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        2018年高考數(shù)學(xué)文化試題的評析與教學(xué)建議

        2018-10-25 01:14:58李汝雁郭要紅
        數(shù)學(xué)通報 2018年9期
        關(guān)鍵詞:評析試題數(shù)學(xué)知識

        李汝雁 郭要紅

        (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 241000)

        數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點,以及它們的形成和發(fā)展,其主要涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等.[1]《2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容》中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科明確提出了“增加數(shù)學(xué)文化”的要求.[2]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把“注重數(shù)學(xué)文化的滲透”和“斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審關(guān)價值”作為高中數(shù)學(xué)課程基本理念之一.[3]彰顯數(shù)學(xué)文化的命題在高考中也就尤為必要.對2018年高考數(shù)學(xué)文化試題進行剖析,一方面為后續(xù)高考命題者命制出素材更加豐富和題型更加新穎的試題提供啟發(fā).另一方面,為廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師更合理地利用教材進行數(shù)學(xué)文化的教學(xué)提供可借鑒的方法.

        1 數(shù)學(xué)文化試題評析

        據(jù)統(tǒng)計,2018年的13套高考試卷中有8套試卷出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化試題共6道,為了更直接地體會高考試卷中的數(shù)學(xué)文化試題,列表如下(表1):

        表1 2018年高考試卷中數(shù)學(xué)文化試題

        從上述統(tǒng)計結(jié)果可以看出2018年的數(shù)學(xué)文化試題存在如下特征:第一,從題型來看,均為選擇題和填空題,未涉及到計算題與證明題;第二,從知識點的分布來看,涉及數(shù)列、概率、三視圖等;第三,從題目來源來看,包括以《九章算術(shù)》、《張邱建算經(jīng)》等中國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作中的數(shù)學(xué)名題,以及國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系和實際生產(chǎn)生活的內(nèi)容等為背景.

        通過對2018年高考試卷的分析,發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)文化試題的命制來源有以下幾種,下面分別展開論述.

        1.1 以國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果為背景

        (全國Ⅰ卷(理)10)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC,△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ,在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則

        A.p1=p2B.p1=p3

        C.p2=p3D.p1=p2+p3

        評析:本題從題目條件和問題來看,一般會直接采用幾何概型計算概率的方法求解,但是,作為選擇題,在考場上,這樣的方法顯然有些復(fù)雜.這道題表面上是計算概率,實際上,如果學(xué)生清楚“希波克拉底定理”的內(nèi)容,那么,問題就迎刃而解了.希波克拉底定理:“以直角三角形兩條直角邊向外做兩個半圓,以斜邊向內(nèi)做半圓,則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等于該直角三角形的面積.”[4]根據(jù)定理內(nèi)容,即可知答案為A.

        (2)陳景潤與哥德巴赫猜想

        (全國Ⅱ卷(理)8)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是

        評析:本題是以我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得世界領(lǐng)先成果為背景的一道古典概率計算問題,題目難度不大,目的是使考生潛移默化地感受我國數(shù)學(xué)取得的成就.不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個,隨機選取兩個不同的數(shù),可能的情況有45種,其和等于30的組合有7和23,11和19,13和17,共3組,所以答案為A.

        1.2 以中國經(jīng)典數(shù)學(xué)史料中的數(shù)學(xué)名題為背景

        (1)《九章算術(shù)》中的陽馬幾何體

        (4)志愿者得不到理解和尊重,地位不高。這一困境是由志愿者本身及社會環(huán)境內(nèi)外兩個因素共同造成的。內(nèi)在因素是志愿者本身存在以上三種倫理問題。外在因素是社會大眾的認(rèn)識及文化的影響。包括部分地方政府、相關(guān)企業(yè)單位對高校青年志愿服務(wù)活動缺乏認(rèn)同和理解,把志愿服務(wù)理解為一種必須配合完成的“政治任務(wù)”,學(xué)生在服務(wù)過程中得不到真正的鍛煉,導(dǎo)致同學(xué)們參與志愿服務(wù)的動力不足。同時,受中國傳統(tǒng)倫理和社會結(jié)構(gòu)的影響,當(dāng)個體面臨困難時,傾向于找到為自己負(fù)責(zé)的關(guān)系,而非求助于社會的公益事業(yè),這種關(guān)系存在親疏遠(yuǎn)近,對沒有“關(guān)系”的人不信任,我們的青年志愿者往往被當(dāng)作“陌生人”被排除在這種“關(guān)系”之外。

        (上海卷 15)《九章算術(shù)》中,稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱,如圖,若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點,以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽馬的個數(shù)是( )

        A.4 B.8 C.12 D.16

        評析:此題來自于大約成書于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》,它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其內(nèi)容包括方田、粟米、衰分、少廣、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等九章,全書共有246個問題,每個問題均有給出相當(dāng)于數(shù)學(xué)公式的解答.本題以《九章算術(shù)》中的“陽馬”幾何體為為背景,弘揚了中國文化.內(nèi)容涉及空間點、直線、面的關(guān)系等,考察學(xué)生的空間想象能力,難度適中.根據(jù)題意可知,符合題目要求的面有4個,每一個都有4個頂點,所以選擇D.

        (2)《張邱建算經(jīng)》中的“百雞問題”

        評析:此題源于成書約公元5世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》,現(xiàn)傳本有92問,比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算,各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.“百雞問題”是《張丘建算經(jīng)》中的一個著名數(shù)學(xué)問題,它給出了由三個未知量的兩個方程組成的不定方程組的解.[5]本題以歷史名題為背景,賦予豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵.根據(jù)題中條件,解答相對較容易,只需將z=81帶入原方程組,得到二元一次方程組,求解得x=8,y=11.

        1.3 以數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系為背景

        朱載堉和“十二平均律”

        1.4 以實際生產(chǎn)生活的內(nèi)容為背景

        中國古建筑中的榫卯設(shè)計

        (全國Ⅲ卷 理3文3)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫棒頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

        評析:本題以中國古建筑借助榫卯連接木構(gòu)件為背景,很好地考查了三視圖的相關(guān)內(nèi)容,考生需要先觀察卯眼的直觀圖,再想象其俯視圖,這和以往多數(shù)通過所給三視圖想象直觀圖的命題方式相比,確實增添了一些新意,另外也傳播了中國悠久的文明和智慧.題目整體來說比較簡單,觀察圖形后可知其俯視圖為A.

        2 數(shù)學(xué)文化教學(xué)建議

        隨著數(shù)學(xué)文化類高考試題的應(yīng)運而生,數(shù)學(xué)文化也因此漸入高中數(shù)學(xué)課堂.數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識體系更為豐富和深邃的文化內(nèi)涵,數(shù)學(xué)文化是對數(shù)學(xué)知識、技能、能力和素養(yǎng)等概念的高度概括.那么,我們該如何把數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)呢?在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中,進行數(shù)學(xué)文化教學(xué)的可借鑒的方法有:講述數(shù)學(xué)家的趣聞軼事;介紹知識的起源和發(fā)展過程;建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系;尋找生活中的數(shù)學(xué).

        2.1 講述數(shù)學(xué)家的趣聞軼事

        數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性和邏輯性都很強的學(xué)科,如果缺乏形象性和生動性.學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易覺得枯燥乏味,產(chǎn)生厭煩心理.在教學(xué)過程中,教師將一些有趣的或有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)家的故事融入教學(xué)活動中,能夠吸引學(xué)生的注意力,引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.比如,三角學(xué)是在天文歷法中發(fā)展起來的,具有較為深遠(yuǎn)的歷史淵源,在講授這部分內(nèi)容時,為激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,教師可以嵌入一些相關(guān)的趣味史料.據(jù)說9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家比魯尼曾通過測量并使用三角學(xué)計算出了地球半徑.[7]

        2.2 介紹知識的起源和發(fā)展過程

        有些數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展過程具有一定的人文背景,通過介紹知識的起源和發(fā)展過程,既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,又可以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識濃厚的歷史文化底蘊.例如在對數(shù)教學(xué)過程中,可以介紹納皮爾發(fā)明對數(shù)的歷史過程,當(dāng)時,哥白尼的“日心說”剛剛流行,天文學(xué)成為當(dāng)時熱門學(xué)科.為了簡化天文學(xué)中大量繁雜的計算,納皮爾經(jīng)過潛心研究,發(fā)明了對數(shù).[8]

        2.3 建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系

        為了讓學(xué)生能夠更深刻的理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵,了解數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師可以嘗試將數(shù)學(xué)與歷史、科學(xué)、哲學(xué)、社會科學(xué)、藝術(shù)、音樂、文學(xué)、邏輯學(xué)等學(xué)科聯(lián)系.使得不同學(xué)科知識成為一個整體,學(xué)生也能夠更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).Edwards認(rèn)為,在高中階段,將文學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來,可以提高學(xué)生的閱讀能力,促進跨學(xué)科學(xué)習(xí).他在函數(shù)、統(tǒng)計、三角等知識點的教學(xué)中,運用數(shù)據(jù)分析方法檢驗莎士比亞十四行詩;在講授統(tǒng)計假設(shè)檢驗時,讓學(xué)生運用相關(guān)知識來研究莎士比亞是否是愛德華·德·維爾的筆名;并利用軟件統(tǒng)計莎士比亞詩句的長度、出現(xiàn)的頻率等.該探究活動激發(fā)了學(xué)生的濃厚興趣.[9]

        2.4 尋找生活中的數(shù)學(xué)

        數(shù)學(xué)的特點之一就是具有廣泛的應(yīng)用性.知識來源于生活,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師可以嘗試以實際生活為背景, 將數(shù)學(xué)知識融入學(xué)生身邊的

        例子,以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.Mahoney根據(jù)每個人的指紋以及掌心的曲線不一樣的,且這些曲線都對應(yīng)于數(shù)學(xué)上的某種函數(shù),包括多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)等設(shè)計了“掌上數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動,學(xué)生對此十分感興趣.[10]

        在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)實際需要,充分挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)容,將其滲透到日常教學(xué)中,就讓學(xué)生逐漸愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).但是,數(shù)學(xué)文化的滲透不能喧賓奪主,影響正常教學(xué)內(nèi)容的的學(xué)習(xí).如何把握滲透數(shù)學(xué)文化的“度”的問題,需要數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中仔細(xì)思考.

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