張秋鴻

(福建省龍巖市漳平二中 364400)

對(duì)最一般的三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一類的問(wèn)題，從解題的角度來(lái)看，可以經(jīng)過(guò)平移將三次函數(shù)的拐點(diǎn)(即三次函數(shù)的對(duì)稱中心點(diǎn))移到原點(diǎn)處，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，從而較為簡(jiǎn)單地解決問(wèn)題.此時(shí)三次函數(shù)都可化為y=ax3+px(a≠0)，以下稱該型為標(biāo)準(zhǔn)型三次函數(shù).過(guò)程如下：

另上面也可這樣變形：

此時(shí)只須上下平移即可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型三次函數(shù).

經(jīng)過(guò)以上分析，要解決三次函數(shù)問(wèn)題，實(shí)際上解決標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題即可.同樣的思維方法用在有關(guān)三次函數(shù)問(wèn)題命題時(shí)有很好的幫助.一方面可以在標(biāo)準(zhǔn)型上研究，然后推廣到一般情形，另一方面也可以命好題后放到標(biāo)準(zhǔn)型上繼續(xù)研究.

不妨假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)型三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)a>0，則顯然有以下性質(zhì)：

1.函數(shù)為奇函數(shù)，原點(diǎn)為其對(duì)稱中心點(diǎn);

2.當(dāng)p≥0時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒(méi)有極值;

(1)若對(duì)任意的m∈(t,x2]，線段MP與曲線f(x)均有異于M，P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；

(2)若存在點(diǎn)Q(n,f(n))，x1≤n

分析(1)在過(guò)點(diǎn)M的直線中，除平行于x軸外恰好還有一條與曲線相切，且切點(diǎn)在O點(diǎn)與N點(diǎn)之間.此時(shí)如果斜率繼續(xù)增大，在P點(diǎn)兩側(cè)均有交點(diǎn).可見(jiàn)，相切時(shí)的切點(diǎn)是線段MP是否與曲線有異于M，P的公共點(diǎn)的臨界點(diǎn).曲線在P處的切線斜率為f′(m).

m=-2時(shí)即為M點(diǎn)，故m=1.

(2)若m∈(0,2]，只要取Q為P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，顯然PQ線段過(guò)原點(diǎn)，而原點(diǎn)在曲線上，所以m∈(0,2]符合題意.

若m∈(-2,0]，因?yàn)?2

本題若為普通三次函數(shù)(如09福建卷)則明顯加大難度了，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象不清，不能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，特別是(2)問(wèn)難度就更大了，所以原題(09福建卷)只要求寫出結(jié)果，而不要求證明.

該題用很基本的三次函數(shù)，但卻考查了科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析的思想方法，對(duì)中學(xué)階段來(lái)說(shuō)屬靈活性，難度都較大.試題有較好的區(qū)分度，不過(guò)有不足的地方就是起點(diǎn)門檻高，對(duì)不能理解題意的考生基本得不到分?jǐn)?shù).

分析本題關(guān)鍵在兩點(diǎn)：

1是切線l1上兩倍的切點(diǎn)橫坐標(biāo)和切線與曲線另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為零；(把切點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)看，即有切線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為零，如本題2xP1+xP2=0)

∴a(x-x1)2(x+2x1)=0.∵x≠x1，

∴x+2x1=0，即x2+2x1=0,即有2xP1+xP2=0.

另一方面：

拐點(diǎn)處切線方程為：y=px，與f(x)聯(lián)立方程有：

事實(shí)上，對(duì)上述的第一點(diǎn)有：對(duì)三次函數(shù)y=ax3+px(a≠0)，如果與直線y=kx+b有三個(gè)交點(diǎn)，則三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為零.特別地，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)用兩點(diǎn)計(jì)算.聯(lián)立兩方程，因?yàn)閍x3+px=kx+b，即有ax3+

(p-k)x-b=0，由x2項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)韋達(dá)定理容易得到：x1+x2+x3=0.

把上述推廣到一般情形有：對(duì)一般三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，如果與直線y=kx+b有三個(gè)交點(diǎn)，則三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均值為三次函數(shù)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).(如果直線與曲線相切，則切點(diǎn)用兩點(diǎn)計(jì)算)可以把這一性質(zhì)設(shè)計(jì)成試題，讓考生猜想，同樣的，考生不容易觀察到，對(duì)數(shù)學(xué)思維有很高的要求.