摘要：《圖論及其應(yīng)用》是我校數(shù)學(xué)系研究生的一門基礎(chǔ)選修課，選修的同學(xué)來自多個(gè)專業(yè)方向，存在基礎(chǔ)不同，研究方向迥異等諸多問題。論文分析了上這門課時(shí)遇到的問題，并提出解決方法，希望能提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：圖論；研究；教學(xué)模式

一、引言

圖論是研究由若干點(diǎn)及連接點(diǎn)的邊所組成的圖的科學(xué)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的一部分。圖論是一門古老而又新興的科學(xué)，它的起源很早。早在1736年，著名的科學(xué)家歐拉在哥尼斯堡七橋問題[1]上就用圖的方法解決這個(gè)問題，并開創(chuàng)了一門學(xué)科——圖論。雖然在歐拉發(fā)表奠基性論文之后的幾百年時(shí)間，圖論發(fā)展非常緩慢，很多問題都是圍繞游戲展開，如迷宮問題，博弈問題，棋盤上馬的行走問題等。直到十九世紀(jì)中葉，圖論問題大量出現(xiàn)，如四色問題，漢密爾頓問題[2]等，并且以圖為工具解決了其他領(lǐng)域的問題。隨著上世紀(jì)七八十年代科學(xué)的發(fā)展，在生產(chǎn)管理，交通運(yùn)輸，軍事，計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域提出了很多離散問題，促進(jìn)了圖論的發(fā)展。所以現(xiàn)在圖論知識(shí)涉及到各個(gè)領(lǐng)域，有著舉足輕重的地位。

我校數(shù)學(xué)系開設(shè)《圖論及其應(yīng)用》這門基礎(chǔ)選修課[3]，是希望同學(xué)能掌握基本的圖論知識(shí)，學(xué)會(huì)圖論中的算法，并靈活掌握解決圖論問題的方法。在講授這門課的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)同學(xué)存在基礎(chǔ)差異巨大、研究方向迥異、對(duì)圖論應(yīng)用缺乏了解等諸多問題[4]。

二、圖論教學(xué)中存在問題分析

1、同學(xué)基礎(chǔ)差異較大

學(xué)校的研究生本科階段在不同的學(xué)校學(xué)習(xí)，各校的培養(yǎng)計(jì)劃不同，所學(xué)的知識(shí)也不同。有些學(xué)校將圖論列為必修課，所以這些同學(xué)在本科階段已經(jīng)有了系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，對(duì)圖論的基本概念，重要定理，主要方法已經(jīng)有了很好的掌握，基礎(chǔ)較好。另外一部分同學(xué)所在學(xué)校僅開設(shè)了《離散數(shù)學(xué)》，或者將圖論列為選修課，同學(xué)重視程度不夠，所以雖然了解一些相關(guān)概念，但是基礎(chǔ)不佳。最糟糕的是極少數(shù)同學(xué)在本科階段沒有學(xué)習(xí)過任何圖論有關(guān)的知識(shí)，所以同學(xué)的基礎(chǔ)為零。同學(xué)基礎(chǔ)差異太大，給圖論的教學(xué)帶來了很大麻煩。

2、同學(xué)自身學(xué)習(xí)能力不足，對(duì)圖論這門學(xué)科的應(yīng)用背景不了解

研究生階段是一個(gè)深層次學(xué)習(xí)的階段，不同于本科階段的學(xué)習(xí)，要求同學(xué)有一定的自學(xué)能力和研究能力，上課也不會(huì)像本科上課那樣講得很細(xì)，更多需要引導(dǎo)同學(xué)自己去思考，具備獨(dú)立思考和解決問題的能力。對(duì)同學(xué)的學(xué)習(xí)要求較高。同時(shí)同學(xué)思維固化，覺得跟數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)科都沒有什么實(shí)用性，學(xué)了沒用。學(xué)習(xí)缺乏積極性和主動(dòng)性，也是同學(xué)學(xué)好圖論的攔路虎。

3、圖論本身知識(shí)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，內(nèi)容多，覆蓋面廣

圖論本身脫胎于實(shí)際問題，一開始人們的研究也是從游戲開始的。很多概念名稱都是從外國文獻(xiàn)中翻譯過來，所以造成不同圖論書存在概念名稱不統(tǒng)一，符號(hào)表示不一致等問題。同一個(gè)概念在不同的書中用不同的符號(hào)表示，同一個(gè)名稱在不同的書中表示不同的概念。比如二部圖、偶圖、二分圖在英文中都是bipartite graph。又比如“環(huán)”，在一些教材中表示兩個(gè)端點(diǎn)重合的邊，而在另外一些教材中表示頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)相等的圖。這些都給同學(xué)們自主學(xué)習(xí)帶來一定的困難。同時(shí)圖論概念定理比較多，看著接近，實(shí)則不同，容易混淆，不利于記憶。另外圖論的證明方法多樣，比較靈活，難度較大。所以同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中普遍反映能看懂證明過程，但自己想不到，做不來。

4、研究方向不同，學(xué)習(xí)側(cè)重點(diǎn)不一樣

研究生階段學(xué)習(xí)時(shí)間緊張，任務(wù)較重，加之圖論內(nèi)容多，覆蓋廣。本身這門課是選修課，所以他們不可能對(duì)每個(gè)課題都感興趣，而會(huì)選擇跟自己的研究方向較近的，或者在研究過程中需要用到的內(nèi)容去深入研究，而其他內(nèi)容則泛泛而讀，這種現(xiàn)象也不利于學(xué)好圖論。

三、圖論教學(xué)的改進(jìn)意見

在認(rèn)識(shí)到了問題所在，對(duì)于圖論的教學(xué)，我們從提高學(xué)習(xí)興趣，改革教學(xué)模式等方面著手，以提高同學(xué)的學(xué)習(xí)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。

1、提高學(xué)習(xí)圖論的興趣

“興趣是最好的老師?！边@句話是對(duì)興趣在學(xué)習(xí)中的作用的最好詮釋。我們首先要做的就是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的求知欲。圖論本身就是跟生活最接近的數(shù)學(xué)分支之一，它的應(yīng)用非常廣泛。最開始可以拋開理論，先介紹圖論的應(yīng)用背景，讓他們知道圖論是有用的學(xué)科?？梢詮囊恍┙?jīng)典的問題出發(fā)，比如排課問題，貨郎擔(dān)問題，四色問題等等，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

2、改變教學(xué)模式，安排學(xué)生講解，提高自主學(xué)習(xí)能力

由于圖論的一些基礎(chǔ)知識(shí)具有內(nèi)容通俗易懂，上手容易的特點(diǎn)，所以可以在開學(xué)初，將同學(xué)分成若干小組，每組3人，選擇一些課題，讓小組成員學(xué)習(xí)，然后講解。這既提高了他們自主的學(xué)習(xí)能力，也能在小組之間產(chǎn)生討論的氛圍，培養(yǎng)研究精神，比較符合研究生的培養(yǎng)特點(diǎn)。同時(shí)也可以彌補(bǔ)不同基礎(chǔ)層次同學(xué)之間的差異，形成基礎(chǔ)好的同學(xué)帶動(dòng)基礎(chǔ)差的同學(xué)，最后達(dá)到共同進(jìn)步。

同時(shí)教學(xué)和練習(xí)相結(jié)合，課堂上既有講解，也可適當(dāng)安排練習(xí)，當(dāng)場(chǎng)熟練所講內(nèi)容。同時(shí)安排課后的思考題，思考題難度較大，有利于同學(xué)鞏固所學(xué)，提高學(xué)習(xí)能力。

3、教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際相結(jié)合

所謂的教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際相結(jié)合，包含兩個(gè)含義：既是教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相結(jié)合，也可以教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合。讓同學(xué)分組講解內(nèi)容，在課題選擇時(shí)要有針對(duì)性。比如對(duì)于運(yùn)籌方向的同學(xué)，可能對(duì)圖論中涉及到的一些算法比較感興趣，所以可以分配最短路算法、最大匹配算法等算法方面的內(nèi)容；對(duì)于優(yōu)化方向的同學(xué)，可以自學(xué)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方面的內(nèi)容，再講給大家聽。這樣既可以提高他們的積極性，也便于學(xué)以致用。同時(shí)注重教學(xué)與實(shí)際相結(jié)合，培養(yǎng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)問題的能力。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型解決是圖論的應(yīng)用之一，培養(yǎng)同學(xué)建模能力。

四、結(jié)束語

研究生學(xué)習(xí)階段，是一個(gè)深度學(xué)習(xí)的階段。它在學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法、培養(yǎng)模式等方面跟本科生階段都有很大的不同。研究生的圖論教學(xué)，有其特殊的地方，如何結(jié)合研究生的特點(diǎn)更好的設(shè)計(jì)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果，需要我們進(jìn)一步探索和討論。

參考文獻(xiàn)

[1]Douglas B. West，圖論導(dǎo)引（第2版）[M]，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[2]J.A.邦迪，U.S.R.莫蒂，圖論及其應(yīng)用[M]，北京：科學(xué)出版社，1984.

[3]張清華，圖論及其應(yīng)用[M]，北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[4]羅文昌，關(guān)于圖論教學(xué)的一些有益嘗試[J]，大學(xué)數(shù)學(xué)，2014年12月，第A01期.

作者簡(jiǎn)介：沈健，1981年11月，男，漢族，籍貫：江蘇省蘇州市，研究生學(xué)歷，講師，應(yīng)用數(shù)學(xué)，研究方向：圖論，單位：杭州電子科技大學(xué)。