劉 娟，趙 清，程彩萍，張海峰

(1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院，山西太谷030801;2.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)農(nóng)學(xué)院，山西太谷030801)

眾所周知，害蟲會(huì)對(duì)農(nóng)作物及人類造成很大的危害，因此研究害蟲治理方法是非常必要的。利用化學(xué)防治的快速性和生物防治的無污染性，提出比任一單一控制更優(yōu)的害蟲綜合治理策略，此課題引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1－10］，其中數(shù)學(xué)學(xué)者引入脈沖微分方程來描述此不連續(xù)的瞬時(shí)行為［1－10］。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)1個(gè)食餌1個(gè)捕食者系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究［1－4］，但是實(shí)際中天敵不僅僅只捕食1類害蟲，而且害蟲的種類也不只1種［6－8］。例如蚜蟲和梨木虱都取食梨樹汁液，都為梨樹的害蟲，瓢蟲同時(shí)捕食蚜蟲和梨木虱，為它們共同的天敵。Zhang等研究了2個(gè)食餌1個(gè)捕食者系統(tǒng)，但是僅討論了在同一固定時(shí)刻投放天敵和噴灑農(nóng)藥的模型［6］?；谏鲜鍪聦?shí)，本研究利用具有Holling II和Monod－Haldance功能性反應(yīng)的脈沖微分方程，建立在不同脈沖時(shí)刻分別投放天敵和化學(xué)農(nóng)藥的2個(gè)食餌1個(gè)捕食者模型，并研究此模型的動(dòng)力學(xué)行為。

1 模型的建立

本研究假設(shè)在沒有捕食者時(shí)，2類食餌均呈Logistic增長趨勢(shì)，捕食者對(duì)食餌分別具有HollingⅡ和Monod－Haldance功能性反應(yīng)，建立如下模型:

式中:x1(t)、x2(t)、z(t)分別表示t時(shí)刻2類食餌、捕食者的數(shù)量;c表示捕食者的死亡率;r1、r2分別為2類食餌的增長率;b1、b2分別為2類食餌種群間的競爭系數(shù)，b1＞0，b2＞0;d1、d2分別為捕食者對(duì)2類食餌的消化率;K為環(huán)境容納量;別為 HollingⅡ、Monod－Haldance功能性反應(yīng)函數(shù)，其中 α1、w1、α2、w2都為正常數(shù)。

當(dāng)2個(gè)食餌滅絕，即x1(t)=0、x2(t)=0時(shí)，模型(1)有一個(gè)不穩(wěn)定的平衡態(tài)(0，0，0)，但此時(shí)捕食者也趨于滅絕，系統(tǒng)沒有無害蟲平衡點(diǎn)，因此用連續(xù)模型(1)無法對(duì)害蟲進(jìn)行很好的控制。

考慮到化學(xué)農(nóng)藥對(duì)天敵的影響，本研究建立在不同固定時(shí)刻分別投放捕食者和噴灑化學(xué)農(nóng)藥的脈沖動(dòng)力系統(tǒng):

式中:Δxi(t)=xi(t+) － xi(t)(i=1，2)，Δz(t)=z(t+) －z(t);T為脈沖周期;μ為t=nT時(shí)投放捕食者的數(shù)量，μ＞0;p1、p2、p3分別為t=(n+l－1)T時(shí)因噴灑化學(xué)農(nóng)藥殺死的食餌、捕食者的比例，其中n為正整數(shù)，l為(0，1)的任意實(shí)數(shù)，p1、p2、p3取值范圍為［0，1)。

引理1 模型(2)的解［x1(t)，x2(t)，z(t)］是連續(xù)可微的，且前3個(gè)方程右端函數(shù)的光滑性保證了解存在唯一性。

引理2 設(shè)X(t)=［x1(t)，x2(t)，z(t)］為模型(2)的解，且初始條件X(0+)≥0，則對(duì)于所有的t≥0有X(t)≥0。若初始條件X(0+)＞0，則對(duì)于所有的t≥0有X(t)＞0。

考慮模型(2)中x1(t)=0、x2(t)=0時(shí)的狀況，得出如下脈沖微分方程:

由頻閃映射和不動(dòng)點(diǎn)定理可知，模型(3)有如下周期解:

引理 模型(2)的任意正解z(t)在t→∞時(shí)有z(t)→z～(t)。

因此模型(2)有1個(gè)食餌全部滅絕周期解，為［0，0，z～(t)］。

2 食餌全部滅絕周期解的漸近穩(wěn)定性

定理1 設(shè)［x1(t)，x2(t)，z(t)］為模型(2)的任意解，如果滿足 T≤min{T1，T2}，則 2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是局部漸近穩(wěn)定的。其中T1，T2分別為f1(T)=0、f2(T)=0的根。

證明:定義 u(t)=x1(t)，v(t)=x2(t)，w(t)=z(t) －z～(t)，代入模型(2)中，通過Taylor展開式并取其線性部分得:

設(shè)φ(t)為模型(6)的基解矩陣，則滿足:

后面沒有用到*處的值，因此此處不須要計(jì)算。對(duì)應(yīng)的脈沖條件為

因此基解矩陣為

可得單值矩陣

當(dāng) λ1、λ2滿足|λ1|＜1 且|λ2|＜1 時(shí)，根據(jù) Floquet理論可知，2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是漸近穩(wěn)定的。而|λ1|＜1且|λ2|＜1的充要條件是 f1(T) ＜0，f2(T)＜0。由于fi(0)=ln(1－pi)＜0，fi(T)→∞ (T→∞)同時(shí)f″i(T) ＞0，則 fi(T)=0 有唯一的正根 Ti。當(dāng) T≤min{T1，T2}時(shí)，f1(T)＜0，f2(T)＜0。因此定理1得證。

定理2 設(shè)［x1(t)，x2(t)，z(t)］為模型(2)的任意解，如果滿2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是全局漸近穩(wěn)定的。其

證 明:選 取 ε ＞0，使 得 η =(1－p1)exp模型(2)可得

利用脈沖微分方程比較定理有x1(t)≤u1(t)，其中u1(t)為下式的解:

因此，有 x1［(n+l)T］≤x1(lT)ηn，其中 η =(1 －p1)exp0(n→∞)。同時(shí)當(dāng) t∈［(n+l－1)T，(n+l)T］時(shí)，有0≤x1(t)≤x［(n+l－1)T］(1 －p1)erT。

因此x1(t)→0(t→∞)。

同理可得 x2［(n+l)T］≤x2(lT)δn，其中 δ=(1 － p2)exp0(n→∞)。同時(shí)當(dāng) t∈［(n+l－1)T，(n+l)T］時(shí)，有0≤x2(t)≤x［(n+l－1)T］(1 －p2)erT。

因此x2(t)→0(t→∞)。

證明:當(dāng)t→∞時(shí)，z(t)→z～(t)。取充分小的正數(shù)ε1＞0，存在 T'＞0，使得當(dāng) t≥T'時(shí)，有0 ＜x1(t) ＜ ε1，0 ＜x2(t) ＜ ε1，于是:

3 數(shù)值模擬

由于fi(0)=ln(1－pi)＜0，fi(T)→∞(T→∞)，同時(shí)f″i(T) ＞0，因此fi(T)=0 有唯一的正根 Ti(i=1，2)，且當(dāng)T≤min{T1，T2}時(shí)，公式(5)成立。同理gi(T)=0有唯一的正根析得到min{T^1，T^

2} ＜min{T1，T2}，利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，將模型(2)中的參數(shù)取值為 r1=3，r2=4，K=1.5，u=5，l=0.2，c=0.4，p1=0.7，p2=0.8，p3=0.2，w1=1，w2=2，α1=0.4，α2=0.6，由定理 1、定理 2 知，T1=1.6，T2=1.7，解［0，0，z～(t)］是局部漸近穩(wěn)定的，結(jié)果與初值的選擇有關(guān)。當(dāng)T=0.65時(shí)，2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是全局漸近穩(wěn)定的，結(jié)果與初值的選擇無關(guān)。此時(shí)2類食餌很快趨于零，而天敵出現(xiàn)周期性波動(dòng)(圖1至圖3)。若0.7＜T=0.8＜0.9時(shí)，x2迅速趨于0，而x1與z出現(xiàn)周期性波動(dòng)(圖4至圖6)。因此，若x2為主要食餌，x1為次要食餌，可以通過控制脈沖周期將主要食餌滅絕，保留次要食餌。

4 結(jié)束語

本研究建立了在不同脈沖時(shí)刻分別噴灑化學(xué)農(nóng)藥和投放捕食者的2個(gè)食餌1個(gè)捕食者模型，由脈沖微分方程理論得出模型(2)中食餌全部滅絕周期解穩(wěn)定性成立的充分條件，并利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬。在實(shí)際中，此結(jié)論有廣泛的應(yīng)用，適用于所有的2個(gè)食餌1個(gè)捕食者情形。如在農(nóng)業(yè)中，可以根據(jù)農(nóng)田中天敵和害蟲的具體情況，通過調(diào)節(jié)相應(yīng)的參數(shù)改變脈沖周期，將2類害蟲全部滅絕或?qū)⒅饕οx滅絕，保留次要害蟲，從而給出治理害蟲的方法，達(dá)到保護(hù)植物以及提高農(nóng)業(yè)產(chǎn)量的目的，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。