徐正印

(廣東省佛山市石門高級中學 528225)

2016年新課標Ⅱ文科卷20(2)、2017年新課標Ⅱ文科卷21(2)都是求參數(shù)取值范圍的問題.命題者所提供的解法都很特別——大部分中學老師都想不到，絕大部分考生看不懂！

解決這類問題時，人們首先想到用分離參數(shù)法，況且有的參數(shù)很容易分離，但都不能用初等數(shù)學的辦法解決分離變量后得到函數(shù)的最值問題，最終導致分離變量不靈或分離變量半途而廢！

現(xiàn)在，筆者已找到一種新方法——構造函數(shù)法.從此，分離參數(shù)法不再失靈，不再半途而廢.

例1(2016年新課標Ⅱ文科) 已知函數(shù)

fx=x+1lnx-ax-1.

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)若當x∈1,+∞時，fx>0，求a的取值范圍.

解(Ⅱ)當x∈1,+∞時，fx>0

?x+1lnx-ax-1>0

設gx=x+1lnx-2x-1x≥1，

在1,+∞上，h′(x)>0，hx單調遞增，h(x)>h1=0，g′(x)>0，gx單調遞增，gx>g1=0，(x+1)lnx-2(x-1)>0，

所以a≤2，a的取值范圍為-∞,2.

注釋這種方法是這樣想到的：

設gx=x+1lnx-tx-1x≥1，

其中t為待定系數(shù)，

hx單調遞增hx≥h1=2-t.

若t=2，則hx≥0，g'(x)≥0，gx單調遞增，gx≥g1=0，(x+1)lnx-2(x-1)≥0

(當且僅當x=1時等號成立).

例2(2017新課標Ⅱ文科)設函數(shù)

fx=1-x2ex.

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)當x≥0時，fx≤ax+1，求a的取值范圍.

解(Ⅱ)(ⅰ)當x=0時，f0=1，對于任意的實數(shù)a，都有fx≤ax+1成立.

(ⅱ)當x>0時，fx≤ax+1

設gx=1-x2ex-1-xx≥0，

則g′x=1-2x-x2ex-1.

設hx=1-2x-x2ex-1x≥0，

則h′x=-1+4x+x2ex.

在(0,+∞)上，h′(x)<0，hx單調遞減，h(x)

綜上所述，a的取值范圍是1,+∞.

(2)gx=1-x2ex-1-xx≥0是這樣得到的：

設gx=1-x2ex-1-txx≥0，

其中t為待定系數(shù)，

則g′x=1-2x-x2ex-t.

設hx=1-2x-x2ex-tx≥0，

則h′x=-1+4x+x2ex<0，

在0,+∞上，hx單調遞減，hx≤h0=1-t.

若t=1，則g′x≤0，gx單調遞減，

gx≤g0=0.

于是，當x≥0時，1-x2ex-1-x≤0，

(當且僅當x=0時等號成立).

當x>0時，1-x2ex-1-x<0，