☉湖南省常德芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

一年一度的中考數(shù)學(xué)壓軸題，既是命題者頭痛的“磨難”命制，更是考生心有余悸的“傷痛”.如何在緊張的考場(chǎng)有效輕松應(yīng)對(duì)，研究中考?jí)狠S題就是一件必不可少的實(shí)踐活動(dòng)，為此我們對(duì)湖南省常德市2018年的數(shù)學(xué)壓軸題第26題做教學(xué)剖析，希望我們的教學(xué)觀察能為同仁帶來(lái)一點(diǎn)黎明曙光：

題目 已知正方形ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BD上，作直線AM交直線DC于E，過(guò)D作DH⊥AE于H，設(shè)直線DH交AC于N.

（1）如圖1，當(dāng)M在線段BO上時(shí)，求證：MO=NO；

（2）如圖2，當(dāng)M在線段OD上時(shí)，連接NE，當(dāng)EN∥BD時(shí)，求證：BM=AB；

（3）如圖3，當(dāng)M在線段OD上時(shí)，連接NE，當(dāng)NE⊥EC時(shí)，求證：AN2=NC·AC.

圖1

圖2

圖3

一、涉及考點(diǎn)

（1）特殊圖形：正方形、等腰三角形、直角三角形等；

（2）幾何性質(zhì)：正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線定理等；

（3）可以運(yùn)用的選學(xué)內(nèi)容：四點(diǎn)共圓、圓冪定理、射影定理等.

二、基本解析

三個(gè)小問(wèn)題的提出是基于點(diǎn)M在正方形對(duì)角線BD被對(duì)角線交點(diǎn)平分線段的不同位置所引起，其實(shí)隱喻“動(dòng)點(diǎn)M”乃問(wèn)題之間的思維聯(lián)系紐帶！

第（1）問(wèn)主旨是考查兩個(gè)直角三角形的全等的運(yùn)用，條件一是有一對(duì)相等的直角、條件二是一對(duì)相等的銳角（由同角（或等角）的余角相等得出的）、條件三是一條直角邊相等（由正方形對(duì)角線相等互相平分性質(zhì)得到的）；具體判定方法是“ASA”或“AAS”推出：△OAM △ODN，從而有MO=NO.

第（2）問(wèn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到OD上時(shí)，同理仍有△OAM△ODN，從而仍有MO=NO.由此可得到許多相等的線段，比如EM=NC、BM=AN等.

同樣也有許多的全等三角形，比如△ADM△DCN、△BAM △ADN等.還有許多的相似三角形，比如不連線時(shí)的△DME △BMA，△CEN △CDO，Rt△HDE、Rt△HAD與Rt△DAE三個(gè)三角形也相似（直角三角形重要性質(zhì)——射影定理），若連輔助線MN有△OMN△ODC等；見圖4.綜合上面的信息平行四邊形MNED；又已知DH⊥AE于HN，即AH是DN的垂直平分線?AN=AD.而AB=AD，BM=AN，于是有AB=BM.繼續(xù)演繹下去會(huì)有更多的全等三角形和相等的角和線段（略）.

圖4

圖5

三、教學(xué)觀察

⒈題目設(shè)計(jì)：蘊(yùn)藏思維定式與圈套障礙點(diǎn)

對(duì)于第（1）問(wèn)，屬于基本常規(guī)給分點(diǎn)，很容易上手，乃激發(fā)答題者的興趣和解題斗志的設(shè)計(jì)；

對(duì)于第（2）問(wèn)，考生很容易糾纏于想通過(guò)證明∠BAM=∠BMA去證明線段AB=BM，其實(shí)是一個(gè)死胡同！顯然跳出這個(gè)設(shè)計(jì)的“定式思維”最明智的方法是像上面的分析一樣發(fā)散開來(lái)！

對(duì)于第（3）問(wèn)，若從NE⊥EC、AD⊥DC?EN∥AD出再推理演繹的話也會(huì)出現(xiàn)死胡同！或利用直角三角形射影定理模型法展開推理仍會(huì)出現(xiàn)死胡同！跳出這個(gè)設(shè)計(jì)的“思維”圈套最明智的方法也就是上面說(shuō)的信息發(fā)散！

2.題目檢測(cè)：考生數(shù)學(xué)思維的長(zhǎng)度與解題能力

顯然要一氣呵成解決這些問(wèn)題，從顯性的圖形與已知出發(fā)，先做基本的演繹推理得出隱形的一些相等的角、相等的線段、全等的三角形、相似的三角形，再兩兩組合得出新的相等的角、相等的線段、全等的三角形、相似三角形，即發(fā)散更多的隱形的數(shù)量、位置和變換關(guān)系.這些無(wú)不體現(xiàn)出考查知識(shí)的覆蓋度、思維的連貫性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性！

3.解題方法：亦可合情推理，拼湊法樸素輕松

顯然嚴(yán)格推理不是一件在規(guī)定時(shí)間內(nèi)輕松解決的事情，咋辦？根據(jù)新的課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本要求，不妨合情推理展開思維：直接計(jì)算推理，即：

①等腰Rt△NEC中，NC2=2NE2；②Rt△NED中，NE⊥DE、EH⊥DN于H?NE2=NH·ND（射影定理）.聯(lián)合知NC2=2NH·ND.

③∠DHA=∠DOA=90°?四點(diǎn)D、H、O、A共圓?NH·ND=NO·NA.

4.思維模式：暗含提綱挈領(lǐng)的紐帶

顯然生活中一個(gè)事件常常引發(fā)多個(gè)相關(guān)事情的發(fā)生（多米諾骨牌效應(yīng)），映射到數(shù)學(xué)命題中來(lái)，利用幾何變換如一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，與定點(diǎn)相關(guān)聯(lián)得到一個(gè)圖形如線段就會(huì)是動(dòng)線段，產(chǎn)生“子母”聯(lián)動(dòng)形象，于是相關(guān)思維的有機(jī)破解能力就自然被要求了！本題的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)就是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的點(diǎn)M，與定點(diǎn)A相連的線段AM就是動(dòng)線段，于是相關(guān)聯(lián)的其他圖形就受其制約了，于是“動(dòng)點(diǎn)M”乃問(wèn)題之間被“提綱挈領(lǐng)”的思維聯(lián)系紐帶！這正是我們研究中考?jí)狠S題教學(xué)觀察的結(jié)論：找到“相關(guān)思維”被“綱舉目張”的思維動(dòng)點(diǎn)，為我們的解題指明前進(jìn)的方向！