陳 浩 王小麗

（1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 重慶 401331；2.重慶師范大學(xué) 地理與旅游學(xué)院 重慶 401331）

在數(shù)值分析的教學(xué)中，數(shù)值積分公式是很重要的內(nèi)容，數(shù)值分析教材往往側(cè)重于基于函數(shù)值的數(shù)值積分公式的分析，而對(duì)于基于函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值的數(shù)值積分公式的探討很少出現(xiàn).Hermite插值涉及到被逼近函數(shù)的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，因此，利用插值型積分思想，啟發(fā)學(xué)生思考Hermite插值是否可以用來(lái)解數(shù)值積分問(wèn)題，并得出相關(guān)結(jié)論.這樣做既可以將數(shù)值分析中插值與數(shù)值積分兩大重要內(nèi)容聯(lián)系在一起，又可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的興趣，進(jìn)而提高學(xué)生的認(rèn)知與效率.本文將對(duì)此作一些初步的討論.

設(shè)x0,… ,xn為區(qū)間[a,b]上n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)，且函數(shù)f(x)在此n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值f(xk)及導(dǎo)數(shù)值f'(xk)已知，則近似f(x)的2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式為[1-2]

其中不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式Lk(x),Mk(x)定義如下

其中ξ∈[a,b].對(duì)（1）式在[a,b]上求積分可得基于Hermite插值的數(shù)值積分公式

由（4）可知Hermite插值型積分公式（3）對(duì)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式是精確的，即此積分公式代數(shù)精度為2n+1階.

表1 改進(jìn)復(fù)合梯形公式計(jì)算例1的絕對(duì)誤差

當(dāng)n=1時(shí)，令x0=a,x1=b,計(jì)算可得α0=α1=(b-a)/2,則可得如下數(shù)值積分公式

式（5）也稱(chēng)為改進(jìn)的梯形公式. 若f(x) ∈C4([a,b])，則公式（5）的誤差界為

利用復(fù)合求積思想，將區(qū)間[a,b]分成m等分，求積節(jié)點(diǎn)xk=a+k(b-a) /m,在每個(gè)子區(qū)間上利用改進(jìn)的梯形公式（5）并求和可得如下復(fù)合積分公式

式（7）也稱(chēng)為改進(jìn)的復(fù)合梯形公式， 其誤差界為

表1展示了當(dāng)步長(zhǎng)h減半（m倍增）時(shí)絕對(duì)誤差及相鄰誤差比值：的變化情況

數(shù)據(jù)顯示相鄰誤差比值趨近于16，即改進(jìn)的復(fù)合梯形公式（7）數(shù)值收斂階為4階，進(jìn)一步驗(yàn)證了（8）式中的理論誤差界.