曹建華， 劉永壽， 劉 偉

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710029;2.黃山學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 黃山 245021)

在現(xiàn)代工業(yè)中，輸流管道應(yīng)用非常廣泛，振動(dòng)現(xiàn)象引起了許多學(xué)者的研究，取得了很多的成果。大部分文獻(xiàn)集中在輸流直管的研究[1]，而曲管相對(duì)較少。Svetlitskii[2]首先采用繩索模型研究輸流曲管面外振動(dòng)。Chen[3-5]在曲管研究方向作出巨大的貢獻(xiàn)。他分別用牛頓法和哈密頓法推導(dǎo)了曲管的面內(nèi)振動(dòng)微分方程，并利用哈密頓方法推導(dǎo)了面外振動(dòng)微分方程。他發(fā)現(xiàn)兩端固定端的和簡(jiǎn)支的曲管，當(dāng)流速超過(guò)某一臨界值時(shí)，發(fā)現(xiàn)屈曲。Hill等[6]研究了諸如環(huán)形、S開、L形和螺旋形輸流曲管的振動(dòng)穩(wěn)定性。Misra等[7-8]在前人的基礎(chǔ)上，重新細(xì)致研究了輸流曲管的振動(dòng)穩(wěn)定性，并將曲管研究分成三類：軸線不可伸縮理論、軸線不可伸縮修正理論和軸線可伸縮理論，并采用傳統(tǒng)有限元進(jìn)行求解振動(dòng)問(wèn)題。Jung等[9-10]采用一種新的流速表達(dá)式，采用哈密頓法推導(dǎo)了輸流曲管面內(nèi)和面外振動(dòng)微分方程，并與由其他流速表達(dá)式所導(dǎo)出的方程相比較。Ni等[11-12]在曲管計(jì)算方法和非線性動(dòng)力研究上作出了卓越的貢獻(xiàn)，他們利用微分積分法研究了輸流曲管在非線性約束下的動(dòng)力學(xué)行為。Wang等[13]研究了廣義微分積分法(GDQR)在曲管面內(nèi)振動(dòng)的應(yīng)用。

在文獻(xiàn)中，輸流管道振動(dòng)微分方程的求解方法有很多種，傳遞矩陣法[14]，伽遼金法[15]，有限差分法[16]，波動(dòng)法[17]，微分積分法(DQM)和有限元法。在諸多文獻(xiàn)中，有限元方法是應(yīng)用較多的。在有限元方法中，選擇插值函數(shù)最為關(guān)鍵。由于小波緊支撐、光滑和對(duì)稱特性，小波用于數(shù)值計(jì)算，越來(lái)越受到關(guān)注。Chen等[18]采用Daubechies小波，構(gòu)建薄板單元，以及應(yīng)用于求解熱傳遞問(wèn)題。Han等[19]分別應(yīng)用2階和4階樣條小波尺度函數(shù)構(gòu)建了薄板單元。Xiang等[20]采用埃爾米特區(qū)間樣條小波構(gòu)建軸單元，Zhong等[21]分別采用2階和4階樣條小波函數(shù)構(gòu)建了彈性實(shí)體單元。

本文首先在Misra所推導(dǎo)的公式基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化輸流曲管微分方程，然后簡(jiǎn)述樣條小波理論，利用區(qū)間樣條小波作為插值函數(shù)，建立尺度為4，階數(shù)為6的區(qū)間樣條小波BSWI64新型輸流曲管單元，并用于離散曲管面內(nèi)振動(dòng)方程，最后求解直管和曲管面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題，并將仿真結(jié)果與前人的文獻(xiàn)對(duì)比，驗(yàn)證小波有限元方法的精度。

1 輸流曲管的面內(nèi)振動(dòng)微分方程

如圖1所示曲管，據(jù)Paidoussis和Misra可知，若無(wú)管外流體影響，輸流曲管的面內(nèi)振動(dòng)無(wú)量綱微分方程可簡(jiǎn)化如下

(1)

圖1 曲管模型Fig.1 The geometry of a curved pipe

輸流曲管兩種邊界條件分別為

2 輸流曲管的小波有限元

本節(jié)首先簡(jiǎn)述樣條小波尺度函數(shù)的定義，選取尺度為4、階數(shù)為6的樣條小波尺度函數(shù)作為有限元的插值函數(shù)，最后根據(jù)傳統(tǒng)有限元的過(guò)程，用小波有限元離散式(1)，推導(dǎo)小波有限元矩陣。

2.1 樣條小波尺度函數(shù)

區(qū)間[0,1]的B-樣條定義如下：序列點(diǎn)

j∈N0(自然數(shù))，B-樣條函數(shù)表達(dá)式為

(2)

(3)

因此,在區(qū)間[0,1]上樣條小波的尺度函數(shù)可寫成向量形式

(4)

其中ξ∈[0,1][0,1]，且2j0≥2m-1

在本文中， 小波有限元求解采用BSWI64樣條小波尺度函數(shù)作為插值函數(shù)，BSWI64樣條小波尺度函數(shù)如圖2所示。

2.2 輸流曲管的小波有限元格式

采用樣條小波尺度函數(shù)作為位移場(chǎng)的插值函數(shù)，其位移場(chǎng)函數(shù)η(ξ)可表示為

(5)

其中：

圖2 區(qū)間[0,1]的BSWI64的尺度函數(shù)Fig.2 The scaling function of BSWI64 in the interval[0,1]

定義單元物理自由度ηe為

(6)

其中l(wèi)e為單元長(zhǎng)度，ξi=(i-1)/2j,i=1,…,2j+1。

將式(5)中不同節(jié)點(diǎn)的η(ξi)分別代入(6)式，可以得到

ηe=Reae

(7)

其中，

(8)

將式(7)代入式(5)

η(ξ)=Φ(Re)-1ηe=Nηe

(9)

其中N=Φ(Re)-1是形函數(shù)向量。

采用傳統(tǒng)有限元方法過(guò)程，將式(1)進(jìn)行離散，得到單元矩陣，單元離散方程如下

(10)

其中小波單元質(zhì)量矩陣、小波單元阻尼矩陣和小波單元?jiǎng)偠染仃嚪謩e為

(11)

(12)

(13)

采用傳統(tǒng)有限元組合程序，可以得到系統(tǒng)矩陣，比如系統(tǒng)質(zhì)量矩陣Mg，系統(tǒng)阻尼矩陣Cg，系統(tǒng)剛度矩陣Kg和系統(tǒng)位移向量η(t)，其全局離散方程如下

(14)

3 數(shù)值算例

本節(jié)首先采用上述方法計(jì)算輸流直管，并與伽遼金法、傳統(tǒng)有限元方法相比較，然后分別求解基于軸線不可伸縮和基于修正軸線不可伸縮的輸流曲管例子，并與Misra所得的數(shù)值結(jié)果對(duì)比。

3.1 輸流直管算例

采用曲管單元計(jì)算直管的固有頻率，將Θ和Πo設(shè)為0，即為直管模型，以此模型來(lái)計(jì)算直管。如表1所示，列出三種方法(伽遼金法，傳統(tǒng)有限元，小波有限元法)，計(jì)算四種不同邊界條件(兩端固定、一端固定一端簡(jiǎn)支、一端固定一端自由、兩端簡(jiǎn)支)的輸流直管的前5階無(wú)量綱固有頻率的數(shù)值結(jié)果。伽遼金方法采用六階，傳統(tǒng)有限元采用6個(gè)單元，而小波有限元僅用一個(gè)單元。從數(shù)值對(duì)比可以看出，小波有限元計(jì)算結(jié)果與其它兩種方法所得結(jié)果差別不大。

表1 輸流直管的無(wú)量綱固有頻率Tab.1 The natural frequency of fluid-conveying straight pipe

3.2 Πo=0時(shí)輸流曲管的數(shù)值算例

令Πo=0和β=0.5時(shí)，采用傳統(tǒng)有限元和樣條小波有限元，分別計(jì)算半圓輸流曲管在三種邊界條件(兩端固端，一端固定一端簡(jiǎn)支，兩端簡(jiǎn)支)下的前四階頻率實(shí)部隨流體速度變化，并進(jìn)行對(duì)比。傳統(tǒng)有限元采用12個(gè)單元，小波有限元采用1個(gè)單元。由圖3～圖5可知，隨著流速的增大，每階頻率都在減小，一直減小至0，且兩種方法的計(jì)算結(jié)果吻合較好。

圖3 兩端固定的半圓形輸流曲管前四階頻率實(shí)部隨流速變化曲線(Πo=0)

Fig.3 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two fixed ends as a function of flow velocity (Πo=0)

圖4 一端固定，一端簡(jiǎn)支的半圓形輸流曲管前四階頻率實(shí)部隨流速變化曲線(Πo=0)

Fig.4 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with one fixed end and one simply supported end as a function of flow velocity (Πo=0)

圖5 兩端簡(jiǎn)支的半圓形輸流曲管前四階頻率實(shí)部隨流速變化曲線(Πo=0)

Fig.5 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two simply supported ends as a function of flow velocity (Πo=0)

3.3 Πo≠0時(shí)輸流曲管的數(shù)值算例

令Πo≠0和β=0.5時(shí)，采用傳統(tǒng)有限元和樣條小波有限元，分別計(jì)算半圓輸流曲管在三種邊界條件(兩端固端，一端固定一端簡(jiǎn)支，兩端簡(jiǎn)支)下的前四階頻率實(shí)部隨流體速度變化，并進(jìn)行對(duì)比。傳統(tǒng)有限元采用12個(gè)單元，而小波有限元采用1個(gè)單元。從圖6～圖8可以看出，隨著流速的增大，前三階頻率實(shí)部都在緩慢減小，一直減小，與軸線不可伸縮模型不同的是，但第四階頻率實(shí)部在增長(zhǎng)，且兩種方法的計(jì)算結(jié)果吻合。

圖6 兩端固定的半圓形輸流曲管前四階頻率實(shí)部隨流速變化曲線(Πo≠0)

Fig.6 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two fixed ends as a function of flow velocity (Πo≠0)

圖7 一端固定，一端簡(jiǎn)支的半圓形輸流曲管前四階頻率實(shí)部隨流速變化曲線(Πo≠0)

Fig.7 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with one fixed end and one simply supported end as a function of flow velocity (Πo≠0)

圖8 兩端簡(jiǎn)支的半圓形輸流曲管前四階頻率實(shí)部隨流速變化曲線(Πo≠0)

Fig.8 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two simply supported ends as a function of flow velocity (Πo≠0)

4 結(jié) 論

針對(duì)輸流曲管面內(nèi)流致振動(dòng)的無(wú)量綱控制微分方程，采用尺度為4，階數(shù)為6的區(qū)間樣條小波尺度函數(shù)作為位移場(chǎng)的插值函數(shù)，建立了新型小波輸流曲管單元，列出了小波單元質(zhì)量矩陣、小波單元?jiǎng)偠染仃嚭托〔▎卧枘峋仃?，?yīng)用于求解輸流直管和曲管流致振動(dòng)問(wèn)題。

通過(guò)數(shù)值結(jié)果對(duì)比，在求解輸流直管頻率上，與伽遼金方法、傳統(tǒng)有限元方法的所得結(jié)果對(duì)比，差別不大；在分別求解兩種理論模型下的輸流曲管頻率實(shí)部隨流速變化的曲線上，小波有限元與傳統(tǒng)有限元所得結(jié)果非常吻合，所得曲線幾乎重合。在計(jì)算過(guò)程中，小波有限元僅采用一個(gè)單元，計(jì)算時(shí)間短，數(shù)值結(jié)果可靠。

綜上所述，新型小波曲管單元在求解輸流曲管面內(nèi)線性振動(dòng)問(wèn)題有一定的優(yōu)勢(shì)，而在曲管非線性振動(dòng)的應(yīng)用上，需要進(jìn)一步的研究。