（廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院財(cái)經(jīng)系，廣東廣州510507）

隨著金融市場(chǎng)的不斷發(fā)展，以期權(quán)為代表的衍生品成為了套利者和投機(jī)者最重要的資產(chǎn)配置工具.一個(gè)正常的市場(chǎng)應(yīng)擁有價(jià)格的自發(fā)回歸機(jī)制，使偏離的價(jià)格能回歸到理性.要實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程，投資者首先需要得到一個(gè)合理的價(jià)格作為參考.因此，如何利用理論模型計(jì)算期權(quán)等衍生品的合理價(jià)格，成為了維持市場(chǎng)理性的關(guān)鍵.Black-Scholes模型因其直觀和計(jì)算簡(jiǎn)單為傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)理論奠定了基礎(chǔ)，但該模型的成立至少依賴(lài)于2個(gè)假設(shè)：一是標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益服從正態(tài)分布；二是基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率為常數(shù).但實(shí)際情況卻并非如此，歷史數(shù)據(jù)和實(shí)證研究表明：標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益具有超值峰度并呈負(fù)偏態(tài)分布，而非正態(tài)分布；基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率會(huì)發(fā)生改變，且存在隱含波動(dòng)率“微笑”現(xiàn)象.

為了使模型更貼近實(shí)際，1993年Heston利用隨機(jī)波動(dòng)率模型（包含5個(gè)參數(shù)，Ω={θ,κ,α,Vt,ρ}），并使用均值回復(fù)平方根描述了實(shí)時(shí)波動(dòng)率方差，從而放寬了Black-Scholes模型的這兩個(gè)假設(shè).為考察 Heston模型的有效性，Melino等[1]通過(guò)研究外匯期權(quán)的定價(jià)，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)率模型優(yōu)于 Black-Scholes模型.之后學(xué)者對(duì) Heston模型的研究主要集中于兩個(gè)方面：一是對(duì)模型參數(shù)的尋找；二是對(duì)模型的仿真求解.模型參數(shù)的尋找實(shí)質(zhì)上是求組合最優(yōu)的過(guò)程，傳統(tǒng)的極大似然法中目標(biāo)函數(shù)過(guò)于復(fù)雜，而且容易出現(xiàn)多個(gè)極值，難以準(zhǔn)確求解，因此，有學(xué)者嘗試了智能求解法：王林等[2]用模擬退火法估算模型參數(shù)，李斌等[3]用遺傳算法求解模型參數(shù).對(duì)模型仿真求解的研究主要是利用Monte Carlo加以實(shí)現(xiàn)，如Kahl[4]利用Monte Carlo方法對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率模型的快速估算.

為驗(yàn)證Heston模型的有效性，本文首先假設(shè)一對(duì)固定的模型參數(shù)Ω={θ,κ,α,V0,ρ}={1.5,3,3,1,-0.5}；然后利用Heston模型推導(dǎo)隱含波動(dòng)率計(jì)算公式，利用Monte Carlo分別得出標(biāo)準(zhǔn)的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率；最后將不同期限、不同行權(quán)價(jià)的期權(quán)對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率繪制在由期限、行權(quán)價(jià)和隱含波動(dòng)率構(gòu)成的三維坐標(biāo)空間中，得出隱含波動(dòng)率曲面.

1 模型與方法

1.1 Heston模型

Heston模型實(shí)際上是標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率符合CIR[5]過(guò)程的Black-Scholes SDE擴(kuò)展形式.假設(shè)資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格為Ft，隨機(jī)方差為V，γt為常數(shù)，則Ft服從：

本文中，我們假設(shè)參數(shù)數(shù)值如表1所示.

表1 Heston模型參數(shù)假設(shè)

由于以上參數(shù)滿(mǎn)足Feller條件[6]，因此Vt為正數(shù).

1.2 隱含波動(dòng)率的計(jì)算

當(dāng)我們將一個(gè)已知到期日、行權(quán)價(jià)和市場(chǎng)價(jià)格的真實(shí)期權(quán)的參數(shù)帶入到Black-Scholes模型后，其反解出的波動(dòng)率即為隱含波動(dòng)率.隱含波動(dòng)率數(shù)值與Black-Scholes模型假設(shè)的常數(shù)波動(dòng)率數(shù)值不同，理論上，其差別會(huì)隨著到期日和行權(quán)價(jià)的變化而變化，并呈現(xiàn)出“V”字形“笑臉”狀，故而又被稱(chēng)為期權(quán)隱含波動(dòng)率“微笑”.這一過(guò)程可用公式表達(dá)如下：

其中，V表示期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格；VB-S為利用 Black-Scholes模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格；K為期權(quán)的行權(quán)價(jià)；T為期權(quán)到期日；r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；θimp為期權(quán)的隱含波動(dòng)率，計(jì)算如下：

本文中，我們參考文獻(xiàn)[3]的觀點(diǎn)，用風(fēng)險(xiǎn)中性世界的期權(quán)價(jià)格代替現(xiàn)實(shí)世界的期權(quán)價(jià)格，并假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為0，方差V0為1，則隱含波動(dòng)率是行權(quán)價(jià)K和到期日T的函數(shù).為使研究更加直觀和便利，我們將隱含波動(dòng)率、行權(quán)價(jià)和到期日放在同一三維坐標(biāo)里，進(jìn)而得出隱含波動(dòng)率曲面，

1.3 利用Monte Carlo估算隱含波動(dòng)率

由于隱含波動(dòng)率曲面是一個(gè)極其復(fù)雜和多變的系統(tǒng)，每一個(gè)模型參數(shù)的變化都會(huì)引起曲面的變化，難以窮盡計(jì)算.因而，我們考慮假設(shè)一組參數(shù)，并基于這組參數(shù)建立隨機(jī)微分方程，然后使用Monte Carlo模擬對(duì)方程進(jìn)行仿真估值.在本文中，隱含波動(dòng)率是被建模對(duì)象，期權(quán)為標(biāo)準(zhǔn)化普通歐式期權(quán).先將標(biāo)的資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格Ft對(duì)數(shù)化，并將這一過(guò)程用Xt表示，利用伊藤引理可以得出以下公式：

為模擬Xt和Vt，我們借助Euller[6]離散化方法得出：

其中，C與P分別表示看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值，K為行權(quán)價(jià)，T為到期日，表示第i期的資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格，而Xti的計(jì)算見(jiàn)式（7-8）.式（9）和式（10）利用Matlab最優(yōu)化函數(shù)，假設(shè)行權(quán)價(jià)K=[ 0.7,1.3]和到期日T=[ 0.25,2]，通過(guò)反復(fù)模擬實(shí)現(xiàn)計(jì)算.最后將C、P作為期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格帶入Black-Scholes模型，利用式（4）反解出隱含波動(dòng)率θimp.最終，我們可以得出以行權(quán)價(jià)K、到期日T為參數(shù)的隱含波動(dòng)率面板.

2 實(shí)證結(jié)果

到期日T=2年，假設(shè)每天為一個(gè)交易日，可以得出504個(gè)離散點(diǎn)，利用Monte Carlo進(jìn)行超過(guò)40000次模擬，可以分別得出看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率面板.在面板中，我們假設(shè)坐標(biāo)

2.1 看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率面板

通過(guò)圖1我們發(fā)現(xiàn)：看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)到期日和期權(quán)行權(quán)價(jià)的變化而變化，這一特點(diǎn)符合理論預(yù)期；右側(cè)隱含波動(dòng)率“微笑”大于左側(cè)，這可能是由于 Heston模型參數(shù)中相關(guān)系數(shù)ρ假設(shè)為負(fù)數(shù)導(dǎo)致的；隨著到期日的增加，隱含波動(dòng)率“微笑”逐漸變平，這是由于均值回歸速度κ使得θ均值回歸；在較低的行權(quán)價(jià)和較高的行權(quán)價(jià)上，隱含波動(dòng)率出現(xiàn)明顯“上翹”，因?yàn)闃O端的行權(quán)價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)嚴(yán)重脫鉤時(shí)，人們會(huì)買(mǎi)入擁有較低行權(quán)價(jià)的看漲期貨、賣(mài)出擁有較高行權(quán)價(jià)看漲期貨，使得期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格大幅波動(dòng)，導(dǎo)致隱含波動(dòng)率增加.

圖1 看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率面板

為進(jìn)一步研究行權(quán)價(jià)與隱含波動(dòng)率的關(guān)系，我們采用截面分析，繪制出短期（T=0.25）和長(zhǎng)期（T=2）看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率，并附帶各自的置信區(qū)間，用于評(píng)估模擬的準(zhǔn)確性，具體見(jiàn)圖2.由圖2可知：行權(quán)價(jià)越低，隱含波動(dòng)率越高，但并未得出行權(quán)價(jià)越高，隱含波動(dòng)率越高這一結(jié)論.在圖2-a中，當(dāng)期權(quán)行權(quán)價(jià)較高或較低時(shí)，隱含波動(dòng)率曲線(xiàn)出現(xiàn)“上翹”，形成隱含波動(dòng)率“微笑”；對(duì)比圖2-b可知，這種“上翹”現(xiàn)象會(huì)隨著期權(quán)到期日的延長(zhǎng)而消失.

圖2 看漲期權(quán)不同行權(quán)價(jià)下的隱含波動(dòng)率曲線(xiàn)

2.2 看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率面板

看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率面板與看漲期權(quán)類(lèi)似，具體見(jiàn)圖3，不再贅述.

圖3 看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率面板

為進(jìn)一步研究行權(quán)價(jià)與隱含波動(dòng)率的關(guān)系，我們采用截面分析，繪出短期（0.25T=2）和長(zhǎng)期（T=2）看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率，并附帶各自的置信區(qū)間，具體見(jiàn)圖4.由圖4，我們?nèi)匀豢梢缘贸觥靶袡?quán)價(jià)越低，隱含波動(dòng)率越高”這一結(jié)論；但不同的是，在圖4-a中，右下角出現(xiàn)了“V”形特點(diǎn)，說(shuō)明看跌期權(quán)行權(quán)價(jià)上升后，隱含波動(dòng)率也上升.再次驗(yàn)證了在較低和較高的行權(quán)價(jià)上，隱含波動(dòng)率出現(xiàn)明顯“上翹”，形成隱含波動(dòng)率“微笑”.這種“上翹”的現(xiàn)象會(huì)隨著期權(quán)到期日的增加而逐漸消失.

圖4 看跌期權(quán)不同行權(quán)價(jià)下的隱含波動(dòng)率曲線(xiàn)

3 Heston模型參數(shù)的敏感性分析

為研究Heston模型參數(shù)與隱含波動(dòng)率的關(guān)系，我們進(jìn)一步設(shè)定如表2所示的3組情況，并以看漲期權(quán)為例依次作出隱含波動(dòng)率面板圖.

表2 Heston模型參數(shù)設(shè)定

3.1 θ敏感性分析

圖5表明，當(dāng)波動(dòng)率長(zhǎng)期均值θ增長(zhǎng)時(shí)，隱含波動(dòng)率曲面逐漸出現(xiàn)“下翻”；隨著長(zhǎng)期均值θ減小，隱含波動(dòng)率曲面出現(xiàn)“上翻”.

圖5 θ參數(shù)下的隱含波動(dòng)率曲面

3.2 κ敏感性分析

圖6中，隨著均值回歸速度κ的上漲，隱含波動(dòng)率曲面“變平”的速度越來(lái)越快；當(dāng)均值回歸速度κ上漲到一定大小時(shí)，隱含波動(dòng)率曲面的變化越來(lái)越小.

圖6 κ參數(shù)下的隱含波動(dòng)率曲面

3.3 α敏感性分析

圖7表明，波動(dòng)率方差α增加會(huì)使得隱含波動(dòng)率曲面發(fā)生“上翹”；α越大，隱含波動(dòng)率“微笑”越明顯.

圖7 α參數(shù)下的隱含波動(dòng)率曲面

3.4 ρ敏感性分析

圖8 ρ參數(shù)下的隱含波動(dòng)率曲面

4 結(jié)論

本文的主要目的是使用 Heston隨機(jī)波動(dòng)模型改善 Black-Scholes模型關(guān)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布和常數(shù)波動(dòng)率的假設(shè)約束，使期權(quán)估價(jià)更加貼近實(shí)際.研究主要分為三大塊：Heston隨機(jī)微分方程的推導(dǎo)和利用，隱含波動(dòng)率面板的建立與分析，以及 Heston模型參數(shù)敏感性分析.主要結(jié)論如下：1）看漲期權(quán)和看跌期權(quán)存在隱含波動(dòng)率“微笑”；2）看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率與行權(quán)價(jià)和到期日有關(guān)，當(dāng)行權(quán)價(jià)很低或很高時(shí)，隱含波動(dòng)率上升，并出現(xiàn)明顯“上翹”，形成隱含波動(dòng)率“微笑”，當(dāng)?shù)狡谌赵黾訒r(shí)，隱含波動(dòng)率“微笑”消失；3）Heston模型參數(shù)的變化能直接影響隱含波動(dòng)率的大小和形態(tài).

標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率是影響期權(quán)定價(jià)最重要的因素之一，基于Heston模型的期權(quán)隱含波動(dòng)率的研究對(duì)指導(dǎo)期權(quán)定價(jià)具有重要意義.但本文也存在以下不足：1）對(duì) Heston模型的應(yīng)用基于一組假設(shè)參數(shù)，在對(duì)模型參數(shù)Ω={θ,κ,α,ρ}進(jìn)行敏感性分析時(shí)，我們假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 0，方差為 1，這不一定符合實(shí)際情況；2）在將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程時(shí)，未對(duì)可能為負(fù)的方差項(xiàng)Vt進(jìn)行特殊處理，本文借助了Euler法，而沒(méi)有比較和討論IM和FT等其他方法；3）在運(yùn)用Monte Carlo模擬期權(quán)估值時(shí)過(guò)于簡(jiǎn)單，沒(méi)有加入控制變量以提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性.