趙 爍， 史 峰， 胡心磊， 徐光明， 單杏花

(1. 中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院， 湖南 長沙 410075； 2. 中國鐵道科學(xué)研究院 電子計算技術(shù)研究所， 北京 100081)

鐵路客流均衡分配是旅客運(yùn)輸優(yōu)化組織的基礎(chǔ)理論與方法，可用于旅客列車開行方案、列車運(yùn)行圖和售票組織策略的效益評價。早期的列車客流分配正是出現(xiàn)在列車開行方案優(yōu)化研究中[1-8]，這些研究基于給定的列車開行方案構(gòu)造旅客換乘網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計旅客的出行廣義費(fèi)用，包括票價支出、旅行時間和擁擠效應(yīng)等，建立客流分配模型，將客流分配到列車運(yùn)行區(qū)段上。為了在客流分配中引入列車運(yùn)行時間信息，文獻(xiàn)[9-11]對列車開行方案與運(yùn)行圖進(jìn)行綜合優(yōu)化。作為子問題，客流分配方法主要源于道路交通和公共交通的交通分配，考慮了車上的擁擠程度，未考慮時變出行需求。文獻(xiàn)[12]針對多類消費(fèi)層次的出行旅客，建立體現(xiàn)服務(wù)水平差異性要求的客流分配模型，利用改進(jìn)的蟻群算法和Frank-Wolfe構(gòu)成的混合算法進(jìn)行求解。

對于高速鐵路，一般不超員售票或嚴(yán)格限制超員人數(shù)，列車上不會出現(xiàn)明顯擁擠現(xiàn)象，這種列車上不擁擠的現(xiàn)象與既有客流分配問題的描述形成顯著差異。鐵路旅客出行并不是實(shí)時占用列車能力，而是在購票的一瞬間占用列車能力，高速鐵路的客流分配過程實(shí)際上就是旅客的購票過程，旅客總是在當(dāng)前剩余能力范圍內(nèi)，選擇最小費(fèi)用的出行方案。隨著購票時間的推移，剩余能力不斷下降。鐵路企業(yè)采用若干售票策略，從滿足旅客出行需求和提高列車客座率的目標(biāo)出發(fā)，在不同售票期內(nèi)，將合適的車票賣給那些合適的旅客。另外，在旅客實(shí)際購票過程中，不同需求的客流會具有不同的購票特征，比如，長途客流的購票時間往往比短途客流會更早一些，在配流過程中還需要將這些特征融合進(jìn)去。

由于每天大量開行的高速鐵路列車能夠滿足旅客出行需求，因此有必要進(jìn)一步滿足旅客的時變需求。在針對時變出行需求的城際鐵路旅客乘車選擇研究中，Douglas等[13]采用屋頂方法(Rooftops)，將計劃到達(dá)時間劃分成若干個連續(xù)時間段，計劃到達(dá)時間處于同一時間段內(nèi)的旅客選擇同一趟列車到達(dá)。為了解決時變出行需求的高速鐵路客流分配問題，Su等[14]以列車區(qū)段能力飽和為劃分節(jié)點(diǎn)，將旅客購票過程劃分為若干階段，每一階段中采用屋頂方法思想，將時變需求離散化并進(jìn)行全有全無分配，直至全部出行需求分配完畢。在實(shí)際售票過程中，售票策略限制短途旅客購買長途列車的車票(能力富足的列車除外)，由于文獻(xiàn)[14]沒有考慮售票策略，勢必導(dǎo)致短途旅客參與競爭長途列車席位，存在降低長途列車客座率的可能性。

本文將鐵路售票策略嵌入到整個客流售票過程中，并根據(jù)不同OD客流的購票特征構(gòu)造購票強(qiáng)度函數(shù)，將文獻(xiàn)[14]的高速鐵路客流分配方法擴(kuò)展成為考慮售票策略的高速鐵路客流分配方法，使得高速鐵路客流分配方法與旅客購票過程更貼切，為列車運(yùn)行圖和售票策略提供評價手段。

1 考慮售票策略的高速鐵路客流分配問題

最常用的售票策略包括票額計劃、限以遠(yuǎn)站、票額共用、席位復(fù)用等。票額計劃是列車運(yùn)能在列車沿途主要區(qū)段的分配計劃，即在列車的一些沿途區(qū)段分配一定額度的車票發(fā)售量。通常為了滿足長途客流，要求票額計劃吻合長途出行需求。當(dāng)票額有一定的富余時，車票的終點(diǎn)站不一定為列車的終到站，但車票必須達(dá)到規(guī)定的里程，剛好達(dá)到規(guī)定里程的終點(diǎn)站稱之為限以遠(yuǎn)站，車票的終到站必須是限以遠(yuǎn)站或更遠(yuǎn)的車站。隨著票額富余程度的變化，限以遠(yuǎn)站也會相應(yīng)地調(diào)整。當(dāng)票額的富余程度很高時，車票的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站都可以不受限制，只要位于票額區(qū)段范圍內(nèi)即可，這就是票額共用策略。若發(fā)售了票額子區(qū)段的車票，則應(yīng)將剩余區(qū)段繼續(xù)發(fā)售，這就是席位復(fù)用策略。

這些售票策略的合理運(yùn)用，能夠最大限度地滿足旅客出行需求和提高列車客座率。在旅客購票過程中嵌入售票策略后，客流分配過程也相應(yīng)地發(fā)生了變化：換乘網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)需要表現(xiàn)票額計劃和限以遠(yuǎn)站，能力約束需要細(xì)化到每一項(xiàng)票額計劃，表現(xiàn)席位復(fù)用策略需要在客流分配過程中動態(tài)修正相關(guān)上車弧和通過弧的能力等。

其中，購票強(qiáng)度函數(shù)需要描述不同OD客流的購票特征。簡便起見，通常假設(shè)計劃出行時間與購票時間無關(guān)。

綜上所述，考慮售票策略的高速鐵路客流分配問題可敘述如下：在給定開行的全部高速鐵路列車、旅客計劃出行時間分布函數(shù)以及鐵路企業(yè)售票策略條件下，根據(jù)不同OD客流的購票特征構(gòu)造各OD購票強(qiáng)度函數(shù)。假設(shè)列車上不存在擁擠現(xiàn)象，旅客在購票瞬間占用全程的列車區(qū)段能力，任意購票時間的旅客總是基于當(dāng)前剩余能力選擇最小費(fèi)用方案出行(旅客出行費(fèi)用包括旅客提前或推遲上車的出行時間偏差、換乘時間、票價開支和旅途出行時間等)。在列車定員的嚴(yán)格能力約束下，求解列車上的客流分配方案。

本文的旅客出行方案，可以根據(jù)旅客起始站上車時間為分界點(diǎn)，分解為兩個子方案。前者從計劃出行時間至起始站上車時間，后者從起始站上車時間至終到時間。相應(yīng)地，旅客最優(yōu)出行方案包括最優(yōu)起始站上車方案和最優(yōu)換乘方案。通過設(shè)計基于售票策略的換乘網(wǎng)絡(luò)，可以將最優(yōu)換乘方案描述為最短路來求解，再借助于屋頂方法可求出最優(yōu)起始站上車方案。

2 考慮售票策略的換乘網(wǎng)絡(luò)

旅客出行過程包括上車、通過、換乘、候車和終到，結(jié)合票額計劃、限以遠(yuǎn)站、票額共用和席位復(fù)用策略，設(shè)計考慮售票策略的換乘網(wǎng)絡(luò)。下面，先設(shè)計考慮票額共用的換乘網(wǎng)絡(luò)，再擴(kuò)展為考慮一些典型票額計劃的換乘網(wǎng)絡(luò)。

2.1 考慮票額共用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

票額共用是指列車能力完全向各點(diǎn)對的旅客開放，旅客可以不受任何制約地購買列車席位的任意一段車票。這樣的換乘網(wǎng)絡(luò)具有最簡單的結(jié)構(gòu)。

根據(jù)高速鐵路網(wǎng)絡(luò)(V,E)和列車集Ω，構(gòu)造旅客換乘網(wǎng)絡(luò)(S,A)，S為時空節(jié)點(diǎn)集，A為時空弧集。時空節(jié)點(diǎn)集S包括全部列車T∈Ω在沿途各站的到達(dá)和出發(fā)時空節(jié)點(diǎn)，還包括每個車站s∈V作為旅客出行終點(diǎn)s和時間對應(yīng)的虛擬時空節(jié)點(diǎn)s=(s,)，即

時空弧集A包括上車弧集、通過弧集、候車弧集、換乘弧集和終到弧集，具體定義如下：

所以，時空弧集A=Aboard∪Await∪Atran∪Apass∪Aend按照上述方法構(gòu)造的換乘網(wǎng)絡(luò)(S,A)示意圖，見圖1。圖1中的考慮票額共用的1列列車的局部網(wǎng)絡(luò)見圖2。

綜合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和能力可以看出，列車能力可以為任何旅客提供服務(wù)，即換乘網(wǎng)絡(luò)(S,A)體現(xiàn)了票額共用策略。

2.2 考慮票額共用的網(wǎng)絡(luò)費(fèi)用

旅客出行費(fèi)用參數(shù)包括列車票價率和車站換乘費(fèi)用，其中列車票價率為rp(T)，以政府公布的平均小時工資獲取單位時間價值w。換乘費(fèi)用是指旅客在車站內(nèi)換乘的時間和風(fēng)險費(fèi)用，其中換乘風(fēng)險是指能否順利搭乘下趟列車所承擔(dān)的風(fēng)險，或者是指一次換乘給出行者帶來的額外負(fù)擔(dān)(在同城異站之間的換乘費(fèi)用還包括市內(nèi)換乘費(fèi)用，根據(jù)市內(nèi)最小換乘時間確定)。以車站v的規(guī)模確定車站換乘風(fēng)險費(fèi)用ρ(v)，車站v可分為4類，第一類為特大城市主要車站，第二類為省會級城市主要車站，第三類為地市級城市主要車站，第四類為剩余的其他車站。當(dāng)車站類別編號從大至小時，車站到發(fā)列車數(shù)量逐漸增加，換乘風(fēng)險費(fèi)用ρ(v)越來越小。

定義弧集A中所有弧的費(fèi)用如下

對于OD對(r,s)的旅客，如果相繼換乘列車區(qū)段T1(i1,j1),T2(i2,j2),…,Tu(iu,ju)后到達(dá)終點(diǎn)，對應(yīng)換乘網(wǎng)絡(luò)(S,A)中路徑的費(fèi)用為

2.3 考慮典型票額計劃的換乘網(wǎng)絡(luò)

對于一些典型票額計劃，與考慮票額共用的換乘網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法相類似，也包括每一列列車的局部網(wǎng)絡(luò)，再用候車弧、換乘弧和終到弧將它們連接起來。不同的票額計劃的列車的局部網(wǎng)絡(luò)具有一些差別。下面考慮兩種典型票額計劃介紹設(shè)計列車局部網(wǎng)絡(luò)。

3 出行時間的最優(yōu)劃分

x∈[t1,t2]

( 1 )

除了xrs0=t1,xrsMr=t2已經(jīng)確定以外，還需求解xrsm,1≤m≤Mr-2。由于xrsm是區(qū)間[xr,s,m-1,xrsm]和[xrsm,xr,s,m+1]的公共點(diǎn)，所以xrsm滿足

由此可得

4 階梯化時變需求強(qiáng)度函數(shù)

對于任何OD對(r,s)∈RS，若將時變需求強(qiáng)度函數(shù)frs(x)和grs(y)表示為階梯函數(shù)，則可大幅減少客流分配的計算量。不僅是因?yàn)榻档土朔e分的運(yùn)算量，只要不同OD對的購票強(qiáng)度函數(shù)具備統(tǒng)一的階梯分段間隔，在每一個階梯分段內(nèi)，都可以采用各OD對等比例分配的快速方法進(jìn)行客流分配。只要階梯函數(shù)的劃分間隔充分小，階梯函數(shù)與原函數(shù)的誤差也會較小。

在討論時變需求強(qiáng)度函數(shù)階梯化轉(zhuǎn)換之前，先給出購票強(qiáng)度函數(shù)的表示形式。由于行程越長的旅客越早購票，對于行程越長的出行需求，購票強(qiáng)度函數(shù)的高峰購票時段越靠前，所以購票強(qiáng)度函數(shù)須滿足這個特點(diǎn)。

4.1 購票強(qiáng)度函數(shù)的構(gòu)造

grs(y)=

( 2 )

和累積分布函數(shù)

Grs(y)=

( 3 )

參數(shù)λrs和krs的表達(dá)式如下

( 4 )

4.2 時變需求強(qiáng)度函數(shù)的階梯化轉(zhuǎn)換

對于關(guān)于計劃出行時間的時變需求強(qiáng)度函數(shù)frs(x)，通常以整點(diǎn)時間作為劃分節(jié)點(diǎn)，將計劃出行時間[t1,t2]劃分成若干階梯時段，生成frs(x)的階梯函數(shù)近似表示形式，關(guān)于計劃出行時間的階梯強(qiáng)度函數(shù)仍然記為frs(x)。最簡單的獲取方式就是從高速鐵路全年旅客購票數(shù)據(jù)中統(tǒng)計出每個OD對(r,s)、每個階梯時段的日均需求量，這樣的統(tǒng)計結(jié)果既能消除了每天出行量的差異，也能消除不同時期運(yùn)行圖的差異。

( 5 )

5 考慮售票策略的客流分配方法

H=Aboard∪(∪{AT|T∈Ω})

( 6 )

式中：H包括了需要考慮能力限制的全部環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)e∈H的能力統(tǒng)一記為Ce。在第n階段開始時，記Fe(n)為通過環(huán)節(jié)e的總流量，其初值Fe(1)=0，并記未飽和環(huán)節(jié)集為

H(n)={e∈H|Fe(n)

( 7 )

顯然，H(1)=H。

( 8 )

( 9 )

(10)

令

(11)

(12)

若yn+1<0，則將階段數(shù)n增加1，重復(fù)上述分配過程；否則(yn+1=0)，加載完畢。

如果在上述過程中嵌入席位復(fù)用售票策略和限以遠(yuǎn)站的調(diào)整，一般在某一購票時段開始時調(diào)整。

綜上所述，考慮售票策略的客流分配方法算法框架敘述如下：

Step1根據(jù)列車時刻表構(gòu)造考慮售票策略的換乘網(wǎng)絡(luò)，對于任何e∈H，置Fe(1)=0。進(jìn)入第n=1階段。

Step5根據(jù)席位復(fù)用和限以遠(yuǎn)站等售票策略調(diào)整換乘網(wǎng)絡(luò)。

Step6若yn+1<0，則將階段數(shù)n增加1，轉(zhuǎn)Step2。

Step7對于未分配的剩余客流，在票額共用策略下重復(fù)執(zhí)行上述過程，不論是否還存在剩余客流，算法終止。

6 實(shí)例分析

6.1 實(shí)例參數(shù)與配流方案

(1) 實(shí)例參數(shù)

采用2015年12月1日京廣深線路數(shù)據(jù)及列車時刻表進(jìn)行驗(yàn)算，全線共計40個車站，39個區(qū)間。為突出票額計劃及購票強(qiáng)度函數(shù)對配流結(jié)果的影響，將當(dāng)日客流量放大1.15倍，作為日OD需求qrs,(r,s)∈RS，使之達(dá)到臨界飽和狀態(tài)，客流總量為234 537人；采用全年小時出行概率每日均值作為當(dāng)天的小時出行概率分布函數(shù)frs(x)。車次以G，D字開頭的列車票價率分別為0.45 元/km和0.4 元/km；出發(fā)時間調(diào)整費(fèi)用為0.4 元/min；考慮全國人均收入水平，以30 元/小時為單位時間價值，即0.5 元/min；根據(jù)車站規(guī)模，全線車站可分為4個等級，各個等級車站的換乘風(fēng)險費(fèi)用分別按照每小時的時間價值的0.8、1.0、1.2、1.4倍計。

(2) 配流方案

便于分析票額分配計劃和購票強(qiáng)度函數(shù)對配流結(jié)果的影響起見，設(shè)計4個配流方案，如表1所示。

表1 配流方案設(shè)計

注：表中的票額計劃是針對北京西—深圳北的列車根據(jù)以往的售票數(shù)據(jù)制定的各點(diǎn)對票額計劃。

6.2 評價指標(biāo)

(1) 滯留人公里數(shù)DPT

在能力緊張時，配流結(jié)果會出現(xiàn)滯留客流，這樣會造成列車運(yùn)輸?shù)娜斯飻?shù)的流失。滯留人公里數(shù)是各OD滯留人數(shù)與其對應(yīng)的最短路長度之積的總和，即

(13)

式中：DPrs為OD對(r,s)的滯留人數(shù)。這個指標(biāo)明顯優(yōu)于滯留人數(shù)，因?yàn)樽钚』瘻羧藬?shù)可能導(dǎo)致長途滯留增加、短途滯留人數(shù)減少。

(2) 列車平均客座率ALF

列車平均客座率是指列車平均每一客座公里運(yùn)輸?shù)娜斯飻?shù)。

(14)

式中：FT(i)為區(qū)段T(j-1,j)上實(shí)際分配的客流量；CT為列車T的能力。因配流后期可能出現(xiàn)客流路徑折返導(dǎo)致的客座率虛高，所以不能視為比滯留人公里數(shù)更重要的指標(biāo)。

(3) 旅客平均出行時間偏差A(yù)TD

該指標(biāo)是旅客的實(shí)際出行時間與計劃出行時間偏差的平均值，可以針對所有OD需求和給定OD需求分別進(jìn)行統(tǒng)計。

全體旅客的平均出行時間偏差計算公式為

(15)

給定OD對(r,s)的平均出行時間偏差計算式為

(16)

式中：N為迭代總次數(shù)；prs為配流過程結(jié)束時OD對(r,s)所分配的比例。由于更多長途客流購票得到滿足的條件下，會導(dǎo)致出行時間偏差提高，所以不能視為比滯留人公里數(shù)更重要的指標(biāo)。

6.3 配流結(jié)果分析

模型算法采用C#編程，運(yùn)行環(huán)境是CPU雙核、主頻為3.20 GHz、內(nèi)存8 GB的計算機(jī)，方案1、2耗時約3 min，方案3、4耗時約10 min。由式(13)～式(15)計算總體評價指標(biāo)：滯留人公里數(shù)DPT、列車平均客座率ALF、旅客平均出行時間偏差A(yù)TD(以上指標(biāo)重要度依次遞減)，分別對比4個方案的配流結(jié)果，具體計算結(jié)果如表2所示。

表2 各配流方案總體評價指標(biāo)

從表中的結(jié)果看，方案2和方案4的滯留人公里數(shù)較少，旅客平均客座率較高，配流效果比較好。這兩種方案對于不同OD對構(gòu)造不同的購票強(qiáng)度函數(shù)，描述了長途旅客購票時間偏早的特征，與實(shí)際購票情況相符。由于算例構(gòu)造了雙向的換乘網(wǎng)絡(luò)，在配流后期會造成旅客出行方案出現(xiàn)折返，因此方案2的客座率會稍高于方案4；但從滯留人公里數(shù)看，方案4制定的票額分配計劃具有一定合理性，滯留的人公里數(shù)最少，配流效果最佳。

相比之下，方案1和方案3滯留人公里數(shù)較多，旅客平均客座率較低，配流效果相對較差。這是因?yàn)檫@兩種方案假設(shè)所有OD客流具有相同的購票強(qiáng)度函數(shù)，與實(shí)際的購票情況不符，短途客流肢解了長途旅客列車的長途運(yùn)能，導(dǎo)致滯留長途客流較多，列車運(yùn)能并沒有得到很好的利用。同時，方案3的票額計劃使得部分中短途客流的出行方案受到了限制，滯留人公里數(shù)偏多，而且在配流后期部分客流的出行方案出現(xiàn)繞行，導(dǎo)致平均列車客座率出現(xiàn)虛高。

計算的全部旅客平均出行時間偏差在30 min左右，列車時刻表中的始發(fā)時間分布較好地吻合了旅客的時變需求。方案2～4優(yōu)先長途客流購票，由于每個長途旅客的出行路徑會占用多個短途旅客的出行路徑，導(dǎo)致在最優(yōu)出行偏差情況下出行的人數(shù)減少，平均出行時間偏差較方案1偏高。

表3列出了各方案配流結(jié)果滯留客流人數(shù)的OD里程分布。結(jié)果表明方案2和方案4滯留客流OD里程均在1 500 km以下，主要為中短途客流，且滯留人數(shù)較少；方案1和方案3的滯留客流較多，主要是中長途客流。由于方案2和方案4實(shí)現(xiàn)了長途旅客購票特征，保證長途客流的出行方案，同時使中短途客流搜索其他可行出行方案，充分利用了列車運(yùn)能。

表3 滯留客流里程分布 人

此外，本文提出的客流分配算法還可以提取任意OD客流每次迭代的最優(yōu)出行時段劃分、對應(yīng)的最優(yōu)換乘方案以及上車人數(shù)。方案2中北京西至廣州南在部分迭代過程中的出行指標(biāo)如表4所示。表中結(jié)果表明，第1至4次迭代最優(yōu)換乘方案相同，第5至10次迭代的最優(yōu)換乘方案中G79次列車被G65次列車替代，這是由于G79次列車在前4次迭代過程中達(dá)到飽和，使得相應(yīng)吸引時段的客流需要搜索新的出行方案，后續(xù)劃分的出行時段也會發(fā)生變化。

表4 北京西到廣州南的第1至10次迭代出行時段對應(yīng)的最優(yōu)換乘方案

7 結(jié)論

鐵路售票策略和旅客購票時序是影響旅客購票過程的主要因素，在高速鐵路客流分配過程中有必要將這兩個因素融合進(jìn)去。對于鐵路售票策略，通常包括售票策略包括票額計劃、限以遠(yuǎn)站、票額共用、席位復(fù)用等，可以通過設(shè)計相應(yīng)的換乘網(wǎng)絡(luò)將售票策略嵌入到客流分配過程中。對于旅客購票時序，通常具有“行程越長，高峰購票時段越早”的特點(diǎn)，只要在構(gòu)造購票強(qiáng)度函數(shù)時體現(xiàn)這個特點(diǎn)，便可在客流分配過程中體現(xiàn)出來。

計劃出行時間離散化和時變需求強(qiáng)度分布階梯化可以大幅減少客流分配的計算量，特別是購票需求函數(shù)的階梯化過程中要求所有階梯函數(shù)具有統(tǒng)一的階梯區(qū)間劃分標(biāo)準(zhǔn)，在客流分配過程中，一次分配或者完成一個階梯區(qū)間，或者飽和一個列車區(qū)段，大幅提高客流分配效率。高速鐵路線路上的配流過程僅需要幾分鐘運(yùn)算時間，具有解決大規(guī)模高速鐵路網(wǎng)絡(luò)客流分配能力。

客流分配依次選擇滯留人公里數(shù)、列車平均客座率和旅客出行時間偏差作為總體評價指標(biāo)。滯留人公里數(shù)不僅反映了列車運(yùn)輸?shù)娜斯飻?shù)的流失，還反映了對列車運(yùn)能供給的評價，這個指標(biāo)明顯優(yōu)于滯留人數(shù)；列車平均客座率體現(xiàn)了列車運(yùn)能整體利用情況，其重要程度在滯留人公里數(shù)之后；旅客出行時間偏差反映列車時刻表與旅客計劃出行時間的偏離程度，其重要程度在滯留人公里數(shù)之后。

實(shí)例分析表明，雖然同時融合售票策略和不同購票強(qiáng)度函數(shù)的配流方案效果最佳，但要求票額分配計劃接近最優(yōu)運(yùn)能配置方案，如果票額分配計劃難于接近較優(yōu)的運(yùn)能配置方案，不建議采用票額分配計劃。在能力相對充足時，僅采用不同購票強(qiáng)度函數(shù)，能夠在客流分配中體現(xiàn)優(yōu)先長途旅客出行的售票策略，具有較好的分配結(jié)果。

本文沒有設(shè)計一般性售票策略的換乘網(wǎng)絡(luò)，必要時還需要針對特殊需求的售票策略設(shè)計換乘網(wǎng)絡(luò)。