朱潔芬

摘 要：對(duì)于筆算教學(xué)來(lái)說(shuō)，其程序性、機(jī)械性常常引發(fā)教師對(duì)教學(xué)的簡(jiǎn)單理解。如何讓筆算教學(xué)走出功利性地掌握“算術(shù)”的局限，走向數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)提升的境界，需要握好“四理”：即認(rèn)知之心理、法則之算理、應(yīng)用之情理、多法之原理。多維視角下的“四理”教學(xué)，能有效推動(dòng)兒童對(duì)筆算學(xué)習(xí)的監(jiān)控、理解和運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：四理；心理；算理；情理；原理

所謂筆算，一般指豎式計(jì)算。在計(jì)算機(jī)（器）尚未誕生的時(shí)代，以紙筆為計(jì)算工具的筆算對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要價(jià)值。其程序化處理讓人類得以從復(fù)雜的計(jì)算中解放出來(lái)，走進(jìn)更高層面的思維創(chuàng)造。然而，對(duì)于筆算教學(xué)來(lái)說(shuō)，其程序性、機(jī)械性似乎也引發(fā)了教師對(duì)教學(xué)的簡(jiǎn)單理解。如何讓筆算教學(xué)走出功利性地掌握某種“算術(shù)”的局限，走向數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)提升的境界，筆者認(rèn)為，在教學(xué)過(guò)程中要握好“四理”：即認(rèn)知之心理、法則之算理、應(yīng)用之情理、多法之原理。下面以“筆算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進(jìn)位）”一課為例做簡(jiǎn)要分析。

一、認(rèn)知之心理

筆算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進(jìn)位）是筆算乘法的一個(gè)難點(diǎn)。如果立足學(xué)生的視角，聯(lián)系認(rèn)知心理學(xué)分析，可以發(fā)現(xiàn)：每次都要進(jìn)位，學(xué)生頭腦中工作記憶的容量陡然增加了。因而該內(nèi)容的學(xué)習(xí)在學(xué)生那里遠(yuǎn)沒(méi)有成人那么容易?；蛟S，這也是蘇教版將該內(nèi)容從二年級(jí)調(diào)整到三年級(jí)的一個(gè)重要原因。近幾年，在使用修訂版教材的過(guò)程中筆者發(fā)現(xiàn)，雖然該內(nèi)容后移了一個(gè)學(xué)段，而且經(jīng)由不進(jìn)位乘到不連續(xù)進(jìn)位乘等充分準(zhǔn)備后學(xué)習(xí)，其即時(shí)檢測(cè)和延時(shí)檢測(cè)的效果仍然不理想。

其實(shí)，如果進(jìn)一步研究學(xué)生的錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要是對(duì)其中反復(fù)實(shí)施的一種兩步口算——邊乘邊加，理不清、算不準(zhǔn)，尤其在相加又出現(xiàn)進(jìn)位時(shí)更容易出錯(cuò)。再深究每一步的認(rèn)知策略和認(rèn)知負(fù)荷可以發(fā)現(xiàn)，先要借助乘法口訣直接提取得數(shù)，相加時(shí)一方面要存儲(chǔ)相乘的得數(shù)，另一方面還要運(yùn)算兩位數(shù)加一位數(shù)，這樣就需要較大的心理容量作支持；如果這種進(jìn)位連續(xù)發(fā)生，后續(xù)進(jìn)位時(shí)對(duì)記憶容量的要求會(huì)更高。

這樣看來(lái)，要改善這種連續(xù)進(jìn)位乘的教學(xué)效果，就需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一步運(yùn)算進(jìn)行具體分析，聚焦認(rèn)知負(fù)荷較大的環(huán)節(jié)，實(shí)施有效監(jiān)控。所以在學(xué)生會(huì)用豎式計(jì)算48×4，372×9等算式后，不能就此收手，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行反思：連續(xù)兩次或三次進(jìn)位時(shí)，最有可能在第幾次進(jìn)位時(shí)出錯(cuò)？為什么？引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注后續(xù)進(jìn)位，關(guān)注關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)——乘加口算，如圖1和圖2。對(duì)于圖2這種連續(xù)三次以上進(jìn)位的，要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較：在后面的連續(xù)兩次進(jìn)位中，哪一次更容易出錯(cuò)？為什么？引導(dǎo)學(xué)生聚焦認(rèn)知負(fù)荷最大的一步——邊乘邊加后又要進(jìn)位的，從而學(xué)會(huì)合理分配頭腦中有限的認(rèn)知容量。

二、法則之算理

由于加法在標(biāo)準(zhǔn)化筆算乘法中處于隱藏狀態(tài)，再加上不少教師在不進(jìn)位乘和不連續(xù)進(jìn)位乘教學(xué)中算理分析的蜻蜓點(diǎn)水和分步算法的快速簡(jiǎn)化，使得學(xué)生對(duì)乘法筆算中為什么要有加法的參與并未真正理解，印象也就不太深刻。隨著練習(xí)量加大，技能自動(dòng)化，筆算乘法與加法的聯(lián)系漸趨弱化，最終在某些學(xué)生的頭腦中必不可少的加法演化成了一種可有可無(wú)的操作程序。其實(shí)，無(wú)論是進(jìn)位數(shù)的忘加或錯(cuò)加，本質(zhì)上都是對(duì)筆算乘法中加法的忽視，是對(duì)部分積損失的無(wú)視。缺失了算理分析的法則教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生漸漸走向了盲目追求程序化、自動(dòng)化的誤區(qū)，最終喪失了對(duì)法則的概念性理解。

修正上述錯(cuò)誤，除對(duì)關(guān)鍵程序?qū)嵤┽槍?duì)性監(jiān)控和強(qiáng)化外，弄清算法程序背后的“理”是一條根本途徑。當(dāng)然，對(duì)于已有一定算理基礎(chǔ)的兩三位數(shù)乘一位數(shù)連續(xù)進(jìn)位筆算教學(xué)，不必花費(fèi)很多力氣刻意介入。不妨結(jié)合錯(cuò)例講評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生自主展開(kāi)分析過(guò)程。如有學(xué)生忘記加進(jìn)位數(shù)（如圖3），可以通過(guò)提問(wèn)觸發(fā)對(duì)算理的思考：表面上看是第二次相乘以后忘記加進(jìn)位數(shù)3，其實(shí)丟失的是第幾次相乘的結(jié)果？（第一次）丟失了多少？（30）相機(jī)將圖3展開(kāi)為圖4，進(jìn)而修正為圖5。正本清源的算理分析讓乘法筆算中隱蔽的加法得以顯現(xiàn)，讓進(jìn)位數(shù)與其所在部分積的聯(lián)系得以展現(xiàn)，更讓進(jìn)位數(shù)漏加的嚴(yán)重后果得以震撼呈現(xiàn)。

此外，還有一種錯(cuò)誤（如圖6），本質(zhì)上也是算理不清，不理解“16”和“3”的計(jì)數(shù)單位是相同的，兩者本應(yīng)合并。此類錯(cuò)誤不少教師曾嘗試讓學(xué)生通過(guò)估算去監(jiān)控，如估算積大約是多少或者積是幾位數(shù)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤。顯然，對(duì)于這樣的錯(cuò)誤，如果不從算理上分析，還是不能從根本上得到修正。

三、應(yīng)用之情理

要改善此類盲目使用筆算的狀況，需要教師突破頭腦中固有的筆算中心主義，嘗試給筆算建立一個(gè)開(kāi)闊的、整體的視野（如圖7，美國(guó)NCTM1989年《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》）。把筆算放到一個(gè)相對(duì)完整的問(wèn)題解決系統(tǒng)之中，避免為算而算；將筆算定位為解決問(wèn)題的一種工具，而非唯一工具；想方設(shè)法打破筆算“技?jí)喝悍肌钡木置?，感悟各種計(jì)算方法的價(jià)值，促進(jìn)筆算與口算、用計(jì)算器算、估算等方法的有機(jī)整合，最終學(xué)會(huì)依據(jù)具體情境合理選擇和使用筆算。

由此看來(lái)，對(duì)于連續(xù)進(jìn)位乘的練習(xí)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，應(yīng)該展現(xiàn)出一種開(kāi)闊的、多角度的視野。如：面對(duì)23×7，6×34，517×8，8×642等，計(jì)算前不宜簡(jiǎn)單地拋給學(xué)生，而要引導(dǎo)學(xué)生先著眼整體去思考“怎樣算，又對(duì)又好？”，從而激發(fā)算法優(yōu)選的意識(shí)。講評(píng)時(shí)讓學(xué)生明確這里“好”的標(biāo)準(zhǔn)是：能口算的要優(yōu)先使用口算。

四、多法之原理

其實(shí)，對(duì)于筆算來(lái)說(shuō)，方法一般不止一種。如今的標(biāo)準(zhǔn)化算法是歷經(jīng)上千年的歷史演變而成的。除了標(biāo)準(zhǔn)算法，還有許多曾經(jīng)被淘汰的替代性算法。這些替代性算法對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)說(shuō)也許已沒(méi)有太多意義，但對(duì)于兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展來(lái)說(shuō)意義重大。研究表明，兒童精致協(xié)調(diào)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成都離不開(kāi)這些相對(duì)自然、原始、笨拙的替代性策略的使用。同時(shí)，替代性算法的介入，還能打破標(biāo)準(zhǔn)算法“一枝獨(dú)秀”的局面，引發(fā)筆算系統(tǒng)的深層構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)算法研究的更深處，洞悉其中相融共通的數(shù)學(xué)原理。

教學(xué)實(shí)踐表明，多樣化的算法徹底打破了學(xué)生對(duì)筆算的僵化思考，不少學(xué)生甚至能自主創(chuàng)造一些跟上面不同的算法，比如先兩邊后中間，或者先中間后兩邊等，并為自己創(chuàng)造的算法找到了可靠的驗(yàn)證方法：只要求出的是9個(gè)2、9個(gè)70與9個(gè)300這三個(gè)部分的和，這種算法就是正確的。顯然，這種多樣化探究引發(fā)了學(xué)生對(duì)內(nèi)在數(shù)學(xué)原理——乘法分配律的自然感悟。

總之，筆算教學(xué)中，以多維視角把握好認(rèn)知之心理、法則之算理、應(yīng)用之情理、多法之原理等，能有效推動(dòng)兒童對(duì)筆算學(xué)習(xí)的監(jiān)控、理解和運(yùn)用，全面提升數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)。