郭洪林

(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué) 150001)

含參不等式恒成立問(wèn)題常與函數(shù)、方程、數(shù)列等知識(shí)交匯，又涉及到諸多的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，一直是解題的難點(diǎn).本文根據(jù)自己對(duì)此類題型的求解體會(huì)，歸納出以下幾種求解方法，希望提高學(xué)生解答此類問(wèn)題的能力.

一、最值法

我們知道，要使不等式f(x)≥0恒成立，只要f(x)的最小值f(x)min≥0即可.因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出f(x)的最小值，再繼續(xù)求解，得出參數(shù)的值(或范圍).

例1 (2017全國(guó)卷Ⅱ21題(1))已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0，求a的值.

解易見(jiàn)f(x)的定義域是(0，+∞)，因此f(x)≥0等價(jià)于g(x)=ax-a-lnx≥0恒成立.

觀察易見(jiàn)g(1)=0,故x=1應(yīng)是g(x)的一個(gè)最小值點(diǎn).

可見(jiàn)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0,g(x)遞減；x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0,g(x)遞增.因此x=1是g(x)的最小值點(diǎn)，則有f(x)≥g(1)=0.

綜上知a=1.

點(diǎn)評(píng)本解法中觀察出g(1)=0是解題的關(guān)節(jié)點(diǎn).上述求解的前半部分，利用特殊的g(1)=0是最小值，求出a=1；后半部分論證了a=1時(shí)，f(x)≥0恒成立.因此a=1是f(x)≥0的充要條件.

本例若觀察不到g(1)=0，也可采用將a分類討論來(lái)求f(x)的最小值，但是過(guò)程比較復(fù)雜.

二、分離參數(shù)

對(duì)于含參數(shù)a的不等式f(x,a)≥0，若能設(shè)法分離出參數(shù)a，化成a≥g(x)或a≤g(x)恒成立的問(wèn)題，那么只要求出g(x)的最大值或g(x)的最小值，從而得到參數(shù)a的取值范圍.

例2 (2008江蘇卷14題)f(x)=ax3-3x+1對(duì)于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=____.

分析本題中參數(shù)a的“系數(shù)”x3的符號(hào)不確定，為了分離出參數(shù)a，需對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行分類討論.

解(1)若x=0,則f(x)=1，顯然對(duì)任意a的值，f(x)≥0恒成立.

綜合上述三種情況，要使x∈[-1,1]時(shí)不等式f(x)≥0都成立，得a=4.

三、變更主元

在含參數(shù)m的不等式f(x,m)>0中，受常規(guī)思維的影響，往往把它看成關(guān)于變?cè)獂的不等式來(lái)考慮，而這樣的思維方式常常難以尋得解題思路，或囿于思路的復(fù)雜而陷入困境.此時(shí)若能及時(shí)調(diào)整思維方向，視已知范圍的量為主元，?？墒顾季S豁然開朗.

例3 若函數(shù)f(x)=mx2-mx-6+m對(duì)任意x∈[-2,2]都有f(x)<0成立，求x的取值范圍.

分析本題所給是關(guān)于x的函數(shù)f(x)，常規(guī)思路是首先要分m=0，m≠0考慮f(x)是否二次函數(shù)；而m≠0時(shí)，又要按m<0,m>0兩種情況考慮相應(yīng)拋物線開口方向；接著還要考慮對(duì)稱軸、最值點(diǎn)位置情況.簡(jiǎn)直是太復(fù)雜了.注意到本題中的條件是m的范圍[-2,2]是已知的，應(yīng)充分利用這個(gè)條件，把已知函數(shù)式視為關(guān)于m的函數(shù)，就容易把握問(wèn)題了.

解把題設(shè)函數(shù)視為關(guān)于m的函數(shù)，即g(m)=f(x)=(x2-x+1)m-6,m∈[-2,2].

四、數(shù)形結(jié)合

將不等式轉(zhuǎn)化為形如f(x,m)>g(x,m)，然后考察該式左、右兩個(gè)函數(shù)圖象之間的上下位置關(guān)系問(wèn)題，使解題直觀而易操作.

例4 (2013全國(guó)Ⅱ卷21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

解(1)略.

分析要證f(x)=ex-ln(x+m)>0,即證ex>ln(x+m).

聯(lián)想到課本上的兩個(gè)不等式ex>1+x,lnx

證明設(shè)g(x)=ex-(x+1),g′(x)=ex-1.當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)<0;當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0.因此x=0是g(x)的最小值點(diǎn)，即g(x)≥g(0)=0,得ex≥x+1(取“=”時(shí)，x1=0)①.

當(dāng)x<1-m時(shí)，h′(x)>0;當(dāng)x>1-m時(shí)，h′(x)<0.因此x=1-m是h(x)的最大值點(diǎn)，有h(x)≤h(1-m)=0，也即ln(x+m)≤x+m-1(取“=”時(shí)，x2=1-m)②.

而當(dāng)m≤2時(shí)，有x+1≥x+m-1，則由①和②有ex≥ln(x+m).

①和②同時(shí)取“=”的條件是x1=x2，即1-m=0,m=1;且x+1=x+m-1，得m=2.但m=1與m=2不能同時(shí)滿足，故有ex>ln(x+m),即f(x)>0.

說(shuō)明本例中的①和②兩個(gè)不等式，其實(shí)就是人教版《數(shù)學(xué)選修2-2A》第32頁(yè)B的1(3)、(4)兩個(gè)不等式的變形推廣.因此熟悉課本中的典型題目，并且明了題目的圖形背景，這對(duì)我們開拓思維，理解題意，構(gòu)建解題思路十分有益，?？苫[為顯，化難為易.