☉江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué) 高峰官

所謂隱性課程資源，又稱隱蔽性課程資源或潛在性課程資源.這是相對(duì)于顯性課程資源而言的，主要有隱性素材性資源和隱性條件性資源，具體包括數(shù)學(xué)知識(shí)的文化元素、過(guò)程元素、邏輯元素、背景元素和數(shù)學(xué)教學(xué)的環(huán)境元素等作用于數(shù)學(xué)教與學(xué)的各種隱性學(xué)習(xí)資源.生成性數(shù)學(xué)課程資源在數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)中切實(shí)存在，可歸類為數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程性元素之研究范疇.

一、充分認(rèn)識(shí)生成性數(shù)學(xué)隱性課程資源的開(kāi)發(fā)價(jià)值

生成性隱性課程資源的提出符合新課程改革所倡導(dǎo)的理念.對(duì)生成性隱性課程資源的開(kāi)發(fā)和利用，不僅可提高教師專業(yè)的發(fā)展水平，而且能促進(jìn)形成學(xué)生的主體性，更能提高課堂教學(xué)的質(zhì)量.

1.有利于教師的專業(yè)發(fā)展

對(duì)生成性隱性課程資源的開(kāi)發(fā)和利用，能夠拓展教師的專業(yè)知識(shí)和技能.教師對(duì)生成性隱性課程資源的開(kāi)發(fā)和利用，建立在教師對(duì)教材等文本多視角、多層面、多元化的解讀上；建立在教師對(duì)課程目標(biāo)和課程內(nèi)容的準(zhǔn)確把握上；建立在教師對(duì)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)和學(xué)科教學(xué)知識(shí)的充分掌握上；建立在教師具備的靈活多樣的教學(xué)策略上，體現(xiàn)了教師個(gè)人專業(yè)知識(shí)的建構(gòu)和優(yōu)化.因此，生成性隱性課程資源的功能之一就是提高教師的教學(xué)技能、優(yōu)化教師的知識(shí)結(jié)構(gòu).

教師的專業(yè)發(fā)展不僅包括專業(yè)知識(shí)與技能，還有教師的實(shí)踐智慧.課堂既復(fù)雜又開(kāi)放，既具有學(xué)生的不確定性又充滿著師生的創(chuàng)造性，所以教師需要運(yùn)用自身的教學(xué)藝術(shù)和智慧，抓住教育契機(jī)，采取合理有效的教學(xué)方式，對(duì)一些意想不到的事件進(jìn)行有價(jià)值的改造、利用，這離不開(kāi)教師豐富的實(shí)踐智慧.因此，生成性隱性課程資源的開(kāi)發(fā)可提升教師的實(shí)踐智慧.

2.有利于學(xué)生主體性的形成

學(xué)生能否成為學(xué)習(xí)的主人，這是學(xué)生主體性的表現(xiàn)，也是新課程著重強(qiáng)調(diào)的改革方面.生成性隱性課程資源的利用體現(xiàn)的就是學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)，養(yǎng)成在實(shí)踐中學(xué)習(xí)及應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度與能力.學(xué)生個(gè)體之間總是存在著差異的，這種差異不僅表現(xiàn)在個(gè)人的心理、情感、認(rèn)知、人際交往和價(jià)值觀等方面，還表現(xiàn)在個(gè)體各自有其不同的生活環(huán)境，經(jīng)歷過(guò)不同的教育背景，對(duì)新生事物有著不同的思考和困惑，對(duì)新知識(shí)都充滿著不同的興趣，而生成性隱性課程資源的利用，就是在遵循學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，使課堂教學(xué)適應(yīng)學(xué)生發(fā)展的特點(diǎn)和需要，有利于學(xué)生主體性的形成.

3.有利于課堂教學(xué)質(zhì)量的提高

生成性隱性課程資源是課堂教學(xué)順利有效實(shí)施的催化劑.課堂教學(xué)就是學(xué)生知識(shí)生成的過(guò)程，在這一過(guò)程中，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)重新優(yōu)化、組合和建構(gòu).生成性隱性課程資源的利用，有利于形成使教學(xué)活動(dòng)得以順利開(kāi)展的“生長(zhǎng)點(diǎn)”或“腳手架”，有利于教學(xué)活動(dòng)在此基礎(chǔ)上不斷動(dòng)態(tài)推進(jìn)，從而保障課堂教學(xué)順利、有效進(jìn)行.當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)了學(xué)生錯(cuò)題中含有創(chuàng)造性成分，學(xué)生爭(zhēng)論中擦出的思維火花時(shí)，若教師巧妙處理和解答，課堂就會(huì)釋放出應(yīng)有的活力.生成性隱性課程資源的利用，能讓學(xué)生的主體性在教學(xué)中得到尊重，在教學(xué)中能夠生成新的資源，師生互動(dòng)在教學(xué)中得到充實(shí)、真正體現(xiàn)，從而讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命的活力.可見(jiàn)，讓師生智慧與激情在生成性隱性課程資源的利用中相互碰撞，可提高課堂教學(xué)質(zhì)量.

二、正確把握生成性隱性數(shù)學(xué)課程資源的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)生成性隱性課程資源的解釋是將它作為數(shù)學(xué)課程資源之一進(jìn)行描述的.能夠應(yīng)用于教與學(xué)活動(dòng)中的各種資源是數(shù)學(xué)課程資源，而教學(xué)活動(dòng)中提出的問(wèn)題、學(xué)生的作業(yè)、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題、課堂實(shí)錄、聽(tīng)課評(píng)議等屬于生成性資源；它是在教學(xué)過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成的，如師生互動(dòng)及生生交流過(guò)程中產(chǎn)生的新情境、新問(wèn)題、新思路、新方法、新結(jié)果等.

從廣義上講，生成性隱性課程資源是具有課程意義的建構(gòu)性資源，是指在教育者、受教育者、文本、環(huán)境等多種因素持續(xù)地通過(guò)多種形式相互作用，在過(guò)程中以真實(shí)的對(duì)話情境為依托動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)的資源.

生成性隱性課程資源主要發(fā)生在課堂，就學(xué)生而言，葉瀾教授總結(jié)了學(xué)生在課堂活動(dòng)中的狀態(tài)，包括他們的學(xué)習(xí)興趣、注意力、學(xué)習(xí)方法與思維方式、合作能力與質(zhì)量、發(fā)表的意見(jiàn)、建議、觀點(diǎn)、提出的問(wèn)題與爭(zhēng)論乃至錯(cuò)誤的回答等，無(wú)論是語(yǔ)言，還是行為、情緒方式的表達(dá)，都是教學(xué)過(guò)程中的生成性資源.就教師而言，雖然動(dòng)態(tài)生成資源豐富，但它們往往都處于潛伏的狀態(tài)，需要教師運(yùn)用自身的知識(shí)、能力、情感、智慧、經(jīng)驗(yàn)、意愿、性格、愛(ài)好、態(tài)度、品行、價(jià)值觀和人格魅力等自覺(jué)主動(dòng)、有意識(shí)去激活，這些也屬于教學(xué)過(guò)程中的生成性資源.

對(duì)動(dòng)態(tài)生成中蘊(yùn)藏資源的開(kāi)發(fā)與利用.課堂教學(xué)是一個(gè)充滿變數(shù)的動(dòng)態(tài)化過(guò)程，在這過(guò)程中，除了“預(yù)設(shè)”和“預(yù)設(shè)生成”，往往還會(huì)產(chǎn)生一些出乎意料的信息材料，這就是動(dòng)態(tài)生成資源.正如葉瀾教授所言：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)生意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒(méi)有激情的行程”.

綜上，常見(jiàn)生成性隱性數(shù)學(xué)課程資源主要包括以下幾方面：一是隱性課程資源之課堂教學(xué)生成；二是隱性課程資源之教材例、習(xí)題的變式和拓展；三是隱性課程資源之學(xué)生作業(yè)與測(cè)試中的創(chuàng)新與“錯(cuò)誤”；四是隱性課程資源之課堂實(shí)錄、聽(tīng)課評(píng)議等.

本文著重就其中前三個(gè)方面加以闡述.

三、有效開(kāi)發(fā)和利用生成性隱性數(shù)學(xué)課程資源

1.對(duì)課堂教學(xué)生成性隱性資源的開(kāi)發(fā)與思考

（1）課堂教學(xué)生成性隱性資源的開(kāi)發(fā)和利用是本文闡述的重要內(nèi)容.對(duì)課堂教學(xué)隱性資源的存在形式，很多教師有各自的見(jiàn)解.福建師范大學(xué)的李煒教授在博士論文《數(shù)學(xué)教學(xué)生成研究》中對(duì)教學(xué)過(guò)程中一些常見(jiàn)生成性資源分成三類.

①問(wèn)題型資源.

美國(guó)教育家布魯巴克曾說(shuō)：“最精湛的教育藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問(wèn)題.”因?yàn)閱?wèn)題是自主探究的出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生顯示自己的困惑、提出問(wèn)題，生成了非預(yù)設(shè)性的教學(xué)資源，則學(xué)生的學(xué)習(xí)就成為一種發(fā)自內(nèi)心的探索，不再是被動(dòng)的灌輸.所以在學(xué)習(xí)中學(xué)生出現(xiàn)的疑難、困惑或模糊不清的認(rèn)識(shí)，以及在教學(xué)過(guò)程中教師即時(shí)生成的某些非預(yù)設(shè)性“問(wèn)題”都屬于問(wèn)題型資源.

②錯(cuò)誤型資源.

心理學(xué)家蓋耶說(shuō)：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”師生每天都要在數(shù)學(xué)教學(xué)中與數(shù)學(xué)錯(cuò)誤打交道.不知錯(cuò)誤就無(wú)法談及正確，理清錯(cuò)誤，汲取教訓(xùn)，也就明白了正確.對(duì)教學(xué)而言，師生所犯的錯(cuò)誤是可被開(kāi)發(fā)和利用的寶貴資源.

③差異型資源.

在教學(xué)過(guò)程中，為充分拓展學(xué)生的思維、實(shí)現(xiàn)學(xué)生個(gè)體相互間的資源共享，更為生成學(xué)生個(gè)體的知識(shí)意義，需將學(xué)生在認(rèn)知中表現(xiàn)出的獨(dú)特想法、新穎見(jiàn)解等個(gè)性化的思維方式和多樣化的探索策略作為教學(xué)資源，這種資源產(chǎn)生于學(xué)生不同的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知風(fēng)格，稱為差異型資源.

（2）開(kāi)發(fā)課堂生成性隱性資源的基本策略.

①充分預(yù)設(shè)，為教學(xué)生成奠定基礎(chǔ).

課前預(yù)設(shè)是上好一堂課的基礎(chǔ)和前提.但是，我們不能忽略學(xué)生是一個(gè)個(gè)活生生的個(gè)體，更不能忽略教學(xué)過(guò)程中學(xué)生的主體地位和學(xué)生身上存在的巨大主觀能動(dòng)性.學(xué)生在課堂的言行肯定會(huì)超出教師的預(yù)設(shè)，甚至打亂教師的預(yù)設(shè).充分的預(yù)設(shè)是上一堂好課的基礎(chǔ)，更是生成教學(xué)的基礎(chǔ).課前預(yù)設(shè)主要包括兩方面的內(nèi)容，一是針對(duì)教學(xué)內(nèi)容，教師要深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)、教材，理解教學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)和意圖；二是針對(duì)學(xué)情，了解學(xué)生已掌握的知識(shí)和要學(xué)習(xí)的知識(shí)間有什么聯(lián)系，學(xué)生的智力基礎(chǔ)如何，哪些地方需要細(xì)致深入、反復(fù)講解，學(xué)生之間差異有多大.作為教師，只有課前做好充分預(yù)設(shè)，才能換來(lái)動(dòng)態(tài)生成式的教學(xué)精彩.

②教師提出有啟發(fā)性的問(wèn)題.

當(dāng)教師提出有啟發(fā)性的問(wèn)題時(shí)，往往能引起學(xué)生認(rèn)知上的沖突或勾起學(xué)生的好奇心，從而使學(xué)生展開(kāi)思考和聯(lián)想，才會(huì)引出學(xué)生很多想法和觀點(diǎn).一千個(gè)讀者心中有一千個(gè)哈姆雷特，當(dāng)不同學(xué)生對(duì)教師的同一個(gè)有啟發(fā)性的問(wèn)題提出不同的想法和觀點(diǎn)時(shí)，這些想法和觀點(diǎn)往往會(huì)超出教師的預(yù)設(shè).這樣既保證了學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的主體地位，又產(chǎn)生了新的教學(xué)資源生成.

③教師從學(xué)生錯(cuò)誤解答中引出生成.

當(dāng)學(xué)生解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不應(yīng)顯現(xiàn)出厭惡或斥責(zé)的表情，而應(yīng)冷靜思考.錯(cuò)誤出現(xiàn)時(shí)，生成也很有可能出現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤往往是教學(xué)中一種寶貴的教學(xué)資源.

④教師從學(xué)生正確解答中引出生成.

在教學(xué)中，往往會(huì)出現(xiàn)這樣一種情況，教師讓某同學(xué)回答問(wèn)題，這個(gè)同學(xué)回答正確了，但是，這并不能代表大多數(shù)同學(xué)都掌握了本節(jié)課的知識(shí)，甚至這位同學(xué)也沒(méi)有完全理解本節(jié)課的內(nèi)涵，也許是死記硬背了解題方法.教師要善于追問(wèn)，在追問(wèn)中往往會(huì)加深對(duì)新知的理解、產(chǎn)生新的生成.

2.對(duì)教材例、習(xí)題的改編和拓展的開(kāi)發(fā)思考

例題教學(xué)是課堂的重要環(huán)節(jié)，加強(qiáng)對(duì)例題的教學(xué)是提高課堂效率的一種重要方法.這就要求教師對(duì)教材的充分理解和對(duì)例、習(xí)題的深度把握，在此基礎(chǔ)上才能發(fā)揮每一課堂環(huán)節(jié)的實(shí)效.然而，教材上的例題是有限的，也比較簡(jiǎn)單.有這樣一種現(xiàn)象，學(xué)生聽(tīng)老師講例題的時(shí)候都能聽(tīng)懂，但到自己做題的時(shí)候就不會(huì)了.這其中很重要的一個(gè)原因就是教師對(duì)例題的講解不夠充分，挖掘不夠深刻，問(wèn)題本質(zhì)揭示不到位.教師要認(rèn)識(shí)到，教材上的例題不是例、習(xí)題的全部，只是一個(gè)引子、一個(gè)起點(diǎn)，教師要學(xué)會(huì)對(duì)例、習(xí)題進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”，對(duì)例、習(xí)題中的思維和方法進(jìn)行拓展，讓學(xué)生通過(guò)例、習(xí)題的理解、演變、反思獲得更多的技能，從而充分挖掘例、習(xí)題的思維價(jià)值.

在教材例、習(xí)題改編中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）尊重原教材編寫(xiě)意圖.

尊重原教材內(nèi)容是對(duì)教材例題進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”的首要原則.教材是經(jīng)過(guò)專家們不斷推敲和研究后編寫(xiě)的，教材中的任何一道例題或練習(xí)都不是隨隨便便編排的，是知識(shí)的提煉和精華所在.因此，教師在對(duì)教材例題進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”的時(shí)候，不能舍棄原教材中的內(nèi)容，而要以原例題為基礎(chǔ)進(jìn)行開(kāi)發(fā).教學(xué)中首先要圍繞教材例題展開(kāi)教學(xué)，要先講完教材中的例題后，再對(duì)例題進(jìn)行拓展和開(kāi)發(fā)，這樣才是有效的.

（2）對(duì)例、習(xí)題中的背景進(jìn)行延伸.

為激發(fā)學(xué)生的思維活力，教師在對(duì)例題講解時(shí)可對(duì)例題的背景進(jìn)行優(yōu)化和延伸，根據(jù)實(shí)際生活為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)更加真實(shí)的知識(shí)體驗(yàn).比如，在講拋物線的時(shí)候，可以用當(dāng)?shù)爻雒臉蚧驑蚬?、隧道頂?lái)做例子，改動(dòng)原題數(shù)據(jù)，創(chuàng)造一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題情境.又如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，可用生活中一些真實(shí)的山或建筑物講解，學(xué)會(huì)用三角函數(shù)測(cè)量.這樣學(xué)生易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，能提高學(xué)習(xí)積極性.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)與生活相結(jié)合，能產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)資源，讓課堂氣氛更活躍.

（3）對(duì)例、習(xí)題中的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行變換.

教師還可以通過(guò)對(duì)例題中的題設(shè)和結(jié)論的變換達(dá)到二次開(kāi)發(fā)的目的.教材中的例題一般是具有代表性的，為了訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，可以采用這樣的方法提高課堂效率.特別是在幾何證明題當(dāng)中，變換題設(shè)或結(jié)論，可以很好地達(dá)到拓展學(xué)生思維的目的.

（4）對(duì)例習(xí)題的知識(shí)范圍進(jìn)行擴(kuò)充.

一般來(lái)說(shuō)，教材例題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)是本單元、本節(jié)中所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)范圍會(huì)相對(duì)窄一些.但在實(shí)際考試及運(yùn)用中，題目的考查方式往往是綜合的，也就是說(shuō)，一道題目會(huì)涉及幾個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)，這就要求學(xué)生綜合使用知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題.所以，在例題教學(xué)中，教師可對(duì)例題中的知識(shí)范圍進(jìn)行一定的擴(kuò)充，對(duì)例題進(jìn)行拓展，把相關(guān)的一些知識(shí)點(diǎn)及常見(jiàn)的考查方式融合到例題中，讓學(xué)生綜合使用不同知識(shí).比如,在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候，可以把前面學(xué)習(xí)過(guò)的相似三角形知識(shí)結(jié)合到一起；可把二次函數(shù)與二元一次方程結(jié)合到一起進(jìn)行對(duì)比和學(xué)習(xí).通過(guò)對(duì)例、習(xí)題知識(shí)范圍的擴(kuò)充，可加強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系，對(duì)幫助學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是非常有利的.

3.對(duì)學(xué)生作業(yè)和測(cè)試中出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”的開(kāi)發(fā)與思考

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要做題，做錯(cuò)題不可避免.因此，初中生做錯(cuò)題是很自然的，但很多錯(cuò)題并非是偶然產(chǎn)生的，有些錯(cuò)題會(huì)反映出學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的規(guī)律性因素.因此需對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行歸納總結(jié)、分析研究，從中吸取教訓(xùn)，將錯(cuò)題作為生成性資源加以利用，以促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)掌握、能力提升.

對(duì)于教師而言，學(xué)生知識(shí)的薄弱環(huán)節(jié)和思維方法的缺陷會(huì)在錯(cuò)題中暴露，一位優(yōu)秀的教師會(huì)研究學(xué)生的錯(cuò)因、收集學(xué)生的錯(cuò)題并分析，形成對(duì)學(xué)生各種思維誤區(qū)的預(yù)見(jiàn)，能夠在以后教學(xué)中給予針對(duì)性輔導(dǎo).教師不應(yīng)將產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因完全歸咎于學(xué)生，應(yīng)從教與學(xué)雙方面進(jìn)行反思.學(xué)生在學(xué)習(xí)中必定會(huì)出現(xiàn)“錯(cuò)題”，這是最直接、最豐富的教學(xué)資源.對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤，要采取慎思態(tài)度，善待錯(cuò)題，合理利用錯(cuò)題形成生成性資源，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知、思維、情感和品格的形成，這具有非常重要的教育價(jià)值.

數(shù)學(xué)錯(cuò)題具備生成性課程資源的主體依賴性特點(diǎn).應(yīng)將學(xué)生錯(cuò)題應(yīng)用在特定的教育情境中，通過(guò)教師和學(xué)生的交往、對(duì)話、互動(dòng)等生成學(xué)生的認(rèn)知和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).錯(cuò)題資源的教學(xué)利用體現(xiàn)了教師和學(xué)生的資源加工和處理能力，融合了教師和學(xué)生的集體智慧.

怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)“錯(cuò)題”隱性資源的開(kāi)發(fā)與課堂實(shí)施呢？

（1）預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，警示學(xué)生少犯錯(cuò)誤.

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況了如指掌.教師可以預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，通過(guò)錯(cuò)誤，引起學(xué)生重視，從而避免學(xué)生犯同樣錯(cuò)誤.例如，在學(xué)習(xí)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，教師舉例：已知一元二次方程2x2-6x+7=0，有兩根之和x1+x2=3，讓學(xué)生討論解法是否正確.討論后，學(xué)生認(rèn)識(shí)到根與系數(shù)關(guān)系公式的運(yùn)用前提是方程要有兩實(shí)數(shù)根，而此方程恰恰沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而警示學(xué)生要注意數(shù)學(xué)公式的適當(dāng)范圍，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的慎密性.

（2）巧取錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生自主質(zhì)疑.

批判性思維的一個(gè)重要表現(xiàn)就是科學(xué)的質(zhì)疑態(tài)度，對(duì)習(xí)以為常的東西要多加審視.只有采取批判的態(tài)度，才會(huì)有所創(chuàng)新.要培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性，就要訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑.例如，老師有意講解了這樣一道題：已知三角形的面積為36，周長(zhǎng)為24，則內(nèi)切圓的半徑為多少？如果教師形式化地用公式其中，r表示內(nèi)切圓的半徑，s表示三角形的面積，p表三角形周長(zhǎng)的一半，就有半徑等于3.這樣做對(duì)嗎？我們知道，周長(zhǎng)為定值的三角形中，以等邊三角形的面積最大，因此，容易算出，周長(zhǎng)為24的三角形的最大面積為，顯然小于36.可見(jiàn)，這道題本身就是錯(cuò)誤的.教師在平時(shí)例、習(xí)題講解中要善于引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，利用好這些課程資源.

（3）辯析錯(cuò)誤，促進(jìn)學(xué)生反思和完善認(rèn)知.

有這樣一道探究題：有一張8×8的正方體紙片，把這張紙片，按圖1所示剪開(kāi)，把剪出的4個(gè)小塊按圖2拼成一個(gè)新的圖形.教師問(wèn)：“這是一個(gè)什么樣的圖形呢？”學(xué)生動(dòng)手拼合后，好多學(xué)生回答：“這是一個(gè)長(zhǎng)13、寬5的長(zhǎng)方形.”教師問(wèn)學(xué)生能確定嗎？學(xué)生回答感覺(jué)上好像是這樣.

圖1

圖2

這是一個(gè)因?yàn)橹庇X(jué)而誤導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題.正方形的面積為64，而長(zhǎng)方體的面積為65，顯然不對(duì)，但學(xué)生又無(wú)法說(shuō)明為什么觀察的結(jié)果是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤在哪里呢？這顯然產(chǎn)生了一個(gè)很有思維價(jià)值的教學(xué)資源.

學(xué)生經(jīng)過(guò)邏輯思考，推斷只有一個(gè)可能：圖2中的紙片所示的圖形不是長(zhǎng)方形，不可以用長(zhǎng)方形的面積公式求面積.然后，可引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量圖形的左上角和右下角，發(fā)現(xiàn)確實(shí)不像直角.教師告知學(xué)生，這個(gè)想法是正確的，但需給出邏輯說(shuō)明，這樣引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由合情推理到演繹推理的過(guò)程.

至于證明，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法證明，讓學(xué)生加深對(duì)相似圖形的理解.

如圖1中，過(guò)D作AC的垂線交AC于F，假如圖2中的圖形是長(zhǎng)方形，那么圖形左下角應(yīng)為直角，則可推出圖1中有：∠BAC=∠EDF.由三角形相似判定定理可知，△ABC △DEF.應(yīng)當(dāng)有，這顯然是矛盾的.因此，圖2中的圖形不可能是長(zhǎng)方形.那么為什么學(xué)生容易產(chǎn)生直覺(jué)錯(cuò)誤呢？其原因在于這個(gè)差很小，因此造成視覺(jué)上的誤差.教學(xué)中，教師可鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用不同的方法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行解釋.正是在這樣的質(zhì)疑、交流中，學(xué)生的思維品質(zhì)得以優(yōu)化.

總之，生成性課程資源是數(shù)學(xué)隱性課程資源中的重要組成，也是數(shù)學(xué)教與學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)話題.作為一線數(shù)學(xué)教師，需做課程資源開(kāi)發(fā)的有心人，需開(kāi)拓視野，突破傳統(tǒng)思維的局限性，從多角度、多維度挖掘教學(xué)實(shí)踐中的隱性資源；要加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)有生成性隱性課程資源的價(jià)值研究和實(shí)踐研究，要形成具有指導(dǎo)性和操作性的開(kāi)發(fā)策略；同時(shí)積極開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐，在實(shí)踐中合理利用隱性課程資源，這對(duì)于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益.