(解答由問(wèn)題提供人給出)

(安徽省太和縣第二小學(xué) 任迪慧 隨禮敏 236630)

證明由常見(jiàn)公式(其中Δ表示三角形面積)

同理rbrc=pp-a，rcra=pp-b，

從而

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 張留杰 100020)

因?yàn)锽K是⊙O的切線，所以BK⊥AB，

所以CO∥BK.

①

②

因?yàn)镺E1=BE2，所以O(shè)E2=BE1，

所以 ①×②，得CO2=BF1·BF2.

又AB是⊙O的直徑，可得

BH1⊥AF1，BH2⊥AF2.

所以AB·BF1=BH1·AF1，AB·BF2

=BH2·AF2，

所以AB2·BF1·BF2=BH1·BH2·AF1·AF2，

即AB2·CO2=BH1·BH2·AF1·AF2

③

在Rt△ABF1和Rt△ABF2中，分別由勾股定理，得

(BF1·BF2)2，

?(AF1·AF2)2≥AB4+AB2(2BF1·BF2)+CO4

?(AF1·AF2)2≥AB4+2AB2·CO2+CO4=(AB2+CO2)2

?(AF1·AF2)2≥(AB2+CO2)2.

所以AF1·AF2≥AB2+CO2

④

由③和④，得

AB2·CO2≥BH1·BH2(AB2+CO2)，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E1、E2重合為OB的中點(diǎn)時(shí)，不等式中的等號(hào)成立.

2438在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，三角形面積為Δ，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

證明記

則(1)式即為

(2)

設(shè)△ABC的半周長(zhǎng)為p，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則由正弦定理可知

因此

=a2-(b-c)2

=(a-b+c)(a+b-c)

=2(p-b)·2(p-c)

=4(p-b)(p-c)，

同理可得

=4(p-c)(p-a)，

=4(p-a)(p-b)，

則由以上三式和恒等式

a+b+c=2p,ab+bc+ca=p2+4Rr+r2，

可得

M-N=4(p-b)(p-c)+4(p-c)(p-a)+

4(p-a)(p-b)

=4[3p2-2(a+b+c)p+(ab+bc+ca)]

=4r(4R+r)，

即M-N=4r(4R+r)

(3)

(4)

?16R2+8Rr+r2≥3p2，

而由Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知，只需證明

16R2+8Rr+r2≥3(4R2+4Rr+3r2)

(5)

?4R2-4Rr-8r2≥0

?R2-Rr-2r2≥0

?(R+r)(R-2r)≥0，

而由Euler不等式R≥2r可知上式成立，故(5)式和(4)式成立，從而(2)式即(1)式成立.

2439銳角三角形ABC各邊AB，AC和BC分別被延長(zhǎng)到點(diǎn)D，E，F(xiàn)，△ADE，△BDF和△CEF的外心分別為O1，O2，O3，如果∠DCA=90°， ∠EFC=∠BAC，證明：△O1O2O3∽△ABC.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

證明如圖所示，△ADE，△BDF和△CEF的外接圓分別記作圓O1，圓O2和圓O3. 設(shè)圓O3與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接GE和GF.

由題設(shè)∠DCA=90°得∠GCE=90°，

又因∠FCE=∠BCA<90°，

故知F，G兩點(diǎn)不重合，易知G，C兩點(diǎn)也不重合，由此可得圓內(nèi)接四邊形CEFG.

由∠GCE=90°得

∠GFE=180°—∠GCE=90°.

由題設(shè)∠BAC=∠EFC得

∠GDB=90°—∠CAB

=90°—∠CFE=∠GFB，

因此G，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共圓，圓O2與圓O3除有交點(diǎn)F外另有交點(diǎn)G.

因∠DAE=∠CFE=∠DGE，

故A，D，E，G四點(diǎn)共圓，由此可知圓O1也過(guò)點(diǎn)G.

綜上，圓O1與O2，圓O2與O3及圓O3與O1的公共弦依次為GD，GF和GE，而這三條公共弦的垂直平分線依次為連心線O1O2，O2O3和O3O1.

由O2O1⊥GD，EC⊥GD得O2O1∥EC，且射線O2O1與EC同向；

由O2O3⊥GF，EF⊥GF得O2O3∥EF，且射線O2O3與EF同向，

因此∠O1O2O3=∠CEF=∠ABC.

設(shè)O2O3的延長(zhǎng)線交GF所得的垂足為H.

因GE為圓O3的直徑，故O2H與GE交于點(diǎn)O3.

由O3O1⊥GE得

∠O2O3O1

= 90°—∠O2O3E

= 90°— ∠HO3G

=∠HGO3=∠FCE=∠BCA，

綜上，得△O1O2O3∽△ABC.

2440令T=9k|k∈Z,1≤k≤2018，已知92018是1926位數(shù) ，問(wèn)T中有多少個(gè)元素以9為最左邊的數(shù)字？

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀 斌 龔云峰 441700)

2018年9月號(hào)問(wèn)題

(來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

(山東省泰安市寧陽(yáng)第一中學(xué) 劉才華 271400)

2442已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1，試證明：

( 陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

2443已知：如圖，PA、PB、PC、PD為⊙O的順時(shí)針排列四條弦，且∠APB=∠DPC.若AD為⊙O的直徑.

求證：2PB·PC≤

(PA+PD)2.

(北京市芳草地國(guó)際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2444已知△ABC三邊長(zhǎng),外接圓半徑及內(nèi)切圓半徑分別為a,b,c,R,r,則有

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

2445如圖，△ABC為等邊三角形，⊙I過(guò)A、C兩點(diǎn)，⊙O與AB、AC相切點(diǎn)B、C，兩圓交D點(diǎn)，延長(zhǎng)BD交AC于F，過(guò)⊙I點(diǎn)C作切線交AD延長(zhǎng)線于E，求證：AB∥EF.