張凱龍， 李希杰， 李自若

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

隨著機(jī)動(dòng)車(chē)保有量逐年攀升，交通需求不斷增長(zhǎng)，道路交通中汽車(chē)的燃油消耗也將隨之增加。在全國(guó)經(jīng)濟(jì)迅速增長(zhǎng)的背景下，交通運(yùn)輸需求和服務(wù)也在逐漸擴(kuò)大，使得交通運(yùn)輸系統(tǒng)的能源消耗，尤其是石油消耗，成為不可忽視的問(wèn)題[1]。目前，我國(guó)的交通系統(tǒng)主要依賴(lài)于石油資源，并且儲(chǔ)備不足。面對(duì)逐漸枯竭的石油資源，需從各個(gè)方面著手解決，包括交通設(shè)施建設(shè)、交通需求管理等。其中，道路收費(fèi)作為主要的需求管理手段，可有效地控制出行者的路徑選擇，通過(guò)合理規(guī)劃路網(wǎng)中車(chē)流量的分配，使總油耗量控制在合理的水平。

由于不同車(chē)型的百公里耗油量區(qū)別很大，所以考慮按車(chē)型不同收取不同的費(fèi)用。國(guó)外在道路收費(fèi)方面的研究已很深入[2-4]，但有關(guān)分車(chē)型的收費(fèi)研究還較少，其中新加坡在城市內(nèi)的區(qū)域范圍成功進(jìn)行了分車(chē)型擁擠收費(fèi)[5]。國(guó)內(nèi)有關(guān)分車(chē)型收費(fèi)的研究主要考慮的是高速公路的網(wǎng)絡(luò)均衡以及改擴(kuò)建方面[6]，在其他道路收費(fèi)方面，分車(chē)型的研究還很少，主要側(cè)重于以環(huán)境保護(hù)為目標(biāo)，并未深入考慮能源消耗方面。

現(xiàn)有考慮油耗因素的收費(fèi)定價(jià)模型較少，對(duì)于分車(chē)型按油耗量收費(fèi)的模型更是少之又少。張衛(wèi)華等[7]考慮私家車(chē)和公交車(chē)雙模式下的路網(wǎng)均衡，結(jié)合道路收費(fèi)原理，建立了考慮能耗的雙層收費(fèi)模型。徐薇等[8]從減排的角度出發(fā)，利用一氧化碳排放的估算公式，建立了多模式混合交通網(wǎng)絡(luò)下的雙層收費(fèi)模型。本文以高速公路及其相鄰道路組成的公路網(wǎng)為研究對(duì)象，采用兩階段模型，首先建立了多車(chē)型最小油耗模型，得到路網(wǎng)總油耗量最小情況下期望達(dá)到的路段流量。在此基礎(chǔ)上，建立多車(chē)型最優(yōu)收費(fèi)均衡模型，并采用Frank-Wolfe算法，通過(guò)尋找可行下降方向迭代求解，得到路段的最優(yōu)收費(fèi)值，使出行者按期望達(dá)到的路段設(shè)計(jì)流量出行，最終達(dá)到路網(wǎng)平衡狀態(tài)下總油耗量最小的目的。最后結(jié)合算例，分析幾種收費(fèi)方案的優(yōu)勢(shì)和收費(fèi)的價(jià)值。

1 油耗模型的建立

我國(guó)的車(chē)型分類(lèi)目前尚沒(méi)有統(tǒng)一、整齊的標(biāo)準(zhǔn)?？偨Y(jié)國(guó)內(nèi)外汽車(chē)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合我國(guó)機(jī)動(dòng)車(chē)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)中的GB/T 7258-2017[9]，從燃油消耗的角度出發(fā)，將汽車(chē)分為三類(lèi)：車(chē)型一是高排量汽車(chē)，即幾種大中型客貨車(chē)；車(chē)型二是中低排量汽車(chē)，即小型燃油車(chē)輛；車(chē)型三是排量較低的車(chē)型，包括各種油電混合和新能源的車(chē)輛，目前這一類(lèi)型小汽車(chē)雖然普及度不夠，但作為交通與能源交叉學(xué)科的熱門(mén)問(wèn)題，在將來(lái)必定會(huì)有重大突破。

車(chē)輛油耗值等于行駛路程與單車(chē)百公里油耗值的乘積，建立公路網(wǎng)最小油耗模型的關(guān)鍵在于建立切合實(shí)際的單車(chē)百公里油耗模型。公路網(wǎng)油耗-車(chē)速模型的基本表達(dá)式可以寫(xiě)成：

F=F0×(av2+b/v+c)×(1+0.14x/C)

,

(1)

式中,F為單車(chē)百公里油耗因子，L；F0為標(biāo)準(zhǔn)條件下(車(chē)速為50 km/h)百公里的單車(chē)油耗值，L；v為速度，km/h；a,b,c為回歸參數(shù)；x為流量，車(chē)/h；C為道路通行能力。

譚爭(zhēng)偉等[10]采用大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)已有油耗模型進(jìn)行修正及標(biāo)定，參見(jiàn)表1。

表1 公路網(wǎng)不同車(chē)型的單車(chē)百公里油耗模型Table 1 100 km fuel consumption model for multi-vehicle on road network

表1不考慮道路條件，將幾種大中型客貨車(chē)(大型客車(chē)、小型貨車(chē)、中型貨車(chē)、大型貨車(chē))分類(lèi)為車(chē)型一，將小型客車(chē)分類(lèi)為車(chē)型二，不考慮集裝箱型車(chē)輛。假定雙車(chē)道公路自由流車(chē)速為73 km/h時(shí)，通行能力為1 400 車(chē)/h，王煒[11]給出的對(duì)應(yīng)雙車(chē)道公路標(biāo)準(zhǔn)化車(chē)速-流量模型為：

v=73exp(-0.000 42x)，

(2)

式中，x為流量，車(chē)/h。替換小型客車(chē)油耗模型中的速度，車(chē)型二流量-油耗模型可以表達(dá)成：

F2=7.91×(0.463 623exp(-0.000 84x2)+0.332 329exp(0.000 42x2)+0.291)×(1+0.14x2/700)，

(3)

式中,x2表示車(chē)型二的流量。用二次函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行擬合，為保證擬合結(jié)果的準(zhǔn)確性，標(biāo)定參數(shù)取到小數(shù)點(diǎn)后9位：

F2=0.000 001 351x22-0.000 638 340x2+ 8.755 289 281。

(4)

按照計(jì)算車(chē)型二油耗模型的方法，結(jié)合表1，可計(jì)算出大型客車(chē)、小型貨車(chē)、中型貨車(chē)、大型貨車(chē)的流量-油耗函數(shù)表達(dá)式。再通過(guò)隨機(jī)模擬將4個(gè)函數(shù)擬合成1個(gè)，得到類(lèi)似車(chē)型二的流量-油耗表達(dá)式：

F1=0.000 002 492x12-0.000 071 123x1+16.914 110 016。

(5)

車(chē)型三是包括各種油電混合和新能源的車(chē)輛，很難建立統(tǒng)一形式的油耗表達(dá)式。但考慮到此類(lèi)型車(chē)輛與小汽車(chē)對(duì)道路的占用權(quán)基本相同，采用折算系數(shù)的方式建立車(chē)型三的油耗模型：

F3=uF2，

(6)

式中，折算系數(shù)u取0.1。所以車(chē)型三的油耗模型可以寫(xiě)成：

F3=0.000 000 135x32-0.000 063 834x3+ 0.875 528 928。

(7)

2 兩階段收費(fèi)模型

2.1 多車(chē)型最小油耗均衡模型

考慮一個(gè)給定的交通網(wǎng)絡(luò)G=(N,A)，N為所有節(jié)點(diǎn)的集合，A為所有路段的集合，假設(shè)OD對(duì)個(gè)數(shù)為W，Rw為OD對(duì)w之間所有路徑的集合。以路網(wǎng)中汽車(chē)基本油耗總量最小化為目標(biāo)，可建立多車(chē)型最小油耗模型：

(8)

(9)

(10)

fr,i≥0，?r∈Rw，

(11)

(12)

其中，

Fa,1=0.000 002 492xa,12-0.000 071 123xa,1+16.914 110 016，

(13)

Fa,2=0.000 001 351xa,22-0.000 638 340xa,2+ 8.755 289 281，

(14)

Fa,3=0.000 000 135xa,32-0.000 063 834xa,3+ 0.875 528 928。

(15)

在上述模型中，xa,i為決策變量，表示路段a上第i種車(chē)型的車(chē)流量，dw,i表示OD對(duì)w之間第i種車(chē)型的出行需求，fr,i為路徑r上i型車(chē)的流量，r∈Rw。對(duì)于路段a上的i型車(chē)，當(dāng)路段a在路徑r上時(shí)，δar,i=1，反之，δar,i=0。

多車(chē)型條件下，約束(9)表示不同車(chē)型路段流量與路徑流量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；約束(10)表示不同車(chē)型路徑流量與OD對(duì)需求之間的守恒關(guān)系；約束(11)表示流量的非負(fù)約束；約束(12)表示路段容量限制。目標(biāo)函數(shù)的意義類(lèi)似于系統(tǒng)最優(yōu)分配模型SO，表示路網(wǎng)油耗總量最小。

2.2 多車(chē)型最優(yōu)收費(fèi)均衡模型

多車(chē)型最小油耗模型的最優(yōu)解代表路網(wǎng)油耗總量最小情況下的路段設(shè)計(jì)流量。為使出行者按上述期望達(dá)到的路段設(shè)計(jì)流量出行，需要通過(guò)收費(fèi)的方式調(diào)控出行者的路徑選擇行為。進(jìn)而建立了第二階段收費(fèi)模型，通過(guò)制定合理的收費(fèi)策略，誘導(dǎo)出行者主動(dòng)選擇使系統(tǒng)總油耗最小的出行路徑，達(dá)到降低系統(tǒng)能耗的目的。

。

(16)

固定需求條件下，道路收費(fèi)表達(dá)成時(shí)間的形式，收費(fèi)值為τmin時(shí)，用戶(hù)的出行廣義費(fèi)用主要由兩部分構(gòu)成：道路收費(fèi)和出行時(shí)間成本。用路段費(fèi)用函數(shù)t(x,τ)表示，其中x為路段流量分布，x*為均衡狀態(tài)下的流量分布。則收費(fèi)方案τ條件下的交通網(wǎng)絡(luò)均衡問(wèn)題可以用如下變分不等式表示[13]：

t(x*,τ)T(x-x*)≥0，?x∈Λ。

(17)

根據(jù)其等價(jià)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件，可以得到與該變分不等式相等價(jià)的互補(bǔ)約束：

(18)

(19)

當(dāng)x*為系統(tǒng)最優(yōu)條件下的流量分布時(shí)，該收費(fèi)方式存在且不唯一。為了使收費(fèi)方案唯一，本文建立如下多車(chē)型最優(yōu)收費(fèi)均衡模型：

(20)

s.t.τa1≥τa2≥τa3，

(21)

τa,i≥0，

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

在上述模型中，λw,i是OD對(duì)w間第i型車(chē)最小的廣義費(fèi)用(出行時(shí)間加上油耗收費(fèi)),a表示路段，i表示車(chē)型,dw,i表示OD對(duì)w之間的i型車(chē)出行需求。對(duì)于第i型車(chē)，當(dāng)路段a在路徑r上時(shí)，δar,i=1，反之，δar,i=0。公式(21)表示不同車(chē)型收費(fèi)值間的大小關(guān)系；公式(22)表示收費(fèi)值為正，不考慮政府補(bǔ)貼；公式(23)表示收費(fèi)后路網(wǎng)總的費(fèi)用，應(yīng)該等于不同車(chē)型總的出行需求乘以每個(gè)OD對(duì)間不同車(chē)型單位車(chē)輛最小的廣義費(fèi)用；公式(24～26)表示收費(fèi)后所有路徑上單位i型車(chē)輛的出行成本都大于對(duì)應(yīng)OD對(duì)間的單位i型車(chē)輛最小廣義費(fèi)用。約束的合理性可由公式(17)的等價(jià)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件進(jìn)行證明。

可以通過(guò)驗(yàn)證同一OD對(duì)間所有路徑的廣義費(fèi)用是否相同，判斷收費(fèi)均衡模型的最優(yōu)解是否使路網(wǎng)流量達(dá)到平衡。平衡時(shí)，整個(gè)路網(wǎng)的總油耗量最小。

2.3 算法設(shè)計(jì)

該兩階段模型可以分步求解。第一階段模型為帶有線性約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，利用Frank-Wolfe算法將目標(biāo)函數(shù)近似線性化，通過(guò)尋找可行下降方向進(jìn)行求解。第二階段模型目標(biāo)函數(shù)和約束都是線性的，可直接求解線性規(guī)劃。

利用Frank-Wolfe算法求解第一階段非線性規(guī)劃的步驟如下：

步驟一：首先選定路段初始流量分布x(0)，給定終止誤差ε>0，令k=0，轉(zhuǎn)步驟二。

步驟二：求解近似線性化。目標(biāo)函數(shù)F(x)在x(k)處的線性逼近可表示為：

F(x)≈F(x(k))+F(x(k))T(x-x(k))。

(27)

用上式右邊的線性函數(shù)代替目標(biāo)函數(shù)F(x)。則在流量x(k)的領(lǐng)域內(nèi)，可確定近似線性規(guī)劃：

(28)

其等價(jià)的線性規(guī)劃：

(29)

將流量通過(guò)全有全無(wú)的方法分配得到最小費(fèi)用的路徑，路段費(fèi)用通過(guò)當(dāng)前路段流量求得，即求解上述線性規(guī)劃得到最優(yōu)解y(k)。

步驟四：進(jìn)行有效一維搜索。求解線性規(guī)劃：

minF(x(k)+λp(k))

(30)

s.t. 0≤λ≤1。

(31)

解得最優(yōu)步長(zhǎng)λk。更新流量分布，令x(k+1)=x(k)+λkp(k)，k=k+1，轉(zhuǎn)步驟二。

3 算例分析

選取抽象公路網(wǎng)絡(luò)圖，如圖1所示，該交通網(wǎng)絡(luò)中共有6個(gè)節(jié)點(diǎn)、7條路段、兩個(gè)OD對(duì)(1,3)和(2,4)。每個(gè)OD對(duì)間第i型車(chē)的潛在需求設(shè)為dw,1=1 350 車(chē)/h，dw,2=1 050 車(chē)/h，dw,3=600 車(chē)/h。

圖1 公路網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Road network

路段參數(shù)如表2所示。

表2 路段參數(shù)Table 2 Path parameters

最小油耗模型是一個(gè)帶有線性約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，可采用Frank-Wolfe算法，通過(guò)尋找可行下降方向迭代求解。使用MATLAB編程求解，得到路網(wǎng)流量分配如表3所示。

表3 最小油耗下的路段流量Table 3 Path traffic flow under minimum fuel consumption

將上述得到的最優(yōu)解代入第二階段模型，求解路段上不同車(chē)型的收費(fèi)值，如表4所示。

表4 不同車(chē)型路段收費(fèi)值Table 4 Road toll value of multi-vehicles

驗(yàn)證收費(fèi)后OD對(duì)間所有路徑的廣義費(fèi)用相同，如表5所示。

表5 OD對(duì)之間的最小廣義費(fèi)用Table 5 The minimum generalized travel cost between OD pairs

上述方案都是可行的收費(fèi)方案。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，同一OD對(duì)間所有路徑的廣義費(fèi)用相同。收費(fèi)方案一是滿(mǎn)足多車(chē)型最優(yōu)收費(fèi)均衡模型的最優(yōu)解，路網(wǎng)總的收費(fèi)值最小；方案二是滿(mǎn)足模型二約束的一種可行的非負(fù)收費(fèi)方案。方案一雖然能使總收費(fèi)最優(yōu)，卻不能區(qū)分不同車(chē)型的收費(fèi)差別，而方案二的收費(fèi)值可以看出不同車(chē)型的收費(fèi)差別。并且存在可行收費(fèi)方案τ3=τ1+k(τ2-τ1),k∈N，使路網(wǎng)達(dá)到平衡，其中τ3是τ1和τ2的任意線性組合。路網(wǎng)的總收益隨著k的增加而增加，可以選取合適的k值，以達(dá)到道路管理者的財(cái)政收入目標(biāo)。

研究結(jié)果表明，通過(guò)制定合理的收費(fèi)策略能夠有效地調(diào)控出行者的路徑選擇行為，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)總油耗最小的目標(biāo)。

4 結(jié)論

本文從節(jié)約能源的角度出發(fā)，按耗油量不同對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)進(jìn)行分類(lèi)，通過(guò)建立最小油耗模型求解出使整個(gè)路網(wǎng)總油耗量最小情況下期望達(dá)到的各路段流量，再利用收費(fèi)策略調(diào)控出行者的路徑選擇行為，最終達(dá)到路網(wǎng)平衡狀態(tài)下總油耗量最小的目的。研究結(jié)果表明，合理的收費(fèi)策略能夠有效地調(diào)控出行者的路徑選擇行為，針對(duì)不同車(chē)型可以制定多種不同的收費(fèi)方案，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)總油耗最小的目標(biāo)。

通過(guò)道路收費(fèi)的方式可以降低交通能耗，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，如何在模型中將道路中諸多不確定性因素考慮進(jìn)來(lái)將是下一步研究的主要內(nèi)容。