段志貴

(鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 224002)

構(gòu)造方法作為一種數(shù)學(xué)方法，能夠具體反映出在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中所表現(xiàn)出來的創(chuàng)造性思維[1]．構(gòu)造法解題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論的特征，用條件中的元素為“原件”，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對象、一種新的數(shù)學(xué)形式，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決[2]．

不同于一般的邏輯方法，構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維．這一思維體現(xiàn)在當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題在使用通常辦法，按定勢思維去解決很難奏效時，依據(jù)問題的相關(guān)特征或性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察、分析、解釋對象，抓住反映問題條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握問題的背景、結(jié)構(gòu)等關(guān)系上的特點(diǎn)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的新的數(shù)學(xué)對象，或構(gòu)造出一種新的問題形式．通過構(gòu)造，使得原問題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象(或問題形式)中清楚地表現(xiàn)出來，從而突破思維瓶頸，借助該數(shù)學(xué)對象(或問題形式)簡捷地解決問題．

1 挖掘背景構(gòu)造，讓解題思路明晰

許多問題的編擬都有一些特定的背景，要么是某個概念或數(shù)學(xué)公式，要么是某個已經(jīng)解決了的實(shí)際問題，要么是一個基本思想的應(yīng)用等[3]．有些問題,當(dāng)孤立地運(yùn)用題設(shè)條件難以獲得解題思路時,不妨把所考慮的問題置于特定的背景下,構(gòu)造原題的原形,往往可得到簡捷巧妙的解法．構(gòu)造法往往要通過仔細(xì)觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)問題各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件，因此構(gòu)造法體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)的思想．

例1已知a，b，c，x都是實(shí)數(shù), 且a

分析x-a的幾何意義是，在數(shù)軸上表示x與a兩數(shù)之間的距離，因此要求x-a+x-b+x-c的最小值就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)x,使其到a,b,c的距離之和最短．當(dāng)x取在b以外的地方時，三條線段x-a，x-b，x-c都有重疊部分,所以當(dāng)x取在b點(diǎn)時x-a+x-b+x-c有最小值，最小值為c-a.

分析構(gòu)造數(shù)列模型

所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．

故an>0(其中n∈N+)，即原不等式得證．

對于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時可構(gòu)造有關(guān)數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決．具體地說，欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的不等式f(n)>g(n)，可以構(gòu)造數(shù)列模型an=f(n)-g(n)，證明數(shù)列{an}是單調(diào)遞增，且a1>0．當(dāng)然本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法或其它方法進(jìn)行證明，但相比之下，用構(gòu)造數(shù)列模型去證，顯然更為簡潔．

分析由題設(shè)條件，可以作一個三度(長度、寬度和高度)分別為cosα,cosβ,cosγ的長方體，原問題就可以建立在這個長方體內(nèi)進(jìn)行討論和證明了．

圖1

由于長方體一條對角線和與它過同一頂點(diǎn)的三條棱所成角的余弦值的平方和等于1，為此可構(gòu)造一個長方體ABCD-A1B1C1D1，如圖1所示，使∠C1AD=α,∠C1AB=β,∠C1AA1=γ.設(shè)AD=a,AB=b,AA1=c，則

由基本不等式，得

2 數(shù)形轉(zhuǎn)換構(gòu)造，讓解題云開霧散

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想方法．在解題中，數(shù)與形的轉(zhuǎn)換經(jīng)常用到．通過數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造某種數(shù)學(xué)形式，使條件與結(jié)論的關(guān)系很簡潔明了的展現(xiàn)出來，直觀、具體，從而使問題得到解決．

圖2

例4證明sin 5°+sin 77°+sin 149°+sin 221°+sin 293°=0.

分析此題若作為“三角”問題來處理，當(dāng)然也可以證出來，但從題中的數(shù)量特征來看，發(fā)現(xiàn)這些角都依次相差72°，聯(lián)想到正五邊形的內(nèi)角關(guān)系，由此構(gòu)造一個正五邊形，如圖2所示．

這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現(xiàn)了題中角度的數(shù)量特征.需要解題者具有敏銳的觀察力與想象能力.如果沒有一定的建模訓(xùn)練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的.

>sin2x+sin2y+sin2z

分析先化簡結(jié)論得

即

圖3

分析此題用常規(guī)方法求解，較為繁瑣，轉(zhuǎn)換思維視角，依條件構(gòu)造解幾模型，可獲得新穎別致的解法．將原函數(shù)式變形為

圖4

3 透析結(jié)構(gòu)構(gòu)造，讓解題觸類旁通

構(gòu)造法體現(xiàn)了類比的思想，為了找出解題途徑，要聯(lián)系已有知識中與之類似的或與之相關(guān)的問題，從而為構(gòu)造模型提供參照對象．?dāng)?shù)學(xué)解題時,不妨先看看比比，察覺面對的問題與頭腦中的“已知”之間在結(jié)構(gòu)、規(guī)律等方面的相似因素,通過聯(lián)想，類比構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型,找到解決問題的路徑．

分析此題x，y分離在兩個等式之中，看似無從著手，但深入研究已知條件，可以發(fā)現(xiàn)兩個等式有一些相似的地方．事實(shí)上，把第二個等式進(jìn)行適當(dāng)變形可得：

(2y)3+sin 2y+2a=0，

與x3+sinx-2a=0相比較，容易發(fā)現(xiàn)兩式結(jié)構(gòu)相似，x和2y居于相同的“角色”．自然想到構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+sinx，則兩個條件分別變?yōu)椋?/p>

f(x)=2a和f(2y)=-2a，即f(x)=-f(2y)，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+sinx是奇函數(shù)，

所以有f(x)=f(-2y)，

f(x)是單調(diào)遞增的函數(shù)，

所以有x=-2y，即x+2y=0，

因此，cos(x+2y)=1.

主成分分析也稱主分量分析，旨在利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)。在用統(tǒng)計方法研究多變量問題時，變量太多會增加計算量和增加分析問題的復(fù)雜性，人們希望在進(jìn)行定量分析的過程中，涉及的變量較少，得到的信息量較多。希望用較少的變量去解釋原來數(shù)據(jù)中的大部分變量，將許多相關(guān)性很高的變量轉(zhuǎn)化成彼此相互獨(dú)立或不相關(guān)的變量。通常是選出比原始變量個數(shù)少，能解釋大部分?jǐn)?shù)據(jù)中變量的幾個新變量，即所謂主成分，并用以解釋數(shù)據(jù)的綜合性指標(biāo)。本文應(yīng)用SPSS軟件針對表1所列15個指標(biāo)應(yīng)用主成分分析法分析，以找出15個指標(biāo)中的內(nèi)在聯(lián)系，并加以總結(jié)歸納。

通過化簡去掉了根號，即

4 運(yùn)用化歸構(gòu)造，讓解題沖出重圍

構(gòu)造法還體現(xiàn)了化歸的思想，表現(xiàn)在把一個個零散的發(fā)現(xiàn)由表及里、由淺入深地集中和聯(lián)系起來，通過恰當(dāng)?shù)姆椒右蕴幚?，化歸為已有的認(rèn)識，自然形成了構(gòu)造模型的方法．事實(shí)上，有些問題生疏隱晦，按其本來面目無從入手．這時，解題者應(yīng)充分把握問題的本質(zhì)，并對問題作一番提煉、抽象與純化，對其進(jìn)行恰當(dāng)賦義，化歸為一個全新的數(shù)學(xué)問題．新的數(shù)學(xué)問題往往超越了原問題的背景或意境，提供了更廣闊的思維空間，為問題最終獲得解決架設(shè)了一條通道.

所以函數(shù)的最大值為2,最小值為0.

可以看到，利用三角函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行構(gòu)造，可以巧妙地擺脫問題中根號帶來的困惑.

例11從6對老搭檔運(yùn)動員中選派5名出國參賽，要求被選的運(yùn)動員任意兩名都不是老搭檔，求有多少種不同的選派方法？

圖5

分析構(gòu)造六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，如圖5所示，用6種不同的顏色給六棱柱的12個頂點(diǎn)染色，使得同一側(cè)棱的兩端點(diǎn)同色，用來表示一對老搭檔運(yùn)動員．于是問題被巧妙地化歸為：求從12個著色點(diǎn)中任取5個不同色的點(diǎn)的不同取法即可．這可分兩個步驟完成：

故由分步乘法計數(shù)原理，完成這件事共有6×32=192種方法，即選派5名運(yùn)動員共有192種方法．

例12求r元方程x1+x2+…+xr=n非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)．

分析解決這個問題，我們可以設(shè)計一個適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題模型，把問題直接化歸到不重組合問題上，即：

把n個不加區(qū)分的球全部放入r個盒子里，每個盒子內(nèi)的球數(shù)不限，也可以有空盒子，共有幾種不同放法？

設(shè)想n個球放在一條直線上，如圖6所示，在兩邊插上固定擋板A、B．然后利用r-1個活動板插入球與球或球與擋板之間的空隙(例如C、D、E…)．我們把從A板開始的每相鄰兩個擋板間的球數(shù)順次記為x1，x2,…,xr．這就是方程的一組解．

圖6

構(gòu)造法解題的非常規(guī)性與創(chuàng)造性，使得常常需要非邏輯思維的參與，才能取得關(guān)鍵性的進(jìn)展[5],因此，直覺、靈感、想像等思維活動在構(gòu)造解題中往往不可或缺. 同時，上述構(gòu)造策略的揭示與方法的選取，也只是為了討論問題的方便，具體解題時還需綜合考慮問題本身相關(guān)的多個因素．有的問題可以直接構(gòu)造，有的則需要間接構(gòu)造；有的需要構(gòu)造條件，有的則需要構(gòu)造反例；有的要考慮圖形的構(gòu)造，有的則著力于變量間關(guān)系的構(gòu)造．總言之，構(gòu)造法解題并無定法，或許還要滲透著猜想、試驗(yàn)、歸納、類比、分類等基本的問題解決策略.然后，構(gòu)造法卻也是有規(guī)律可循的，相信通過深入剖析問題所給背景與結(jié)構(gòu)，靈活采用數(shù)形結(jié)合、建?；瘹w等數(shù)學(xué)思想，借助于構(gòu)造法，一定會突破思維瓶頸，為順利快捷地完成解題任務(wù)創(chuàng)造有利的條件，奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)．