李厚華

(重慶市榮昌中學(xué)校 402460)

數(shù)列的求和是高考、自主招生、數(shù)學(xué)競賽的必考考點(diǎn)，歷來都受命題者青睞.觀察歷屆高考、自主招生、數(shù)學(xué)競賽命題規(guī)律發(fā)現(xiàn)數(shù)列的求和問題，多以考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、錯位相減法和裂項(xiàng)相消法為主，其次也考查倒序相加法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法等，且考查頻率較高，是命題的熱點(diǎn)，其中選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn).這就要求我們要掌握一些常用的解題方法、技巧，能根據(jù)題目條件，抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式及遞推公式，靈活選擇數(shù)列求和的方法，做到事半功倍，快速突破.

一、公式法求和

公式法求和就是利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式或利用其它常見數(shù)列恒等式，直接求和的方法，理解并掌握以下公式.

1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式

2.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式

3.常見數(shù)列恒等式

解由題意可設(shè)第n個正方形的邊長為an，則這n個正方形的邊長構(gòu)成數(shù)列an.

從例1解法看出利用公式法解題時，要讀懂題目，挖掘出隱含的條件，并找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差、公比等基本量.

二、裂項(xiàng)相消法求和

1.分式裂項(xiàng)型

2.乘積裂項(xiàng)型

3.階乘裂項(xiàng)型

(1)n·n!=(n+1)!-n!;

4.三角函數(shù)裂項(xiàng)型

5.根式裂項(xiàng)型

裂項(xiàng)相消法求和,巧在抓數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)特點(diǎn)，將通項(xiàng)裂為兩項(xiàng)，一分為二，在求和過程中出現(xiàn)絕對值相同而符號相反的項(xiàng)，達(dá)到相互抵消的目的.

三、錯位相減法求和

錯位相減法求和是指數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列且公比為q(q≠1)，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時，常用“乘公比，錯位減”的方法，在寫出Sn與qSn表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”，相減后的未消項(xiàng)及相消項(xiàng)呈現(xiàn)的規(guī)律，以便于下一步準(zhǔn)確的求出數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn.

解當(dāng)n=1時，由題意得：2(a1+a2)=12a1，即a2=5a1=5.

∵數(shù)列an是等差數(shù)列，a1=1，∴d=a2-a1=5-1=4.

∴an=a1+(n-1)d=4n-3,∴bn=anp(an+3)/4=(4n-3)pn.

∴Tn=p+5p2+9p3+…+(4n-7)pn-1+(4n-3)pn,

pTn=p2+5p3+9p4+…+(4n-7)pn+(4n-3)pn+1.

兩式相減得(1-p)Tn=p+4(p2+p3+p4+…+pn)-(4n-3)pn+1

=-3p+4(p+p2+p3+…+pn)-(4n-3)pn+1,

運(yùn)用錯位相減法求和，解題過程有一定的操作程序，容易入手，但運(yùn)算量較大，要特別注意不要出錯.

四、倒序相加法求和

如果一個是數(shù)列an滿足am+an-m+1=a1+an，即距離首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，那我們將一個數(shù)列和式倒過來寫，再把它與原數(shù)列和式相加，就可以求出數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法.

例4 若函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(2019-x)+f(x)=2成立，數(shù)列an滿足：an=f(n)，n∈N*，數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，求S2018.

解∵f(2019-x)+f(x)=2，由an=f(n)，n∈N*可得a2019-n+an=2,n∈N*，

∴S2018=a1+a2+a3+…+a2017+a2018，

S2018=a2018+a2017+a2016+…+a2+a1.

兩式相加得

2S2018=(a1+a2018)+(a2+a2017)+…+(a2018+a1)=2018(a1+a2018)=2018×2,

∴S2018=2018.

通過對例4觀察可發(fā)現(xiàn)只要一個和式滿足f(a-x)+f(x)=b,均可用倒序相加法求和，倒序相加法是一種重要的思想方法.

五、分組轉(zhuǎn)化求和法

已知一個數(shù)列an的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或其它可求和的特殊數(shù)列組成，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和可通過分組求和后再相加就得到原數(shù)列的和的方法.

例5 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an=3n-1+(-1)n2n,n∈N*，求Sn.

解由題意可分為兩組求和

Sn=a1+a2+a3+…+an

=(1+3+32+…+3n-1)+{(-2+4)+(-6+8)+…+[(-1)n-12(n-1)+(-1)n2n]}

當(dāng)n為奇數(shù)時,

本題可看出分組求和法適用于解決數(shù)列通項(xiàng)公式可以寫成an=bn+cn的形式的數(shù)列求和問題，其基本的解題技巧在于準(zhǔn)確拆分，分組求和，從而得出原數(shù)列的前n項(xiàng)和.

六、并項(xiàng)求和法

針對一些特殊的數(shù)列采取將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.

例6 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=-1,a2=0,an-1+an+1=|an|(n≥2),求S2018.

解由an-1+an+1=|an|(n≥2),

得：an+1=|an|-an-1(n≥2).

∵a1=-1,a2=0，∴a3=1,a4=1,a5=0,a6=-1,a7=1,a8=2,a9=1,a10=-1,a11=0,a12=1,a13=1,a14=0,a15=-1,a16=1,a17=2,a18=1.

觀察可知該數(shù)列從第10項(xiàng)開始出現(xiàn)循環(huán)，即an+9=an，周期T=9.

一個周期各項(xiàng)和為(a1+a2+…+a9)=4,

∴S2018=(a1+a2+…+a9)+(a10+a11+…+a18)+…+(a2008+…+a2016)+a2017+a2018

=224(a1+a2+…+a9)+a224×9+1+a224×9+2

=224×4+a1+a2=895.

數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一個常數(shù)或有規(guī)律可循，可采用將這些特殊的項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn方法.

數(shù)列求和不僅僅是數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識的演繹，高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).數(shù)列求和中不僅蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法(如方程的思想、分類討論思想等)，更主要的是蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)解題思想方法(如公式法求和、錯位相減法法求和、裂項(xiàng)相消法求和、倒序相加法求和、分組轉(zhuǎn)化法求和、并項(xiàng)法求和等).這些思想方法對培養(yǎng)我們的閱讀理解能力、運(yùn)算能力和邏輯思維能力等基本能力有著不可替代的作用，在運(yùn)用這些方法解決一些實(shí)際問題的過程中更多地體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時，在解決問題的過程中也能對我們的價值觀和世界觀的培養(yǎng)有著積極的影響，不斷發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育功能，給予我們充分的探索空間.