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        巧借幾何直觀 妙解中考試題
        ——對一道中考試題的解法探析

        2018-10-11 05:50:58湖北省宜昌市第九中學(xué)竇正安
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年18期
        關(guān)鍵詞:綜合題輔助線平分線

        ☉湖北省宜昌市第九中學(xué) 竇正安

        幾何綜合題是初中階段很多學(xué)生難以逾越的一大難題.究其原因,無非在于很多幾何綜合題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力、計(jì)算能力,甚至需要借助轉(zhuǎn)化或添加輔助線.在眾多的題目中,那些基于核心素養(yǎng)的,具備一題多解的,甚至擁有拓展空間的好題常被人津津樂道.筆者從眾多中考試題中擷取一例加以剖析,以饗讀者.

        題目:(2018·湖北宜昌)如圖1,在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點(diǎn),把△PBC沿直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BE⊥CG,垂足為E且在AD上,BE交PC于點(diǎn)F.

        (1)若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),求證:△AEB △DEC;

        (2)①求證:BP=BF;

        ②當(dāng)AD=25,且AE<DE時(shí),求cos∠PCB的值;

        ③當(dāng)BP=9時(shí),求BE·EF的值.

        由于(1)、(2)①和②較為容易,過程從略.以下重點(diǎn)探析(2)③的解法.

        解法1:如圖1.

        由AD∥BC,得∠AEB=∠EBC.又因?yàn)椤螧EC=∠A=90°,所以△AEB △EBC,所

        所以BE·EF=AB·BP=12×9=108.

        點(diǎn)評:此解法的出發(fā)點(diǎn)是根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想到了相似,通過兩次相似構(gòu)建包含目標(biāo)線段的比例式,再轉(zhuǎn)化為等積式求得結(jié)果.其優(yōu)點(diǎn)在于思路比較清晰,易于想到運(yùn)用相似,缺點(diǎn)是圖中不止兩對相似三角形,如果選擇偏差就很難得出能求出結(jié)果的比例式.事實(shí)上,我們在閱卷的過程中也的確發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生想到用相似,但由于選擇不當(dāng),如證△EFC △GPC,又沒想到等量代換,最終只能望題興嘆.

        圖1

        解法2:如圖1,設(shè)AE=y,EF=x,則BE=x+9.

        易證△BAE △EDC.

        化簡得:x(y2+144)=108(x+9).

        在Rt△BAE中,(x+9)2=y2+144.

        所以x(x+9)2=108(x+9).

        又因?yàn)閤+9≠0,所以x(x+9)=108.

        所以BE·EF=x(x+9)=108.

        點(diǎn)評:此解法的思路是運(yùn)用設(shè)元法,先表示出目標(biāo)線段和所需線段,再根據(jù)相似和勾股定理列方程解決問題.其優(yōu)點(diǎn)在于思維比較簡單、直接,缺點(diǎn)在于計(jì)算較為煩瑣.事實(shí)上,在閱卷中,我們也發(fā)現(xiàn)了運(yùn)用此法的學(xué)生,但最終絕大多數(shù)人都是因?yàn)橛?jì)算問題而擱淺,甚至發(fā)現(xiàn)少數(shù)計(jì)算能力較強(qiáng)的學(xué)生本已算到x(x+9)=108這一步了,卻選擇把x解出來,沒有運(yùn)用整體思想,無形中增加了計(jì)算量,著實(shí)令人唏噓..

        解法3:如圖2.

        設(shè)EF=x,則BE=x+9.

        過點(diǎn)F作FH⊥BC,垂足為H.

        因?yàn)镋F⊥CE且∠ECF=∠HCF,所以FH=EF=x.

        易證△BAE △FHB.

        所以x(x+9)=108,所以BE·EF=x(x+9)=108.

        點(diǎn)評:此解法充分借助圖形的幾何直觀性,由折疊的性質(zhì)得知CP平分∠BCG,所謂“圖中有角平分線,常向兩邊作垂線”,故過點(diǎn)F作FH⊥BC構(gòu)造輔助線,此解法較解法2大大減少了計(jì)算量.

        圖2

        圖3

        解法4:如圖3.

        連接GF.

        因?yàn)椤螱EF=90°,∠PGE=∠ABC=90°,所以∠GEF=∠PGE.

        易得BF∥PG,BF=PG,所以四邊形BPGF是平行四邊形.

        又因?yàn)锽P=BF,所以平行四邊形BPGF是菱形.

        由BP∥GF,得∠GFE=∠ABE.

        所以BE·EF=AB·GF=12×9=108.

        點(diǎn)評:此解法充分地抓住了圖形的幾何直觀性,即局部對稱性.由折疊知△BPC與△GPC關(guān)于直線CP對稱,于是想到“沿軸將圖對折看,對折之后關(guān)系現(xiàn)”,F(xiàn)B對折后應(yīng)該與FG對應(yīng),故而想到連接GF.與此同時(shí),通過對折我們也不難發(fā)現(xiàn):圖中缺少EF的對應(yīng)線段,這樣想來就把解法3、解法4貫通起來了.正所謂:“圖中有角平分線,常向兩邊作垂線.沿軸將圖對折看,對折之后關(guān)系現(xiàn)”.

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