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        深孔軸線直線度誤差評(píng)定方法*

        2018-10-11 12:25:42包建東
        關(guān)鍵詞:直線度連線端點(diǎn)

        李 曉, 包建東

        (1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094; 2. 南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

        0 引 言

        根據(jù)形狀誤差的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)及國(guó)際標(biāo)準(zhǔn), 直線度誤差定義為被測(cè)實(shí)際直線相對(duì)于理想直線的偏差, 該理想直線應(yīng)符合最小條件[1]. 直線度的優(yōu)劣會(huì)影響產(chǎn)品的性能及壽命等指標(biāo), 因此直線度誤差的評(píng)判是一個(gè)重要的課題. 目前, 深孔軸線直線度誤差評(píng)定的方法主要有: 端點(diǎn)連線法、 最小二乘法、 最小區(qū)域法. 其中前兩種方法屬于近似評(píng)定, 一般不能滿足最小條件. 為此, 國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了許多基于最小包容區(qū)域原則的方法: 計(jì)算點(diǎn)數(shù)較少時(shí)采用計(jì)算幾何評(píng)定方法如凸多邊形法、 極值搜索法等, 優(yōu)化方法如遺傳算法、 粒子群算法等, 以盡可能真實(shí)地反映直線的直線度誤差. 不同的評(píng)定方法對(duì)直線度誤差結(jié)果影響較大, 進(jìn)而影響對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的判斷, 故而有必要進(jìn)行深孔直線度誤差評(píng)定方法的研究[2].

        1 評(píng)定方法

        本文通過(guò)介紹幾種常見直線度誤差評(píng)定方法的原理, 并以深孔光電檢測(cè)實(shí)驗(yàn)采集的坐標(biāo)數(shù)據(jù)為例, 分別用5種方法對(duì)其進(jìn)行直線度評(píng)定, 并比較各方法優(yōu)劣和評(píng)定精度. 采用某實(shí)驗(yàn)中采集的3組深孔坐標(biāo)數(shù)據(jù), 每組10個(gè)測(cè)量點(diǎn), 將原始坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為偏心距, 轉(zhuǎn)化后的軸向位置x及偏心距y數(shù)據(jù)如表 1 所示.

        表 1 偏心距數(shù)據(jù)

        1.1 端點(diǎn)連線法

        建立如圖 1 直角坐標(biāo)系xoy,x軸表示軸向位移,y軸表示光電坐標(biāo)偏心距.

        圖 1 端點(diǎn)連線法原理示意圖Fig.1 Endpoint connection principle diagram

        連接首末兩點(diǎn), 直線L1方程為

        (1)

        式中:x0,y0為起點(diǎn)坐標(biāo)值;xe,ye為終點(diǎn)坐標(biāo)值.

        計(jì)算誤差曲線上各點(diǎn)(xi,yi)到直線L1的偏差(有正負(fù))

        εi=yi-fi

        (2)

        作包容所有點(diǎn)的L1的平行線, 那么兩平行線在y軸上的距離

        p=εmax-εmin

        (3)

        即為直線度誤差值[3].

        1.2 最小二乘法

        根據(jù)表 1 數(shù)據(jù)計(jì)算最小二乘直線方程

        f=ax+b,

        (4)

        圖 2 最小二乘法原理示意圖Fig.2 Least square method principle diagram

        式中:n為測(cè)量點(diǎn)數(shù);

        (5)

        (6)

        計(jì)算誤差曲線上各點(diǎn)(xi,yi)到如圖 2 直線L2的偏差(有正負(fù))

        εi=yi-fi.

        (7)

        求出εi中的最大值和最小值, 作包容所有點(diǎn)的L2的平行線, 那么兩平行線在y軸上的距離

        p=εmax-εmin

        (8)

        即為直線度誤差值[4].

        1.3 極值搜索法

        計(jì)算最小包容區(qū)域主要是尋找到滿足條件的“低-高-低”或“高-低-高”3點(diǎn).

        圖 3 極值搜索法原理示意圖Fig.3 Extreme search principle diagram

        如圖 3, 以最小二乘擬合直線L為基線, 稱基線上側(cè)為高點(diǎn)區(qū), 下側(cè)為低點(diǎn)區(qū), 分別在兩側(cè)尋找滿足條件的平行包容線組, 計(jì)算其間距. 找出所有滿足條件的包容線間距ti(i=1,2,3……n)中的最小值tmin, 作為所求直線度誤差[5].

        如圖 5(c) 對(duì)于第一組測(cè)量數(shù)據(jù)最小包容區(qū)域計(jì)算中, 低點(diǎn)連線為下包容線且滿足間距為最小值時(shí), 下包容線方程為

        0.11x-60y+37.97=0,

        (9)

        這對(duì)包容線L1h、L1l間的距離為t1=0.440 mm. 高點(diǎn)連線為上包容線且滿足間距為最小值時(shí), 上包容線方程為

        0.001x-45y+52.28=0.

        (10)

        這對(duì)包容線L2h、L2l間的距離為t2=0.521 mm. 則最小區(qū)域法直線度誤差即為tmin=0.440 mm.

        1.4 分割逼近法

        基于分割逼近法提取理想直線的思路是: 擬合最小二乘直線如式(4), 并以此為起始直線進(jìn)行搜索, 在一定的角度范圍內(nèi)以最小二乘直線斜率的變化量δa為間隔進(jìn)行分割, 尋找滿足最小區(qū)域的理想基準(zhǔn)直線. 如圖 4 所示實(shí)線為最小二乘線, 虛線為

        f′=(a±m(xù)·δa)x+b,

        (11)

        圖 4 分割逼近法原理示意圖Fig.4 Segmentation approach principle diagram

        也即初始直線繞Q點(diǎn)逆時(shí)針和順時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)角度, 計(jì)算對(duì)應(yīng)于所設(shè)角度范圍內(nèi)所有分割線的直線度誤差值pi, 其中最小值min(pi)就是符合最小包容區(qū)域的直線度誤差值, 對(duì)應(yīng)于min(pi)的直線就是符合最小包容區(qū)域的理想直線[6].

        本例中逆時(shí)針和順時(shí)針?biāo)O(shè)角度范圍θ分別為1.5°, 分割次數(shù)m分別為240, 那么對(duì)應(yīng)的角度增量或減量為0.37′,斜率變化量δa=1×10-4. 根據(jù)上述分割逼近原理, 得到如圖5(d)所示結(jié)果, 由于分割線較密集, 圖中僅展示5條分割線, 其中點(diǎn)劃線即為所得理想直線, 斜率為0.001 822, 實(shí)線表示初始直線.

        1.5 遺傳算法

        遺傳算法以生物進(jìn)化為理論基礎(chǔ), 總體來(lái)說(shuō)是一個(gè)不斷迭代更新的過(guò)程. 首先提取出問(wèn)題的解對(duì)其進(jìn)行編碼構(gòu)成“染色體”, 作為種群中的個(gè)體. 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)得到適應(yīng)度函數(shù), 由此算出個(gè)體的適應(yīng)度值, 通過(guò)選擇、 交叉、 變異一系列操作使種群完成新一代的進(jìn)化, 這樣一代一代不斷更新最終求得最優(yōu)解[7-8]. 算法步驟為:

        1) 編碼構(gòu)成初始種群A0(t).

        2) 計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度

        h(k)=gmax-g(k),

        (12)

        式中:g(k)為目標(biāo)函數(shù)

        3) 選擇操作, 根據(jù)適應(yīng)度大小得到n個(gè)新個(gè)體A1(t).

        4) 交叉操作, 形成A2(t).

        5) 變異操作, 形成新一代A3(t+1).

        6) 檢查進(jìn)化代數(shù).

        7) 保存適應(yīng)度最大的個(gè)體, 求出對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值即為直線度誤差.

        評(píng)定過(guò)程中所需參數(shù)設(shè)置為: 種群規(guī)模n=50; 交叉概率pc=0.6; 變異概率pm=0.02; 最大進(jìn)化代數(shù)t=1 000. 算法運(yùn)行優(yōu)化迭代過(guò)程如圖5(e)所示.

        根據(jù)表 1 偏心距數(shù)據(jù), 采用計(jì)算機(jī)輔助工具對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真, 第一次測(cè)量數(shù)據(jù)的曲線圖分別如圖5(a)~圖 5(e) 所示.

        圖 5 評(píng)定直線度曲線Fig.5 Assess the straightness curve

        2 結(jié)果比較

        對(duì)各方法3組結(jié)果求平均值, 最終結(jié)果如表 2 所示.

        仿真結(jié)果表明, 端點(diǎn)連線法和最小二乘法評(píng)定結(jié)果最大; 極值搜索、 分割逼近和遺傳算法此3種方法評(píng)定出來(lái)的誤差較前兩種方法精度均有提高, 遺傳算法評(píng)定的直線度誤差比端點(diǎn)連線法提高約4.4%, 比最小二乘法提高約3.4%, 其精確度高, 理論上可以無(wú)限逼近真實(shí)值. 由此可以看出: 通過(guò)最小包容區(qū)域原則評(píng)定直線度的誤差是最小的. 此外, 本文采用的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)一定程度上限制了評(píng)定精度, 實(shí)際應(yīng)用中可通過(guò)適當(dāng)增加采樣點(diǎn), 或每輪采樣交錯(cuò)選取采樣點(diǎn)來(lái)進(jìn)一步提高直線度誤差評(píng)定精度.

        表 2 各算法計(jì)算結(jié)果

        表 3 結(jié)果比較

        4 結(jié) 論

        通過(guò)研究深孔軸線直線度誤差評(píng)定方法和進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)可知: 幾種方法均可對(duì)深孔直線度誤差進(jìn)行評(píng)估, 其中, 最小區(qū)域法直線度誤差值小精度高, 計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜, 但借助計(jì)算機(jī)程序容易實(shí)現(xiàn), 而端點(diǎn)連線法和最小二乘法精度較低但計(jì)算簡(jiǎn)單. 實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)產(chǎn)品對(duì)象和精度要求選擇合適的評(píng)定方法, 或采用多種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行綜合評(píng)估.

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