù)在進(jìn)入社會文化的各子系統(tǒng)后表現(xiàn)出強(qiáng)大的文化功能，并給社會帶來了重大的社會效益和經(jīng)濟(jì)效益.

教師在教學(xué)設(shè)計時要思考的第三個問題是：這個知識的價值何在？

第一，思考：這個問題有什么科學(xué)價值？

這里說的“科學(xué)價值”是一種狹義的理解，指這個知識在教材體系或者教學(xué)單元中的作用和價值.數(shù)學(xué)知識總是以邏輯關(guān)系構(gòu)成體系，表現(xiàn)出網(wǎng)絡(luò)形式.在某個知識網(wǎng)絡(luò)中，如果一個知識點與其他諸多知識都有聯(lián)系(按徐利治先生關(guān)于概念抽象度的定義，入度和出度大的概念)，那么說明這個知識點的基本性和重要性程度都比較高，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)高度關(guān)注.

教師在備課時，如果目光只是盯住本節(jié)課要教的內(nèi)容，而不是一種整體考察，沒有理清知識點之間的邏輯關(guān)系，那么就很難深度把握知識的內(nèi)涵.例如，在講授“分式的加減法”內(nèi)容時，是否想過一個問題：教材中為什么把這個內(nèi)容放到分式的乘除法后面？按一般的理解，應(yīng)當(dāng)是先講加減法再講乘除法.顯然，這個問題不理清楚，怎么能深入把握知識之間的聯(lián)系及其它的本質(zhì)屬性.當(dāng)下提倡的“單元備課”，本質(zhì)上就是希望教師厘清知識的“科學(xué)價值”.

第二，思考：這個知識有什么應(yīng)用價值？

包括數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，在其他學(xué)科中的應(yīng)用.一般說來，凡是有現(xiàn)實生活背景或者科學(xué)背景的概念、命題，它們都有其應(yīng)用價值，因此，在這類知識的教學(xué)設(shè)計時，可以考慮加入應(yīng)用問題.但要注意的是，問題設(shè)置應(yīng)當(dāng)是真實的而非虛構(gòu)的情境.一般說來，應(yīng)用問題的設(shè)計有兩種思路，一是從現(xiàn)實問題抽象出數(shù)學(xué)問題，二是將數(shù)學(xué)結(jié)論用于解決現(xiàn)實問題.

案例4圓面積公式的教學(xué)

圓面積公式本身很簡單，學(xué)生在學(xué)習(xí)了這個公式之后，如果讓學(xué)生練習(xí)的是限于“求一個給出已知半徑的圓的面積或已知面積求圓的半徑”等一類題目，那么學(xué)生的知識就沒有從數(shù)學(xué)內(nèi)部遷移到其他情境.顯然，這種教學(xué)設(shè)計的“科學(xué)味”太重而“文化味”太淡.如果設(shè)計如下的一些應(yīng)用問題，就會體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和文化功能.

(1)兩個厚度相同的圓餅，一個半徑為10cm，售價為3元，另一個半徑為15cm，售價為4元，問買哪一種餅更劃算？

(2)現(xiàn)要將一塊半徑為20m的圓形土地分為面積相等的兩部分，用其中一部分作為花園.請你設(shè)計幾種方案.

第三，思考：這個問題有什么美學(xué)價值？

眾所周知，數(shù)學(xué)美主要指數(shù)學(xué)的對稱美、簡單美、奇異美、和諧美，這些美主要針對數(shù)學(xué)知識的最終結(jié)果表現(xiàn)形式.另一方面，還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思維的美.徐遲在其著名的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》中，對數(shù)學(xué)家陳景潤一串美妙公式，他用了一段優(yōu)美的文字描寫：“這些是人類思維的花朵.這些是空谷幽蘭、高寒杜鵑、老林中的人參、冰山上的雪蓮、絕頂上的靈芝、抽象思維的牡丹.”這是對數(shù)學(xué)結(jié)果美的精彩描述，更是對數(shù)學(xué)思維美的生動刻畫.

要注意的是，領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美要讓學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的自己認(rèn)可，而不是由教師把美的理解強(qiáng)加給學(xué)生.美與丑是對立的概念，要讓學(xué)生認(rèn)可美就得讓他們能夠識別丑，這種對立統(tǒng)一觀才能培養(yǎng)學(xué)生辯證的思維，發(fā)展他們追求美的意識和能力.

案例5黃金分割的教學(xué)

教師給學(xué)生觀察幾幅畫，畫面是一只鳥站在樹枝上.將這只鳥放置在畫中不同位置，讓學(xué)生觀察、討論，從而辨析構(gòu)圖最好的一幅畫.

教學(xué)實踐證明，學(xué)生的意見形成高度一致，就是鳥位于畫中橫線黃金分割點與縱線黃金分割點相交的地方，其構(gòu)圖是最美的.這是學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的認(rèn)可，而不是教師用黃金分割方法把一條線段分為兩個部分，再把這兩條線段的比例描述得多么地美麗，要學(xué)生承認(rèn)、認(rèn)同.

讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去欣賞數(shù)學(xué)之美，用數(shù)學(xué)的眼光去解析自然之美，這才是數(shù)學(xué)美教學(xué)的真正目的.

第四，思考：這個知識有什么思維訓(xùn)練價值？

數(shù)學(xué)教育的目的之一是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本表現(xiàn)形式就是數(shù)學(xué)思維的不同形式展現(xiàn).在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意，思維訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)是多維的、全面的，而不是單一的、片面的.要做到邏輯推理與合情推理并重，證實方法與證偽方法協(xié)同.

案例6求證：sin2α+sin2β-cos2αsin2β+cos2αcos2β=1

這道題目本來是一個錯題，也就是這個等式是不能成立的.一般說來，學(xué)生開始都是去證明等式成立，但是經(jīng)過嘗試之后，并不能解決這個問題.在學(xué)生從正面證實不能成功的適當(dāng)時候，教師引導(dǎo)學(xué)生從反而思考，即通過證偽來判斷這個等式不能成立.學(xué)生通過思考，會采用舉反例的方法推翻這個命題.

教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：能否把這個等式進(jìn)行改造，使它能夠成立？學(xué)生通過探究，會使用不同的方法修正命題，得到一個正確的恒等式.

(1)由于原來的題目中有cos2αsin2β和cos2α·cos2β兩者形式不對稱，如果從數(shù)學(xué)對稱美的角度思考，容易想到將前項cos2α變?yōu)閟in2α，此時等式可能成立.經(jīng)過驗證這個等式的的確是成立的.

(2)可由構(gòu)造法探究等式.因為sin2β+cos2β=1，

所以cos2α(sin2β+cos2β)=cos2α=1-sin2α，

所以sin2α+sin2β(1-sin2α)+cos2αcos2β=1.

所以得到恒等式：

sin2α+sin2β-sin2βsin2α+cos2αcos2β=1.

這節(jié)課將證偽的思想融入課堂中，教學(xué)過程中證實與證偽相得益彰，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的特殊價值.